全国大联考2020届高三4月联考文科数学试题 PDF版含答案.pdf

文科数学试卷 第 1 页（共 4 页） 20·LK4·QG 秘密★考试结束前 [考试时间：2020 年 4 月 2 日 15:00~17:00] 全国大联考 2020 届高三 4 月联考 文科数学试卷 注意事项： 1．考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置。 2．考试时间 120 分钟，满分 150 分。 3．本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料。 4．考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布。 5．本卷考查内容：高考全部内容。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 不等式 成立的充分不必要条件是 A. B. C. 或 D. 或 2. 复数 z=1+2i 的共轭复数是푧，则 z·푧= A. √3 B. 3 C. 5 D. √5 3. 甲乙两名同学高三以来 6 次数学模拟考试的成 绩统计如下图 1，甲乙两组数据的平均数分别为 甲x 、 乙x ，标准差分别为 甲 、 乙 ，则 A. 乙甲乙甲 ，   xx B. 乙甲乙甲 ，   xx C. 乙甲乙甲 ，   xx D. 乙甲乙甲 ，   xx 4. 设 m,n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是 A. 若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α B. 若 m∥α，n∥α，则 m∥n C. 若 α∥β，m⊂α，则 m∥β D. 若 m∥β，m⊂α，则 α∥β 5. 《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一， 所得开立方除之，即立圆颈”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求球的直径 d 的公式：d = (16 9 V) 1 3.若球的半径为 r=1，根据“开立 圆术”的方法计算该球的体积为 A. 4 3 π B. 9 16 C. 9 4 π D. 9 2 6．若需右边框图输出的值 S=41，则判断框内应填入的条件是 A．k＞3？ B．k＞4？ C．k＞5？ D．k＞6？ 7. 已知 21 33 3 11, , log34a b c    = = =       ，则 cba ,, 的大小关系为 A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. c＞a＞b D. c＞b＞a 011 − x 1x 1−x 1−x 10  x 10x−   1x文科数学试卷 第 2 页（共 4 页） 20·LK4·QG 8. 下列各图都是正方体的表面展开图，将其还原成正方体后，所得正方体完全一致（即各 面所标序号相对位置相同）的是 A. (I)和(IV) B. (I)和(III) C. (II)和(III) D. (II)和(IV) 9. 在长为12 cm的线段 AB 上任取一点C . 现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC ,CB 的 长，则该矩形面积大于 220cm 的概率为 A. 1 6 B. 1 3 C. 4 5 D. 2 3 10. 双曲线 的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作一条直线与两条 渐近线分别相交于 A，B 两点，若 ， ，则该双曲线的离心率为 A． B． C．2 D．3 11. 已知直线 x=t 分别与函数 f(x)=log2(x+1)和 g(x)=2log2(x+2)的图象交于 P，Q 两点，则 P，Q 两点间的最小距离为 A. 4 B. 1 C. D. 2 12. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)= f(x)，且对任意的不相等的实数 x1，x2∈[0,+∞)有 f(x1)-f(x2) x1-x2 ＜0 成立，若关于 x 的不等式 f(2mx-lnx-3)≥2f(3)-f(-2mx+lnx+3)在 x∈[1,3]恒成 立，则实数 m 的取值范围是 A. [ 1 2ⅇ ,1+ ln 3 6 ] B. [1 ⅇ ,2+ ln 6 3 ] C. [1 ⅇ ,2+ ln 3 3 ] D. [ 1 2ⅇ ,1+ ln 6 6 ] 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 某班级有 50 名学生，现采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名，将这 50 名 学生随机编号 1～50 号，并分组，第一组 1～5 号，第二组 6～10 号，…，第十组 46～ 50 号，若在第三组中抽得号码为 12 号的学生，则在第八组中抽得号码为____的学生. 14. 某公司计划在 2020 年春季校园双选招聘会招收 x 名女性，y 名男性，若 x, y 满足约束条 件 25 2 6 xy xy x −  −   ，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为________. 15. 已知 ()fx是定义在 R 上的偶函数，对任意 x∈R 都有 ( 3) ( )f x f x+= 且 ( 1) 4f −=， 则的值为_______. ( )0,01: 2 2 2 2 =− bab y a xE AFBF 11 2= OBFF 221 = 2 3文科数学试卷 第 3 页（共 4 页） 20·LK4·QG 16. 