湖北省宜昌市2020届高三年级3月线上统一调研测试理科数学试题（答案）.pdf

高三理科数学参考答案第 1页（共 5 页） 宜昌市 2020 届高三年级 3 月线上统一调研测试 理科数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D C C D A D C B A C 二、填空题 13.135 14. 3 2  15. 1 2 16. 5 , 2 14      三、解答题 17.（1） ∵ 2AB AM AD   ， 2 2MB MD  ， ∴ 2 2 2AM AD MD  ， 2 2 2AM AB MB  ∴ AM AD ， AM AB ∵ AB AD A ， AD  平面 ABCD ，  AM  平面 ABCD 4 分 （2）由（1）知 AB AD ， AM AD ， AM AB 以 A 为坐标原点，分别以 AD ， AM ， AB 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 则 (0,0,0)A ， (0,2,0)M ， (2,0,0)D ， (0,0,2)B ， (2,0,1)C 6 分 (2,0, 2)BD   ， ( 2,2,0)DM   ， 2BE EB   ， 4 2(0, , )3 3E ， 4 1( 2, , )3 3CE    7 分 设 ( , , )n x y z 是平面 BDM 的一个法向量 则 0 0 n BD n DM          即 2 2 0 2 2 0 x z x y      ，取 1x  得 (1,1,1)n  9 分 4 12 1593 3cos , 53533 3 n CEn CE n CE                11 分  直线 EC 与平面 BDM 所成的正弦值为 159 53 12 分 18.（1）设的首项为 1a ，公差为 d .由题意，得 2 2 1 5 1 7 67 492 a a a da      .解得 1 1, 2a d  2 分 2 2 12 1, 2 1 ( 1)n na n S n n n        3 分 2 1log ( 2) 1n nT S n     ， 12 2n nT    4 分 当 2n  时， 1 2 2n nT    2 , 2.n nb n   当 1n  时， 1 1 2b T  满足上式. 2n nb  6 分 （2） 2 1 2n n nc  ，令数列 nc 的前 n项和为 nH . 1 2 3 1 3 5 2 1 2 2 2 2n n nH     高三理科数学参考答案第 2页（共 5 页） 2 3 4 1 1 1 3 5 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2n n n n nH         8 分 两式相减得 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 12( )2 2 2 2 2 2n n n nH        9 分 1 1 1 1 112 21 2 1 3 2 3 12 2 2 21 2 n n n n n                   2 33 32n n nH     恒成立，得证. 12 分 19.（1）由题意可得，焦点 ( ,0), 02 pF p  ，则 1 1 2 2 3 223 2 3 2 12 52 , ,5 5 2 p p p dd d p d p             解得 2p  .抛物线 C 的标准方程为 2 4y x 4 分 （2）设 ( ,0)M t ，设点 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ，，显然直线l 的斜率不为 0 . 设直线l 的方程为 x my t  联立方程 2 4 x my t y x     ，整理可得 2 4 4 0y my t   2 1 2 1 216( ) 0, 4 , 4t m y y m y y t        6 分 2 11PM m y   ， 2 21QM m y  2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) y y m y m y m y yPM QM        8 分 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 4 2 (1 ) 2 2 y y y y m t m y y t m t      9 分 要使 2 2 1 1 PM QM  为定值，必有 2 2 2 2 2 t t t  ，解得 2t  ， 11 分  2 2 1 1 PM QM  为定值时，点 M 的坐标为 (2,0) 12 分 20.