【数学】20.4.pdf

第1页（共 4 页） 绝密★考试结束前 数学（四） 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。 4．考试结束后，只需上交答题卷。 选择题部分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1．已知 a b R i,,是虚数单位，若 + i ai与 + bi1 互为共轭复数，则（ ） A. −=ab0 B. +=ab0 C. =a 1 D. =b 1 2. 已知实数 xy, 满足    +  −  − y xy xy 0 1 22 ，则 +xy的最大值为（ ） A. 4 B.3 C. 2 D.1 3. 已知 a b R, ，则 “ eeab”是“ ab”成立的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4.在正三棱柱 −ABC A B C1 1 1 中， ==AB AA 21 ，M 是棱 AA1 上的动点，则三棱锥 −M BCB1 的体积为 （ ） A．不确定 B． 3 23 C． 3 22 D． 3 4 5．已知函数 = − f x x 6( ) 2sin( )( 0) 和 = +  g x x 2( ) cos(3 )(| | ) 的图象的对称轴完全相 同，则（ ） A. = 2 ， =  3 B. = 3， =  3 C. = 2 ， =  6 D. = 3， =  6 6．若函数 =f x x2)( 在区间 ab,  上的值域为 +t t t R,1 )( ，则 −ba（ ） A.有最大值，但无最小值 B. 既有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D. 既无最大值，也无最小值 第2页（共 4 页） 7.设 na 是( )2 nx+ ( 2n ，且 nN)的展开式中 2x 项的系数，则 2 3 2019 2 3 2019 2019 2 2 2 2018 a a a + + +  的 值为（ ） A. 4 B. 2006 2017 C.8 D. 1003 2017 8．如图，点 P 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的表面上运动，且 P 到直线 BC 与点 1D 的距离相等．如 果将正方体在平面内展开，那么动点 P 的轨迹在展开图中的形状是（ ） 9. 已知平面向量 ,,a b c 满足： 4−=ab ，且 ( ) ( ) 3−  − = −a c b c ，则 ()+c a b 的最小值为（ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 1 4− D. 1 2− 10.已知抛物线 2:C y x= ，以 (1,1)M 为直角顶点作该抛物线的内接直角 MAB ，则点 M 到直线 AB 的距离的最大值为（ ） A． 3 B． 5 C． 6 D． 7 非选择题部分 二、 填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每小题 6 分, 单空题每小题 4 分,共 36 分． 11.集合    | 1 2 |1 4A x x B x x= −   =  , ，则 AB= ______， =)( BCA R _______． CD C1 D1 BA A1 P B1第3页（共 4 页） CBA FED 12.若圆 222 4 4 0x y x y− − − =+ 关于直线 3y x b=+对称，则圆的半径为_________， b 的值为 _________. 13.已知正数 ,xy满足 2811xy+=+ ，则 xy+ 的最小值是_________，此时( ),xy = _________. 14.在矩形 ABCD 中， 2, 1AB AD==， ,EF分别是边 ,AB AD 上的动点，且 5 6CEFS = ，则 DF BE=_________，当 ECF 最大时， DF 的长为_________． 15．用红黄蓝三种颜色给如图所示的六个圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜 色不能相同，则不同的涂色方案共有_________. 第 15 题图 第 16 题图 16.已知点 A 、 B 是曲线 ( )1:0C y x xx= +  上任意的两个不同点，分别过 A 、 B 作曲线C 的切 线交 y 轴和直线 yx= 于 P 、Q 、M 、N （如图），记这两条切线的交点为G ，则 :PMG QNGSS 的取值所构成的集合为_________． 17．设函数 2( ) | 3|f x ax bx= − + ，若对任意的负实数 a 和实数b ，总 有 0 [1,2]x  ，使 得 00()f x mx ， 则实数 m 取值范围是_________． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 18．（本题满分 14 分）设函数 xxxxf  2coscossin3)( += ．其中13. （Ⅰ）若 ()fx的最小正周期为 ，求 的单调增区间； （Ⅱ）若函数 的图象的一条对称轴为 3x = ，求函数 的对称中心． 第 ax 0f x xg )()(=ab =f x xg )()(a=b 0 = = + +−+f x e g x x bxxa( ) , 112)( l1=PA QB| | | |Bx AOPQ,Cl1 rC kk12ll,12O PP(0,2) 3 6C+ =  x y r r b(0 )2 2 2 O+ =  ab abxy1( 0)22 22 C n−Tann4 3 2020+=+aann n31= bn n 3 1 qbn= − − + T n n n 4 2 4 3 3 92 =ann + + + + + = − −− b b b b b Taaa a a nn n n n n 1 2 3 1 2112 =a 11bnann PCD PBP DC B− − = 5 6 PD PC= = 2 DBEPC = 3PA EA⊥BC BDAB AD= =1 CDABABCD−P ABCD P O A Q B 1l 2l y x 4页（共 4 页） 19．（本题满分 15 分）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， // ， ， ， ． （Ⅰ）求证： //平面 ； （Ⅱ）若 且二面角 ，求 与平面 所成角的正弦值. 20. （本题满分 15 分）对任意的正整数 ，数列 和 满足： ，且 （I）若 ， ，试问： 是否为等比数列，若是，求公比 的值； （II）若 ， ，求满足 的正整数 的最小值. 21 ．（ 本 题 满 分 15 分）如图所示， 已知椭圆 ： ，圆 ： ．椭圆 的离心率为 且过点 ． 为椭圆上的一动点，过点 作圆 的两条切线 ，且两切线的斜率之积 为定值． （Ⅰ）求椭圆 的方程与 的值； （Ⅱ）若 与椭圆 交于 两点，与圆 切于点 ， 与 轴正半轴交于点 ，且满足 ，求 的方程． 22．（本题满分 15 分）已知 ． （Ⅰ）当 时，证明：对任意的实数 ，方程 恒有解； （Ⅱ）当 时， 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．