2020.4西城一模数学答案.pdf

北京市西城区 2020 年 4 月高三数学试卷 第 1 页(共 6 页) 西 城 区 高 三 统 一 测 试 数 学 2020. 4 本试卷分第 Ⅰ 卷和第 Ⅱ 卷两部分, 第 Ⅰ 卷 1 至 2 页, 第 Ⅱ 卷 3 至 6 页, 共 150 分。 考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第 Ⅰ 卷 (选择题 共 40 分) 一、选择题: 本大题共10 小题, 每小题4 分, 共40 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1 . 设集合 A = {x |x < 3 }, B = {x |x < 0 , 或x > 2 }, 则 A ∩B = (A ) (- ¥,0 ) (B ) (2 ,3 ) (C ) (- ¥,0 )∪(2 ,3 ) (D ) (- ¥,3 ) 2 . 若复数z = (3 - i)(1 + i), 则 |z | = (A )2 2 (B )2 5 (C ) 10 (D )20 3 . 下列函数中, 值域为 R 且为奇函数的是 (A )y = x + 2 (B )y = sinx (C )y = x - x 3 (D )y = 2 x 4 . 设等差数列 {a n } 的前n 项和为S n , 若a 3 = 2 , a 1 + a 4 = 5 , 则S 6 = (A )10 (B )9 (C )8 (D )7 5 . 设 A (2 , - 1 ), B (4 ,1 ), 则以线段 A B 为直径的圆的方程是 (A ) (x - 3 )2 + y 2 = 2 (B ) (x - 3 )2 + y 2 = 8 (C ) (x + 3 )2 + y 2 = 2 (D ) (x + 3 )2 + y 2 = 8 6 . 设a ,b ,c 为非零实数, 且a > c , b > c , 则 (A )a + b > c (B )ab > c 2 (C ) a + b 2 > c (D ) 1a + 1b > 2c北京市西城区 2020 年 4 月高三数学试卷 第 2 页(共 6 页) 7 . 某四棱锥的三视图如图所示, 记S 为此棱锥所有棱的长度的集合, 则 (A )2 2 ∉S , 且 2 3 ∉S (B )2 2 ∉S , 且 2 3 ∈S (C )2 2 ∈S , 且 2 3 ∉S (D )2 2 ∈S , 且 2 3 ∈S 8 . 设a , b 为非零向量, 则 “|a + b | = |a | + |b | ”是 “a 与b 共线”的 (A ) 充分而不必要条件 (B ) 必要而不充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 9 . 已知函数f (x )= sinx 1 + 2sinx 的部分图象如图所示, 将此图象分别作以下变换, 那么 变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ① 绕着x 轴上一点旋转 180°; ② 沿x 轴正方向平移; ③ 以x 轴为轴作轴对称; ④ 以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A ) ①③ (B ) ③④ (C ) ②③ (D ) ②④ 10 . 设函数f (x )= x 2 + 10x + 1 ,x ≤0 , |lgx | , x > 0 . ì î í ïï ïï 若关于x 的方程f (x )= a (a ∈R )有四个实数 解x i (i = 1 ,2 ,3 ,4 ), 其中x 1 < x 2 < x 3 < x 4 , 则 (x 1 + x 2 )(x 3 - x 4 ) 的取值范围是 (A ) (0 ,101 ] (B ) (0 ,99 ] (C ) (0 ,100 ] (D ) (0 , + ¥)北京市西城区 2020 年 4 月高三数学试卷 第 3 页(共 6 页) 第 Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题: 本大题共5 小题, 每小题5 分, 共25 分. 11 . 在 (x + 1x )6 的展开式中, 常数项为 . (用数字作答) 12 . 若向量a = (x 2 ,2 ), b = (1 ,x ) 满足a ·b < 3 , 则实数x 的取值范围是 . 13 . 设双曲线x 2 4 - y 2 b 2 = 1 (b > 0 ) 的一条渐近线方程为y = 2 2 x , 则该双曲线的离心率 为 . 14 . 函数f (x )= sin (2x + π 4 ) 的最小正周期为 ; 若函数f (x ) 在区间 (0 ,α) 上单 调递增, 则α 的最大值为 . 15 . 在一次体育水平测试中, 甲、乙两校均有 100 名学生参加, 其中: 甲校男生成绩的 优秀率为 70 % , 女生成绩的优秀率为 50 % ; 乙校男生成绩的优秀率为 60 % , 女生 成绩的优秀率为 40 % . 对于此次测试, 给出下列三个结论: ① 甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率; ② 甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率; ③ 甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中, 所有正确结论的序号是 .