过抛物线C ： 2 2x py= （ 0p  ）的焦点 F 的直线交该抛物线于 A 、 B 两点，若 4 AF BF= ，O 为坐标原点，则 AF OF = _______. 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：（共 60 分） 17.（12 分）在 ABC△ 中,角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc,且 sin 3 cosc A a C= . （1）求角 C 的值; （2）若 23ABCS =△ , 6ab+=,求 c 的值. 18.（12 分） 汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物 (HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽 车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出 现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全 技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车 实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车 强制报废标准的了解情况，随机调查了 100 人， 所得数据制成如下列联表： （1）若从这 100 人中任选 1 人，选到了解机动 车强制报废标准的人的概率为 0.6，问是否有 95% 的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性 别有关”？ （2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO 浓度的数 据，并制成如图 7 所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过 15 年，可近似认为排放 的尾气中 CO 浓度 y%与使用年限 t 线性相关，试确定 y 关于 t 的回归方程，并预测该型号 的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的多少倍． 附：K2= (n＝a＋b＋c＋d) P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式： . 19.（12 分） 如图,四棱 锥 P-ABCD 的底 面 ABCD 是边长 2 的菱 形,∠퐵퐴퐷 = 60∘.已知.PB=PD=2,PA=√6 2() ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d − + + + + 1 22 1 1 ˆ ˆˆ n ii i n i x y nxy b a y bx x nx = = − = = − −   ， 不了解 了解 总计 女性 a b 50 男性 15 35 50 总计 p q 100 文科数学试卷 第 4 页（共 4 页） 20·LK4·QG （1）证明: PC⊥BD （2）若 E 为 PA 的中点，求三棱锥 P-BCE 的体积. 20.（12 分）设 12,FF分别是椭圆 22 2:14 xyE b+=的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动 点, 1PF · 2PF 的最大值为1. （1）求椭圆 E 的方程; （2）设直线 :1l x ky=−与椭圆交于不同的两点 ,?AB,且 AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点), 求 k 的取值范围. 21.（12 分）设 *nN ,函数 ( ) ln n xfx x= ,函数 ( ) ( )0 x n eg x xx=. （1）当 1n = 时,求函数 ( )y f x= 的零点个数; （2）若函数 ( )y f x= 与函数 ( )y g x= 的图象分别位于直线 1y = 的两侧，求 n 的取值集 合 A ; （3）对于 ( )12, 0,n A x x    + ,求 ( ) ( )12f x g x− 的最小值. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第 一题记分。 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为 1 2 31 2 xt yt  =  =− (t 为参数).以坐标原点为极 点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为 2sinp = （1）判断直线l 与圆C 的交点个数 （2）若圆C 与直线l 交于 ,AB两点,求线段 AB 的长度 23.【选修 4-5:不等式选讲】（12 分） 已知函数 ( ) 5 3f x x x= − − + . （1）解不等式 ( ) 1f x x+; （2）记函数f ( )x 的最大值为 m ,若 0, 0,ab 44a b ab me e e −= ,求 ab 的最小值. 文科数学参考答案 第 1 页（共 7 页） 20·LK4·QG 秘密★考试结束前 [考试时间：2020 年 4 月 2 日 15:00~17:00] 全国大联考 2020 届高三 4 月联考 文科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C C D B D B D C D A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．37 14．13 15．4 16． 5 4 12.