2020年湖北省武汉市九年级元月调考数学模拟试卷（4）.doc

‎2020年湖北省武汉市九年级元月调考数学模拟试卷（4）‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）方程4x2＝81的一次项系数为（　　）‎ A．4 B．0 C．81 D．﹣81‎ ‎2．（3分）抛物线 y＝（x﹣1）2﹣2 的顶点是（　　）‎ A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）‎ ‎3．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）‎ A．某种彩票中奖率为1%，则买100张这种彩票必然中奖 ‎ B．今晚努力学习，明天考试必然考出好成绩 ‎ C．从装有2个红球、3个白球的袋中随机摸出4个球，则一定会摸出红球 ‎ D．抛掷一枚普通的骰子所得的点数一定小于6‎ ‎4．（3分）下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．（3分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（　　）‎ A．1+2x＝100 B．x（1+x）＝100 C．（1+x）2＝100 D．1+x+x2＝100‎ ‎6．（3分）小强将一个球竖直向上抛起，球升到最高点，垂直下落，直到地面．在此过程中，球的高度与时间的关系可以用图中的哪一幅来近似地刻画（　　）‎ A． B． ‎ 第25页（共25页）‎ C． D．‎ ‎7．（3分）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客消费200元以上（含200元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分界线上时，则需要重新转动转盘．某顾客正好消费300元，他转动一次转盘，实际付款210元的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（　　）‎ A．100° B．120° C．135° D．150°‎ ‎9．（3分）抛物线y＝mx2+3mx+2（m＜0）经过点A（a，y1）、B（1，y2）两点，若y1＞y2，则实数a满足（　　）‎ A．﹣4＜a＜1 B．a＜﹣4或a＞1 C．﹣4＜a≤﹣ D．﹣≤a＜1‎ ‎10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A． B． C． D．4‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）一元二次方程x（x﹣5）＝0的根为　 　．‎ ‎12．（3分）把点P（﹣2，3）绕坐标原点旋转180°后对应点的坐标为　 　．‎ ‎13．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣5的顶点坐标是　 　．‎ ‎14．（3分）如图，扇形的弧长是20π，面积是240π，则此扇形的圆心角的度数是　 　．‎ ‎15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，5），且无论m为何值，不等式a+b≥am2+bm恒成立，则关于x的方程ax2+bx+c＝5的解为　 　．‎ ‎16．（3分）平面直角坐标系中，点P是一动点，点A（6，0）绕点P顺时针旋转90°到点B处，点B恰好落在直线y＝﹣2x上．当线段AP最短时，点P的坐标为　 　．‎ 三、解答题（共8小题，共72分）‎ ‎17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．‎ ‎18．（8分）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧AB的中点，CE⊥OA交⊙O于点E，连接AE．求证：AE＝AO．‎ ‎19．（8分）为了有效保护环境，某景区要求游客将垃圾按可回收垃圾，不可回收垃圾，有害垃圾分类投放．一天，小林一家游玩了该景区后，把垃圾按要求分成三袋并随机投入三类垃圾桶中，请用列树状图的方法求三袋垃圾都投对的概率．‎ 第25页（共25页）‎ ‎20．（8分）在正方形ABCD中，E为AB的中点．‎ ‎（1）将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，用无刻度直尺作出点O的位置，保留作图痕迹；‎ ‎（2）将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，用无刻度直尺作出△CFD，保留作图痕迹．‎ ‎21．（8分）如图，在⊙O中，AB为直径，F是半圆弧AB的中点，E是弧BF上一点，直线AE与过点B的切线相交于点C，连接EF．‎ ‎（1）若EF＝AB，求∠ACB的度数；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，BC＝2，求EF的长．‎ ‎22．（10分）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．‎ ‎（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；‎ ‎（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？‎ 第25页（共25页）‎ ‎23．（10分）已知平行四边形ABCD．‎ ‎（1）如图1，将▱ABCD绕点D逆时针旋转一定角度得到▱A1B1C1D，延长B1C1，分别与BC、AD的延长线交于点M、N．‎ ‎①求证：∠BMB1＝∠ADA1；‎ ‎②求证：B1N＝AN+C1M；‎ ‎（2）如图2，将线段AD绕点D逆时针旋转，使点A的对应点A1落在BC上，将线段CD绕点D逆时针旋转到C1D的位置，AC1与A1D交于点H．