北京市西城区 2020 年 4 月高三数学试卷 第 4 页(共 6 页) 三、解答题: 本大题共6 小题, 共85 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 16 . (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱柱 A B C D - A 1 B 1C 1 D 1 中, A A 1 ⊥ 平面 A B C D , 底面 A B C D 满足 A D ∥B C , 且 A B = A D = A A 1 = 2 ,B D = D C = 2 2 . (Ⅰ) 求证: A B ⊥ 平面 A D D 1 A 1 ; (Ⅱ) 求直线 A B 与平面B 1C D 1 所成角的正弦值. 17 . (本小题满分 14 分) 已知 △A B C 满足 , 且b = 6 , A = 2π 3 , 求 sinC 的值及 △A B C 的面积. 从 ①B = π 4 , ②a = 3 , ③a = 3 2 sinB 这三个条件中选一个, 补充到上面问题中, 并完成解答. 注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.北京市西城区 2020 年 4 月高三数学试卷 第 5 页(共 6 页) 18 . (本小题满分 14 分) 2019 年底, 北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募, 仅一个月内报名人数 便突破 60 万, 其中青年学生约有 50 万人. 现从这 50 万青年学生志愿者中, 按男女分 层抽样随机选取 20 人进行英语水平测试, 所得成绩 (单位: 分) 统计结果用茎叶图记 录如下: (Ⅰ) 试估计在这 50 万青年学生志愿者中, 英语测试成绩在 80 分以上的女生人数; (Ⅱ) 从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人, 记其中测试成绩在 70 分以上的人数为X , 求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ) 为便于联络, 现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 (每组人数不少于 5000 ), 并在每组中随机选取 m 个人作为联络员, 要求每组的联络员中至少有 1 人的英语 测试成绩在 70 分以上的概率大于 90 % . 根据图表中数据, 以频率作为概率, 给出 m 的最小值.(结论不要求证明) 19 . (本小题满分 14 分) 设函数f (x )= alnx + x 2 - (a + 2 )x , 其中a ∈R . (Ⅰ) 若曲线y = f (x ) 在点 (2 ,f (2 )) 处切线的倾斜角为 π 4 , 求a 的值; (Ⅱ) 已知导函数f' (x ) 在区间 (1 ,e ) 上存在零点, 证明: 当x ∈(1 ,e ) 时, f (x )> - e 2 .北京市西城区 2020 年 4 月高三数学试卷 第 6 页(共 6 页) 20 . (本小题满分 15 分) 设椭圆 E : x 2 2 + y 2 = 1 , 直 线l 1 经 过 点 M (m ,0 ), 直 线l 2 经 过 点 N (n , 0 ), 直线l 1 ∥ 直线l 2 , 且直线l 1 , l 2 分别与椭圆E 相交于A ,B 两点和C ,D 两点. (Ⅰ) 若 M ,N 分别为椭圆E 的左、右焦点, 且直线l 1 ⊥x 轴, 求四边形A B C D 的面积; (Ⅱ) 若直线l 1 的斜率存在且不为 0 , 四边形 A B C D 为平行四边形, 求证: m + n = 0 ; (Ⅲ) 在 (Ⅱ) 的条件下, 判断四边形 A B C D 能否为矩形, 说明理由. 21 . (本小题满分 14 分) 对于正整数n , 如果k (k ∈N * ) 个整数a 1 ,a 2 , …,a k 满足 1 ≤a 1 ≤a 2 ≤…≤a k ≤n , 且a 1 + a 2 + …+ a k = n , 则称数组 (a 1 ,a 2 , …,a k ) 为n 的一个 “正整数分拆”. 记a 1 , a 2 , …,a k 均为偶数的 “正整数分拆”的个数为f n , a 1 , a 2 , …, a k 均为奇数的 “正整 数分拆”的个数为g n . (Ⅰ) 写出整数 4 的所有 “正整数分拆”; (Ⅱ) 对于给定的整数n (n ≥4 ), 设 (a 1 ,a 2 , …,a k ) 是n 的一个 “正整数分拆”, 且a 1 = 2 , 求k 的最大值; (Ⅲ) 对所有的正整数n , 证明: f n ≤g n ; 并求出使得等号成立的n 的值. (注: 对于n 的两个 “正整数分拆”(a 1 ,a 2 , …,a k ) 与 (b 1 ,b 2 , …,b m ), 当且仅当 k = m 且a 1 = b 1 ,a 2 = b 2 , …,a k = b m 时, 称这两个 “正整数分拆”是相同的. )