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参考答案 高三年级数学学科 ‎ ‎ ‎ 一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ C A B A C D D B A C 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．‎ ‎11． ‎ ‎12． ；‎ ‎13． ；‎ ‎14．‎ ‎15．, (第二问若为两解并含，则扣一分)‎ ‎16． ‎ ‎17．, ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 解析：（Ⅰ）由可得： ‎ ‎ …………2分 ‎ ‎ …………3分 ‎ …………5分 ‎， …………7分 则. …………9分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，‎ 函数的最小正周期为．……………………………………………11分 又由，………………………………………………13分 解得 因此函数的单调递增强区间为（）．………14分 说明：若学生的第（Ⅰ）没有化简到，而且第（Ⅱ）问也没有得到的化简结果，可得7分。‎ 第19题图 ‎19．（Ｉ）连接交于，‎ 因为,，,‎ 所以,故…………………2分 又因为为菱形对角线交点，即是线段的中点，所以……4分 又四边形为菱形，故 而,所以平面 …………………………………………6分 方法二：因为，‎ 所以点在平面内的射影在为的平分线，………………………2分 又四边形为菱形，故为的平分线，则直线………………4分 故平面平面,而平面平面,‎ 又四边形为菱形，故 所以平面 …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）延长交于点，平面即为平面，平面即平面 由（Ｉ）得平面平面，‎ 平面平面,‎ 所以过做,则平面，故即为直线与平面所成角 ‎ …………10分 ‎（若研究直线与平面所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）‎ 因为四棱台中，所以，‎ 因为,所以,‎ 作,因为，则,,所以, …………12分 ‎,，， …………14分 故． …………15分 法二：延长交于点，‎ 平面即为平面，平面即平面,‎ 设直线与平面所成角为 过作,垂足为,因为,所以 建系，以为轴，作轴 …………9分 ‎ …………11分 设平面的法向量为，则 ‎，‎ 所以， …………13分 所以 …………15分 ‎20．（Ｉ）由得 ‎ 即 ……………………………………………………………………2分 又 故，所以 …………4分 由两边同除以，得，从而数列为首项，公差等差数列 …………………………………………6分 所以，从而数列的通项公式为． …………8分 ‎（Ⅱ）由（Ｉ）知 …………10分 令，数列之和为,则 ‎ 因为 ‎ ‎ 则，………………………………………12分 两式相减得， ……………………………………13分 整理得． …………14分 所以 …………15分 ‎ ‎ ‎21．（Ｉ），，……………………………………………………3分 准线方程： ……………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）设点， ‎ 第21题图 ‎ ……………8分 点G为的重心，‎ ‎, ‎ 且，‎ ‎ ………………………………………………12分 令，…………………13分 ‎ ‎ 因为，所以，故 ‎ ‎， ‎ 故 …………15分 ‎22.解析：（I）由题意知，.. …………2分 若，，‎ 函数在区间上单调递增； …………………………………………………4分 ‎ 若，.‎ 当时，，此时函数单调递减； ‎ 当时，，此时函数单调递增. …………7分 ‎（II）当时，，即存在使得. …………8分 当时，， 令，因为是关于的一次函数，所以.，‎ ‎，又 ‎，‎ 所以，则不符合题意. …………10分 解法1：因为讨论的是整数解问题，所以接下来若能证明时，不符合题意即可.‎ 当时，令. …………11分 则，令，则，由易知在上单调递增，则，‎ 则在区间上单调递增， …………12分 则 ‎，即，‎ 则在区间上单调递增， …………13分 则 ‎，即，不符合题意.综上所述，当时，存在唯一的整数，使得． …………15分 解法2（评分标准参考解法1）：因为讨论的是整数解问题，所以接下来若能证明时，不符合题意即可.‎ 当时，令.则，令 ‎，则，由易知在上单调递增，则，则在区间上单调递增，则，即，则在区间上单调递增，则，即，不符合题意.‎ 综上所述，当时，存在唯一的整数，使得．‎