若H为AC1的中点，∠ADC1+∠A1DC＝180°，A1B＝nA1C，试用含n的式子表示的值．‎ ‎24．（12分）已知抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m（m＞0.5）的最低点的纵坐标为﹣4．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；‎ ‎（3）如图2，平移抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝﹣2上有一动点P，过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F（直线PE、PF不与y轴平行），求证：直线EF恒过某一定点．‎ 第25页（共25页）‎ 第25页（共25页）‎ ‎2020年湖北省武汉市九年级元月调考数学模拟试卷（4）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）方程4x2＝81的一次项系数为（　　）‎ A．4 B．0 C．81 D．﹣81‎ ‎【分析】将已知方程转化为一般形式，然后找出方程的一次项系数即可．‎ ‎【解答】解：方程4x2＝81的一般形式是4x2﹣81＝0，它的一次项系数是0，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．‎ ‎2．（3分）抛物线 y＝（x﹣1）2﹣2 的顶点是（　　）‎ A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）‎ ‎【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．‎ ‎【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣2是抛物线解析式的顶点式，‎ 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣2）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查二次函数的性质，解题的关键是牢记顶点式y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标是（h，k）．‎ ‎3．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）‎ A．某种彩票中奖率为1%，则买100张这种彩票必然中奖 ‎ B．今晚努力学习，明天考试必然考出好成绩 ‎ C．从装有2个红球、3个白球的袋中随机摸出4个球，则一定会摸出红球 ‎ D．抛掷一枚普通的骰子所得的点数一定小于6‎ ‎【分析】直接利用必然事件以及随机事件的定义分析得出答案．‎ ‎【解答】解：A、某种彩票中奖率为1%，则买100张这种彩票必然中奖，不一定必然中奖，不合题意；‎ 第25页（共25页）‎ B、今晚努力学习，明天考试必然考出好成绩，是随机事件，不合题意；‎ C、从装有2个红球、3个白球的袋中随机摸出4个球，则一定会摸出红球，是必然事件，符合题意；‎ D、抛掷一枚普通的骰子所得的点数一定小于6，也有可能等于6，故此选项不合题意；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．‎ ‎4．（3分）下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、是中心对称图形，故本选项正确；‎ C、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、不是中心对称图形，故本选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．‎ ‎5．（3分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（　　）‎ A．1+2x＝100 B．x（1+x）＝100 C．（1+x）2＝100 D．1+x+x2＝100‎ ‎【分析】此题可设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮共感染x+1台，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）台，根据题意列方程即可．‎ ‎【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程得 ‎（x+1）2＝100，‎ 故选：C．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．‎ ‎6．（3分）小强将一个球竖直向上抛起，球升到最高点，垂直下落，直到地面．在此过程中，球的高度与时间的关系可以用图中的哪一幅来近似地刻画（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据小球的运动过程进行分析即可．‎ ‎【解答】解：因为是小强将一个球竖直向上抛，小强有一定的身高，故D一定不符合；小强抛出小球后，小球开始是向上运动的，故高度在增加，故A一定错误；小球升到一定高度后，会自由落下，高度就会降低，故B错误，C正确，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了函数图象，关键是正确理解小球在抛出后事如何运动的．‎ ‎7．（3分）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客消费200元以上（含200元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分界线上时，则需要重新转动转盘．某顾客正好消费300元，他转动一次转盘，实际付款210元的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据概率公式即可得到结论．