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1 六安一中 2020 届高三年级停课不停学测试 文科数学试卷（一） 命题人： 时间：120 分钟 分值：150 分 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．每一小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合 }03 1|{   x xxA ，集合 }40|{  xxB ，则 BA 等于（ ） A． )3,0( B． ]3,0( C． )4,( D． ]4,( 2．已知 z 的共轭复数是 z ，且 izz 21||  （i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点 位于（ ） A．第一象限 B．第二 象限 C．第三象限 D．第四象限 3．当 10  x 时，则下列大小关系正确的是（ ） A． xx x 3 3 log3  B． xxx 3 3 log3  C． xxx 3log 3 3  D． 3 3 3log xx x  4．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数的代表作，书中有如下问题：“今有 勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为“已知直角三角形两直角边长分 别为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形的内投豆子，则落在 其内切圆的概率是（ ） A． 10 3 B． 20 3 C． 20  D． 10  5．已知函数 11 1)(  xnxxf ，则 )(xfy  的图象大致为（ ） 6．已知函数 )0)(2sin()6sin()(   xxxf ，且 0)3( f ，当 取最小值时，以下 命题中假命题是（ ） A．函数 )(xf 的图象关于直线 12 x 对称 B． 6 x 是函数 )(xf 的一个零点 C．函数 )(xf 的图象可由 xxg 2sin3)(  的图象向左平移 3  个单位得到 D．函数 )(xf 在 ]12,0[  上是增函数 7．设O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 )0(22  ppxy 上任意一点，M 是线段 PF 上 的点，且 ||2|| MFPM  ，则直线OM 的斜率的最大值为（ ） A． 2 2 B． 3 2 C． 2 3 D． 1 8． ABC 的三个内角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，已知 1,3  aA  ，求 cb  的取值范围 （ ） A． )3,1( B． ]2,3( C． )2,1( D． ]2,1( 9．已知定义在 R 上的可导函数 )(xf 的导函数为 )(xf  ，满足 )()( xfxf  且 )2( xf 为偶函 数， 1)4( f ，则不等式 xexf )( 的解集为（ ） A． ),2(  B． ),0(  C． ),1(  D． ),4(  10．如果点 ),( yxP 满足       ,02 ,012 ,022 yx yx yx ，点 Q 在曲线 1)2( 22  yx 上，则 || PQ 的取值范 围是（ ） A． ]110,15[  B． ]110,15[  C． ]5,110[  D． ]5,15[  11．已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点， NM , 分别是 PCAB, 的中点，若 34,4  PABCMN ，则异面直线 PA与 MN 所成角的大小是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 12．已知 0a ，曲线 axxxf 43)( 2  与 bxaxg  ln2)( 2 有公共点，且在公共点处的切线 相同，则实数b 的最小值为（ ） A．0 B． 2 1 e  C． 2 2 e  D． 2 4 e  二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案填写在答题卷相应位置上． 13．已知向量 ),6( ka  ，向量 )1,3( b ， ba  与b 共线， 则 k . 14．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生” 的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍， 松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图， 若输入的 a ,b 分别为 5，2，则输出的 n 等于 . 15．已知三棱锥 ABCP  内接于球 2 PCPBPAO， ，当三棱锥 ABCP  的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为 . 16．已知函数 xaxxf sin)(  ，若 )()()( xfxfxg  在区间 ]22[  ， 上单调递增，则 a 的最小值是 ．2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答 写在答题卡上的指定区域内． 17、（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 ns ，且 )2(1,1 * 11 NnnaSa nn   且 . （1）求数列 na 的通项公式 na ； （2）设 )()1)(1( * 1 1 Nnaa ab nn n n    ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 18、（本小题满分 12 分） 在某市高三数学质量检测中，全市共有 5000 名学生参加了本次考试，其中示范性高中参 加考试学生人数为 2000 人，非示范性高中参加考试学生人数为 3000 人.现从所有参加考试的 学生中随机抽取 100 人，做检测成绩数据分析. （1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）； （2）依据 100 人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方 图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分； （3）如果规定成绩不低于 130 分为特别优秀，现已知语文特 别优秀占样本人数的 5%，语文、数学两科都特别优秀 的共有 3 人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析 是否由 99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀。 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 数学不特别优秀 合计 参考公式： ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnK   ， 参考数据： )( 0 2 kKP  0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001 0k 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828 19、（本小题满分 12 分） 如图，正三角形 ABC 的边长为 2， ED, 分别为边 BCAC, 的中点，将 CDE 沿 DE 折起， 使点 C 在平面 ADEB 上的射影恰好为 BDAE, 的交点 FO, 为 CB 的三等分点且靠近点 ADOGC //, ，连接 AC . （1）求证：平面 //FOG 平面 ACD ； （2）求三棱锥 EFGB  的体积. 20、（本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 4: 22  yxO ，椭圆 AyxM ,14 2 2 ： 为椭圆 右顶点，过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆 M 交于 CB、 两点，直线 AB 与圆O 的另一交 点为 P ，直线 PD 与圆 O 的另一交点为 Q ，其中 ）（ 0,5 6D .设直线 ACAB, 的斜率分别为 21,kk . （1）求 21 kk  的值； （2）记直线 BCPQ, 的斜率分别为 BCPQ kk , ，是否存在常数 ， 使得 BCPQ kk  ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 21、（本小题满分 12 分） （1）讨论函数 xex xxf 2 2)(   的单调性，并证明当 0x 时， 02)2(  xex x ． （2）证明：当 )1,0[a ，函数 )0()(  xx aaxexg x 有最小值．设 )(xg 的最小值为 )(ah ， 求函数 )(ah 的值域． 请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框 涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22、选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，曲线 1C 的极坐标方程是  sin3cos4 24  ，以极点为原点 O ，极轴为 x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系 xoy 中，曲线 2C 的参数方程为        (,sin ,cos y x 为参数)． （1）求曲线 1C 的直角坐标方程与曲线 2C 的普通方程； （2）将曲线 2C 经过伸缩变换      yy xx 2 22 后得到曲线 3C ，若 NM , 分别是曲线 1C 和曲线 3C 上的 动点，求 || MN 的最小值. 23、选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知 |4||2|)( xxxf  ． （1）关于 x 的不等式 aaxf 3)( 2  恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）若 4)()(  nfmf ，且 nm  ，求 nm  的取值范围．