【解析】因为定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)= f(x)， 所以函数 f(x)为偶函数， 因为对任意的不相等的实数 x1,x2∈[0, +∞)，有f(x1)-f(x2) x1-x2 ＜0 成立， 所以当 x1＜x2 时，f(x1)＞f(x2)， 即函数 f(x)在[0, +∞)单调递减， 又函数 f(x)为偶函数， 所以函数 f(x)在(-∞, 0]单调递增， 因为 x 的不等式 f(2mx - lnx - 3) ≥ 2f(3) - f(-2mx + lnx + 3)在 x∈[1,3]恒成立， 不等式可转化为 f(2mx – lnx - 3) + f(2mx - lnx - 3) ≥ 2f(3) 即 f(2mx - lnx - 3) ≥ f(3)在 x∈[1,3]恒成立， 所以|2mx - lnx - 3|≤3 所以-3≤2mx - lnx - 3≤3 即ln x 2x ≤ln x+6 2x 在 x∈[1,3]恒成立， 在 x∈[1,3]上， 令 g(x) = ln x 2x ，g’(x) = 1 - ln x 2x2 令 g’(x)＜0，ln x＞1，x＞e，g(x)单调递减， 令 g’(x)＞0，ln x＜1，x＜e，g(x)单调递增， g(x)max= g(e)= 1 2e 文科数学参考答案 第 2 页（共 7 页） 20·LK4·QG 令 h(x)= 1 - ln x 2x2 h’(x)=1-(ln x+6) 2x2 = -ln x - 5 2x2 在 x∈[1,3]上，h’(x)＜0, h(x)单调递减 g(x)min= h(3)= 6 + ln 3 6 = 1+ ln 3 6 所以实数 m 的取值范围是[ 1 2ⅇ ,1+ ln 3 6 ] 16.【解析】由题意得 2 2x py= ，则 (0, )2 pF ，所以 2 pOF = ， 设直线 AB 的方程为 2 py kx=+，设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，且 12xx ， 因为 4 AF BF= ，所以 4AF BF−=，则 214xx=− ，① 由 2 2 2 py kx x py  =+  = ，整理得 2220x pkx p− − = ，所以 122x x pk+= ， 2 12x x p=− ，② 联立①②可得 3 4k =− ，即直线 的方程为 3 42 pyx= − + ， 又 2 3 42 2 pyx x py  = − +  = ，整理得 222 3 2 0x px p+ − = ， 解得 2xp=− 或 2 px = ，故 ( , )28 ppA ， ( 2 ,2 )B p p− ， 所以根据抛物线的定义可知 5 8 2 8 ppAF p= + = ，所以 5 4 AF OF = . 三、解答题：（本大题共 5 小题，满分 60 分.） 17.（12 分） 解:（1）在 ABC△ 中, sin 3 cosc A a C= , ∴结合正弦定理得sin sin 3sin cosC A A C= , ∵ 0 πA,∴sin 0A  , ∴sin 3cosCC= , 又∵sin 0C  , ∴ tan 3C = ,∴ π 3C = . （2）∵ 23ABCS =△ , π 3C = , 文科数学参考答案 第 3 页（共 7 页） 20·LK4·QG ∴ 1 sin 2 32 ab C = , ∴ 8ab = , 又 6ab+=, ∴ 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − ( )2 2 2 cosa b ab ab C= + − − 36 16 8 12= − − = . ∴ 23c = . 18.（12 分） 解：（1）设“从 100 人中任选 1 人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件 A， 由已知得 P(A)＝ ＝ ，所以 a＝25，b＝25，p＝40，q＝60. K2 的观测值 k＝ ≈4.167>3.841， 故有 95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”. （2）由折线图中所给数据计算，得 t＝ ×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y＝ ×(0.2＋0.2＋ 0.4＋0.6＋0.7)＝0.42， 故 ＝ ＝0.07， ＝0.42－0.07×6＝0, 所以所求回归方程为 ＝0.07t. 故预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度为 0.84%，因为使用 4 年排放尾 气中的 CO 浓度为 0.2%，所以预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的 4.2 倍. 19.（12 分） （1）证明：连接 BD,AC 交于 O 点 PB PD= PO BD⊥ 又 ABCD 是菱形 BD AC⊥ 而 AC PO O= BD ⊥面 PAC  BD ⊥ PC （2）由（1）得 BD ⊥面 PAC 35 100 b + 3 5 2100 (25 35 25 15) 40 60 50 50   −     1 5 ˆb 2.8 40 ˆa ˆy 文科数学参考答案 第 4 页（共 7 页） 20·LK4·QG == 45sin3262 1 2 1 PACPEC SS △△ = 32 236 = 1 1 1 132 3 2 2P BEC B PEC PECV V S BO− − = =   =   = 20.（12 分） 解:（1）由题易知 2?a = , 24cb=−, 2 4b  , 所以 ( )2 1 4 ,0Fb−− , ( )2 2 4 ,0Fb− , 设 ( ),P x y ,则 ( )2 12 4,PF PF b x y = − − − −  ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 , 4 4 1 2 444 b x bb x y x y b x b b x b− − − = + − + = + − − + = − + −  , 因为  2,2x− ,故当 2x  ,即点 P 为椭圆长轴端点时, 12PF PF 有最大值1, 即 2 21 1 4 2 44 b b= −  + −  ,解得 2 1b = , 故所求的椭圆方程为 2 2 14 x y+=。 （2）设 ( )11,A x y , ( )22,B x y ,由 1 11 3 x e, 得 12 2 2 4 kyy k+=+ , 12 2 3 4yy k −=+ , ( ) ( )2 222 12 4 16 48 0k k k = + + = +  , 因为 AOB 为锐角,所以 cos 0AOB, 所以 1 2 1 2 0OA OB x x y y = +  , 又 ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 211x x y y k y y k y y+ = + − + + ( ) 2 2 22 321144 kk kk −= +  − +++ 2 2 2 2 3 3 2 4 4 k k k k − − − + += + 2 2 14 04 k k −=+ , 所以 2 1 4k  ,解得 11 22k−   , 文科数学参考答案 第 5 页（共 7 页） 20·LK4·QG 所以 k 的取值范围是 11,22 − 。 21.（12 分） 解:（1）当 1n = 时, ( ) ( ) ( )2 ln 1 ln, ' 0xxf x f x xxx −= =  . 由 ( )'0fx 得0 xe;由 ( )'0fx 得 xe . 所以函数 ( ) fx在( )0,e 上单调递增,在( ),e + 上单调递减, 因为 ( ) 110, 0f e f eee =  = −  , 所以函数 ( ) fx在( )0,e 上存在一个零点; 当 ( )0,x + 时, ( ) ln 0xfx x=恒成立, 所以函数 ( ) fx在( ),e + 上不存在零点. 综上得函数 ( ) fx在( )0, ?+ 上存在唯一一个零点. （3）由函数 ( ) ln n xfx x= 求导,得 ( ) ( )1 1 ln'0n nxf x xx + −=, 由 ( )'0fx ,得 1 0 nxe ;由 ( )'0fx ,得 1 nxe , 所以函数 ( ) fx在 1 0, ne   上单调递增,在 1 ,ne+  上单调递减, 则当 1 nxe= 时,函数 ( ) fx有最大值 ( ) 1 max 1nf x f e ne ==  ; 由函数 ( ) ( )0 x n eg x xx=求导,得 ( ) ( ) ( )1'0 x n x n eg x xx + −=, 由 ( )'0gx 得 xn ;由 ( )'0fx 得 0 xn. 所以函数 ( )gx在 (0, )n 上单调递减,在( ).n + 上单调递增, 则当 xn= 时,函数 ( )gx有最小值 ( ) ( )min neg x g n n == ; 因为 *nN ,函数 ( ) fx的最大值 1 1 1nfe ne =  , 即函数 ( ) ln n xfx x= 在直线 1y = 的下方, 文科数学参考答案 第 6 页（共 7 页） 20·LK4·QG 故函数 ( ) ( )0 x n eg x xx=在直线 :1ly= 的上方, 所以 ( ) ( )min 1 neg x g n n = =  ,解得 ne . 所以 n 的取值集合为  1,2A = . （3）对 ( ) ( ) ( )1 2 1 20, ,x x f x g x  + − 的最小值等价于 ( ) ( )min max 1neg x f x n ne − = − , 当 1n = 时, ( ) ( )min max 1g x f x e e− = − ; 当 2n = 时, ( ) ( ) 2 min max 1 42 eg x f x e− = − ; 因为 ( )22 4211 04 2 4 eeee e e e −−− − − =  , 所以 ( ) ( )12f x g x− 的最小值为 2312 4 2 4 ee ee −−= （二）选考题（10 分） 22.（12 分） 解:（1）∵直线l 的参数方程为 1 2 31 2 xt yt  =  =− (t 为参数). ∴消去参数t 得直线l 的普通方程为 3 1 0xy+ − = , ∵圆C 的极坐标方程为 2sinp = ,即 2 2 sinpp= , ∴由 2 2 2, sinp x y p y= + = ,得圆C 的直角坐标方程为 2220x y y+ − = . ∵圆心( )0,1 在直线l 上, ∴直线l 与圆C 的交点个数为 2 （2）由（1）知圆心( )0,1 在直线l 上, ∴ AB 为圆C 的直径, ∵圆C 的直角坐标方程为 2220x y y+ − = . 文科数学参考答案 第 7 页（共 7 页） 20·LK4·QG ∴圆C 的半径 1 412r ==, ∴圆C 的直径为 2 , 2AB= 23.（12 分） 解:（1）当 3x − 时,由5 3 1x x x− + +  + ,得 7x  , 所以 3x − ;当 35x−   时, 由5 3 1x x x− − −  + ,得 1 3x  ,所以 13 3x−   ; 当 5x  时,由 5 3 1x x x− − −  + , 得 9x − ,无解.综上可知, 1 3x  , 即不等式 ( ) 1f x x+的解集为 1, 3 −  . （2）因为 5 3 5 3 8x x x x− − +  − − − = , 所以函数 ()fx的最大值 8m = .应为 4 4 8a b abe e e −= , 所以 4 4 8a b ab+ = + . 又 0, 0ab, 所以 4 2 4 4a b ab ab+  = , 所以有 20ab ab− −  ,又 0ab  , 所以 2ab  , 4ab  , 即 ab 的最小值为 4