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：他转动一次转盘，实际付款210元的概率为＝，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．‎ ‎8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（　　）‎ A．100° B．120° C．135° D．150°‎ ‎【分析】如图，连接BD，由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝60°，可证△ABD为等边三角形，由“SSS”可证△ABE≌△DBE，可得∠ABE＝∠DBE＝30°，由三角形内角和定理可求解．‎ ‎【解答】解：如图，连接BD，‎ ‎∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，‎ ‎∴AB＝AD，∠BAD＝60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，‎ ‎∴∠ABD＝60°，AB＝BD，且AE＝DE，BE＝BE，‎ ‎∴△ABE≌△DBE（SSS）‎ ‎∴∠ABE＝∠DBE＝30°‎ ‎∴∠ABE＝∠DBE＝30°，且∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝15°，‎ ‎∴∠BED＝135°．‎ 故选：C．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．‎ ‎9．（3分）抛物线y＝mx2+3mx+2（m＜0）经过点A（a，y1）、B（1，y2）两点，若y1＞y2，则实数a满足（　　）‎ A．﹣4＜a＜1 B．a＜﹣4或a＞1 C．﹣4＜a≤﹣ D．﹣≤a＜1‎ ‎【分析】先确定抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1.5，则确定点B（1，y2）关于直线x＝﹣1.5的对称点的坐标为（﹣4，y2），然后利用二次函数的性质得到a的范围．‎ ‎【解答】解：抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1.5，‎ 而点B（1，y2）关于直线x＝﹣1.5的对称点的坐标为（﹣4，y2），‎ ‎∵m＜0，‎ ‎∴抛物线开口向下，且y1＞y2，‎ ‎∴﹣4＜a＜1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．‎ ‎10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，利用圆周角定理得到∠CBD＝90°，再证明CD∥AB得到•∠BDC＝∠ABC，所以BD＝AC＝5．然后利用勾股定理计算出CD，再利用面积法求出BN即可．‎ ‎【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，则∠CBD＝90°，‎ ‎∵∠A＝90°+∠ABC，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴∠A＝∠ABD，‎ ‎∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，‎ ‎∴CD∥AB，‎ ‎∴∠BDC＝∠ABC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BD＝AC＝5．‎ ‎∴OM＝BN，‎ 在Rt△ABD中，CD＝＝13，‎ ‎∵×BN×CD＝×BC×BD，‎ ‎∴BN═＝＝，‎ ‎∴OM＝，‎ 即点O到AB的距离为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的外心与外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理．‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）一元二次方程x（x﹣5）＝0的根为　x1＝0，x2＝5　．‎ ‎【分析】利用因式分解法求出解即可．‎ ‎【解答】解：方程x（x﹣5）＝0，‎ 可得x＝0或x﹣5＝0，‎ 解得：x1＝0，x2＝5，‎ 故答案为：x1＝0，x2＝5‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣‎ 第25页（共25页）‎ 因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎12．（3分）把点P（﹣2，3）绕坐标原点旋转180°后对应点的坐标为　（2，﹣3）　．‎ ‎【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标特征求解．‎ ‎【解答】解：把点P（﹣2，3）绕坐标原点旋转180°后对应点的坐标为（2，﹣3）．‎ 故答案为：（2，﹣3）．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．‎ ‎13．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣5的顶点坐标是　（1，﹣6）　．‎ ‎【分析】直接利用配方法得出二次函数的顶点坐标即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6的顶点坐标是：（1，﹣6）．‎ 故答案为：（1，﹣6）．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确运用配方法是解题关键．‎ ‎14．（3分）如图，扇形的弧长是20π，面积是240π，则此扇形的圆心角的度数是　150°　．‎ ‎【分析】根据扇形面积可求得扇形半径，再根据弧长公式可求得圆心角的度数．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵S扇形＝וOA，‎ ‎∴240π＝×20π×OA，‎ ‎∴OA＝24，‎ 又＝，‎ ‎∴＝20π，‎ 解得n＝150，‎ 故答案为：150°．‎ ‎【点评】本题主要考查扇形和弧长公式，掌握扇形的面积公式为S＝×弧长×半径，弧长＝是解题的关键．‎ ‎15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，5），且无论m为何值，不等式a+b≥‎ 第25页（共25页）‎ am2+bm恒成立，则关于x的方程ax2+bx+c＝5的解为　x1＝﹣1，x2＝3　．‎ ‎【分析】不等式a+b≥am2+bm恒成立，即a+b+c≥am2+bm+c恒成立，由此得到顶点坐标是（1，a+b+c）；然后由抛物线的对称性得到（﹣1，5）关于直线x＝1的对称点为（3，5），易得答案．‎ ‎【解答】解：∵不等式a+b≥am2+bm恒成立，‎ ‎∴a+b+c≥am2+bm+c恒成立，‎ ‎∴点（1，a+b+c）是抛物线的顶点，点（﹣1，5）关于直线x＝1的对称点为（3，5），当y＝5时，x＝﹣1或3，此即为答案．‎ 故答案是：x1＝﹣1，x2＝3．‎ ‎【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，找到抛物线的顶点坐标是解题的关键．‎ ‎16．（3分）平面直角坐标系中，点P是一动点，点A（6，0）绕点P顺时针旋转90°到点B处，点B恰好落在直线y＝﹣2x上．当线段AP最短时，点P的坐标为　（，）　．‎ ‎【分析】在平面直角坐标系中，构造△PGB≌△AHP，设B（m，﹣2m），P（a，b），依据全等三角形的性质，即可得到a＝，b＝，再根据两点间距离公式以及配方法，即可得到m的值，进而得出点P的坐标．‎ ‎【解答】解：如图，构造△PGB≌△AHP，设B（m，﹣2m），P（a，b），‎ 由题可得PG＝AH，BG＝PH，‎ 即a﹣m＝b，b+2m＝6﹣a，‎ 联立解得：a＝，b＝，‎ 即P（，），‎ ‎∴PA2＝（﹣6）2+（）2＝（5m2﹣12m+36）＝（m﹣）2+，‎ ‎∴当m＝时，PA最小，‎ 此时P（，）．‎ 故答案为：（，）．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及配方法的运用，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．解决问题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等．‎ 三、解答题（共8小题，共72分）‎ ‎17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．‎ ‎【分析】移项后配方得出x2﹣4x+4＝7+4，推出（x﹣2）2＝11，开方后得出方程x﹣2＝±，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：移项得：x2﹣4x＝7，‎ 配方得：x2﹣4x+4＝7+4，‎ 即（x﹣2）2＝11，‎ 开方得：x﹣2＝±，‎ ‎∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出（x﹣2）2＝11，题目比较典型，难度适中．‎ ‎18．（8分）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧AB的中点，CE⊥OA交⊙O于点E，连接AE．求证：AE＝AO．‎ ‎【分析】连OC，OA，如图，先利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝60°，则可判断△AOC为等边三角形，所以AC＝AO，再根据垂径定理得到＝，从而得到AE＝AC＝AO．‎ ‎【解答】证明：连OC，OA，如图，‎ ‎∵∠AOB＝120°，C是弧AB的中点，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴∠AOC＝60°，‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴△AOC为等边三角形，‎ ‎∴AC＝AO，‎ ‎∵OA⊥CE，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AE＝AC，‎ ‎∴AE＝AO．‎ ‎【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．‎ ‎19．（8分）为了有效保护环境，某景区要求游客将垃圾按可回收垃圾，不可回收垃圾，有害垃圾分类投放．一天，小林一家游玩了该景区后，把垃圾按要求分成三袋并随机投入三类垃圾桶中，请用列树状图的方法求三袋垃圾都投对的概率．‎ ‎【分析】首先根据题意求得所有等可能的结果与垃圾投放正确的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：‎ 第25页（共25页）‎ 由树状图可知随机投入三类垃圾桶共有6种等可能结果，其中三袋垃圾都投对的只有1种结果，‎ ‎∴三袋垃圾都投对的概率为．‎ ‎【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．‎ ‎20．（8分）在正方形ABCD中，E为AB的中点．‎ ‎（1）将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，用无刻度直尺作出点O的位置，保留作图痕迹；‎ ‎（2）将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，用无刻度直尺作出△CFD，保留作图痕迹．‎ ‎【分析】（1）将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，用无刻度直尺即可作出点O的位置；‎ ‎（2）将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，用无刻度直尺即可作出△CFD，‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎（1）连接AC交BD于点O，则点O即为所求的点；‎ ‎（2）连EO并延长交CD于H，连AH，‎ 延长AH、BC交于点F，连DF，‎ 则△DCF即为所求．‎ ‎【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是综合全等三角形的判定和性质、正方形的性质解答．‎ ‎21．（8分）如图，在⊙O中，AB为直径，F是半圆弧AB的中点，E是弧BF上一点，直线AE与过点B的切线相交于点C，连接EF．‎ 第25页（共25页）‎ ‎（1）若EF＝AB，求∠ACB的度数；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，BC＝2，求EF的长．‎ ‎【分析】（1）连接OE、OF、AF，根据等边三角形的性质得到∠EOF＝60°，由圆周角定理得到∠EAF＝∠EOF＝30°，根据切线的性质得到∠ABC＝90°，根据直角三角形的性质计算即可；‎ ‎（2）连BE、AF、BF，过F作FM⊥EF交AE于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出BE，证明△AFM≌△BFE，根据全等三角形的性质得到AM＝BE，EF＝FM，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）连接OE、OF、AF，‎ ‎∵EF＝AB＝OE＝OF，‎ ‎∴△EOF为等边三角形，‎ ‎∴∠EOF＝60°，‎ 由圆周角定理得，∠EAF＝∠EOF＝30°，‎ ‎∵F是半圆弧AB的中点，‎ ‎∴∠AOF＝90°，‎ ‎∴∠OAF＝45°，‎ ‎∴∠CAB＝15°，‎ ‎∵BC为⊙O的切线，‎ ‎∴∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝75°；‎ ‎（2）连BE、AF、BF，过F作FM⊥EF交AE于M，‎ 则∠AEB＝∠CEB＝90°．‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝2，‎ ‎∴AC＝＝＝2，‎ 由面积法得，BE＝＝，‎ ‎∴AE＝＝，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠AFB＝90°，又FM⊥EF，‎ ‎∴∠AFM＝∠BFE，‎ 在△AFM和△BFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△AFM≌△BFE（ASA），‎ ‎∴AM＝BE＝，EF＝FM．‎ ‎∵EM＝AE﹣AM＝，‎ ‎∴EF＝EM＝．‎ ‎【点评】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．‎ ‎22．（10分）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC 第25页（共25页）‎ ‎＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．‎ ‎（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；‎ ‎（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？‎ ‎【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．‎ ‎（2）把x＝5代入可求出支柱的长度，然后算出总造价即可．‎ ‎（3）先求出坦克方队的长，然后算出速度，从而求得通过隧道的时间即可．‎ ‎【解答】【解】（1）设y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入，‎ 得a＝﹣，c＝6．‎ ‎∴y＝﹣x2+6．‎ ‎（2）当x＝5时，y＝﹣×52+6＝，‎ ‎∴EF＝10﹣＝，CD＝10﹣6＝4，‎ 支柱的总造价为2（2×+2×10+4）＝70（万元）．‎ ‎（3）∵坦克的高为3米，令y＝3时，﹣x2+6＝3，‎ 解得：x＝±5，‎ ‎∵7＜5＜8，坦克宽为2米，‎ ‎∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160（米），‎ 坦克的行驶速度为24km/h＝400米/分，‎ ‎∴通过隧道的最短时间为＝2.9（分）．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．‎ ‎23．（10分）已知平行四边形ABCD．‎ ‎（1）如图1，将▱ABCD绕点D逆时针旋转一定角度得到▱A1B1C1D，延长B1C1，分别与BC、AD的延长线交于点M、N．‎ ‎①求证：∠BMB1＝∠ADA1；‎ ‎②求证：B1N＝AN+C1M；‎ ‎（2）如图2，将线段AD绕点D逆时针旋转，使点A的对应点A1落在BC上，将线段CD绕点D逆时针旋转到C1D的位置，AC1与A1D交于点H．若H为AC1的中点，∠ADC1+∠A1DC＝180°，A1B＝nA1C，试用含n的式子表示的值．‎ ‎【分析】（1）①先判断出∠BMB1＝∠N，再判断出∠N＝∠ADA1，即可得出结论；‎ ‎②先判断出∠DCE＝∠B＝∠B1＝∠DC1F，DC＝DC1，得出△DCE≌△DC1F，得出DE＝DF，进而判断出Rt△DEM≌Rt△DMF，得出∠DME＝∠DMF，进而判断出DN＝MN，即可得出结论；‎ ‎（2）先判断出AT＝2DH，得出∠ADT＝∠A1DC，进而判得出△A1DC≌△ADT，得出A1C＝AT＝2DH．即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠BMB1＝∠N，‎ 由旋转知，四边形A1B1C1D是平行四边形，‎ ‎∴A1D∥B1C1，‎ ‎∴∠N＝∠ADA1，‎ ‎∴∠BMB1＝∠ADA1；‎ ‎②如图1，连接DM，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥MN于F，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴∠DEC＝∠DFC1＝90°，‎ 显然，∠DCE＝∠B＝∠B1＝∠DC1F，DC＝DC1，‎ ‎∴△DCE≌△DC1F（AAS），‎ ‎∴DE＝DF，‎ ‎∵DM＝DM，‎ ‎∴Rt△DEM≌Rt△DMF（HL），‎ ‎∴∠DME＝∠DMF，‎ 又∵AN∥BM，‎ ‎∴∠DME＝∠MDN，‎ ‎∴∠DMN＝∠MDN，‎ ‎∴DN＝MN，‎ 又AD＝BC＝B1C1，‎ ‎∴B1N＝B1C1+C1M+MN＝AD+C1M+DN＝AN+C1M；‎ ‎（2）如图2，延长C1D至点T，使DT＝DC1，连接AT，‎ ‎∵H为AC1的中点，‎ ‎∴AT＝2DH（三角形中位线定理）．‎ ‎∵∠ADC1+∠A1DC＝180°，∠ADC1+∠ADT＝180°，‎ ‎∴∠ADT＝∠A1DC，‎ 由旋转知，A1D＝AD，DC＝DC1＝DT，‎ ‎∴△A1DC≌△ADT（SAS），‎ ‎∴A1C＝AT＝2DH．‎ 设DH＝a，则A1C＝AT＝2a，‎ A1B＝nA1C＝2an，A1D＝AD＝BC＝A1B+A1C＝2an+2a，‎ ‎∴A1H＝A1D﹣DH＝2an+2a﹣a＝2an+a，‎ ‎∴＝2n+1．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【点评】此题几何变换综合题，主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．‎ ‎24．（12分）已知抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m（m＞0.5）的最低点的纵坐标为﹣4．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；‎ ‎（3）如图2，平移抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝﹣2上有一动点P，过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F（直线PE、PF不与y轴平行），求证：直线EF恒过某一定点．‎ ‎【分析】（1）先求出顶点坐标，由最低点的纵坐标为﹣4，可列方程，即可求解；‎ ‎（2）如图1，连AC交BD于E，过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，由三角形面积关系和全等三角形的性质可求点E坐标，可求BD解析式，即可求点D坐标；‎ ‎（3）设E（t，t2），F（n，n2），可求PE解析式，由与抛物线有唯一的公共点，可求k1‎ 第25页（共25页）‎ ‎＝2t，即可求点P横坐标，可得tn＝﹣2，设直线EF的解析式为y＝kx+b，得x2﹣kx﹣b＝0，可求b＝2，即可得直线EF恒过定点（0，2）．‎ ‎【解答】解：（1）∵y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m＝（x+m﹣0.5）2﹣m2﹣m﹣0.25，‎ ‎∴顶点坐标为（0.5﹣m，﹣m2﹣m﹣0.25）‎ ‎∵最低点的纵坐标为﹣4，‎ ‎∴﹣m2﹣m﹣0.25＝﹣4，即4m2+4m﹣15＝0，‎ ‎∴m＝1.5或﹣2.5，‎ ‎∵m＞0.5，∴m＝1.5．‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；‎ ‎（2）∵y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，‎ ‎∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．‎ 如图1，连AC交BD于E，过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，‎ ‎∵BD平分四边形ABCD的面积，‎ ‎∴S△ABD＝S△CBD，‎ ‎∴BD×AM＝BD×CN，‎ ‎∴AM＝CN，且∠AEM＝∠CMN，∠AME＝∠CNE＝90°‎ ‎∴△AEM≌△CEN（AAS），‎ ‎∴AE＝CE，‎ ‎∴E（﹣1.5，﹣1.5），且B（1，0），‎ ‎∴直线BE的解析式为y＝0.6x﹣0.6．‎ ‎∴0.6x﹣0.6＝x2+2x﹣3，‎ 第25页（共25页）‎ 解得x1＝﹣，x2＝1，‎ ‎∴D（﹣，﹣）．‎ ‎（3）由题意可得平移后解析式为y＝x2，‎ 设E（t，t2），F（n，n2），‎ 设直线PE为y＝k1（x﹣t）+t2，‎ 由题意可得 x2﹣k1x+k1t﹣t2＝0，‎ ‎∴△＝k12﹣4（k1t﹣t2）＝（k1﹣2t）2＝0，‎ ‎∴k1＝2t．‎ ‎∴直线PE为y＝2t（x﹣t）+t2，即y＝2tx﹣t2．‎ 令y＝﹣2，得xP＝，‎ 同理，设直线PF为y＝k2（x﹣n）+n2，‎ ‎∴xP＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵t≠n，‎ ‎∴tn＝﹣2．‎ 设直线EF的解析式为y＝kx+b，得x2﹣kx﹣b＝0，‎ ‎∴xE•xF＝﹣b，即tn＝﹣b，‎ ‎∴b＝2．‎ ‎∴直线EF为y＝kx+2，过定点（0，2）．‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式，利用参数求出PE，PF的解析式是本题的关键．‎ 第25页（共25页）‎