（1）平均时间为55 0.1 65 0.2 75 0.4 85 0.2 95 0.1 75          （分钟） 2 分 75 1 150 2p   3 分 （2）① 1(10000, )2X B  ， 4 分 1( ) 10000 50002E X np     ， 1 1( ) (1 ) 10000 25002 2D X np p      6 分 ② 4900 5000X  ， ( ) 5000 50( ) X E X XZ D X    ，  2,0Z   8 分 (0,1), 0, 1Z N    高三理科数学参考答案第 3页（共 5 页） 1 1( 2 0) ( 2 2 ) 0.9545 0.477252 2P Z P Z               10 分 150 0.47725 71.5875 72    即最佳时间长度为 72 分钟. 12 分 21. （1） 2 ( ) 2ln2 xf x mx x   ， 2 22 2 ( 2)( ) 2 2x mx xf x x m mx x x           1 分 ①当 2 2m   时， ( ) 0f x  恒成立，则 ( )f x 在 (0, ) 单调递增 2 分 ②当 2 2m   时，令 ( ) 0f x  得 2 2 0x mx   ，解得 2 1 8 2 m mx    ， 2 2 8 2 m mx    又 1 2 1 2 0 2 0 x x m x x        ，∴ 1 20 x x  ∴当 2 8(0, )2 m mx    时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增； 当 2 28 8( , )2 2 m m m mx       时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减； 当 2 8( , )2 m mx     时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增. 5 分 （2）依题意得， (1) 3 0f m    ，则 3m   6 分 由（1）得， ( )f x 在 (0,1) 单调递增，在 (1,2) 上单调递减，在 (2, ) 上单调递增 ∴若方程 ( )f x t 有三个实数解 1 2 3 1 2 3, , ( )x x x x x x  ，则 1 2 30 1 2x x x    7 分 法一：双偏移法 设 1( ) ( ) (2 )(0 2)x f x f x x      ，则 2 1 2 2 4( 1)( ) 4 02 (2 ) xx x x x x         ∴ 1( )x 在 (0,2) 上单调递增，∴ (0,1)x  ， 1 1( ) (1) 0x   ∴ 1 1 1 1 1( ) ( ) (2 ) 0(0 1)x f x f x x       ，即 1 1( ) (2 )h x h x  ∵ 1 2( ) ( )f x f x t  ，∴ 2 1( ) (2 )f x f x  ，其中 2 (1,2)x  ， 12 (1,2)x  ∵ ( )f x 在 (1,2) 上单调递减，∴ 2 12x x  ，即 1 2 2x x  10 分 设 2 ( ) ( ) (4 )(1 4)x f x f x x      ， 2 2 2 2 2( 2)( ) 2 04 (4 ) xx x x x x         ∴ 2 ( )x 在 (1,4) 上单调递增，∴ (1,2)x  ， 2 2( ) (2) 0x   ∴ 2 2 2 2 2( ) ( ) (4 ) 0(1 2)x f x f x x       ，即 2 2( ) (4 )f x f x  ∵ 2 3( ) ( )f x f x t  ，∴ 3 2( ) (4 )f x f x  ，其中 3 (2, )x   ， 24 (2,3)x  ∵ ( )f x 在 (2, ) 上单调递增，∴ 3 24x x  ，即 2 3 1 24 2x x x x     ∴ 1 32x x  . 12 分 法二：直接证明法 ∵ 1 2 2x   ， 3 2x  ， ( )f x 在 (2, ) 上单调递增， ∴要证 1 32x x  ，即证 1 3 1( 2) ( ) ( )f x f x t f x    设 ( ) ( 2) ( )( 0)x f x f x x     ，则 2 2 2( 3 1)( 3 1)( ) 22 ( 2) x xx x x x x           ∴ ( )x 在 (0, 3 1) 上单调递减，在 ( 3 1, )  上单调递增 8 分高三理科数学参考答案第 4页（共 5 页） ∴ 1 (0,1)x  ， 1( ) ( 3 1) ( 3 1) ( 3 1) 2 ln(2 3) 3 3 0x f f               ∴ 1 1 1( ) ( 2) ( ) 0x f x f x     ，即 1 1 3( 2) ( ) ( )f x f x f x   12 分 （注意：若 ln(2 3) 3 3 0    没有证明，扣 3 分） 关于 ln(2 3) 3 3 0    的证明： （1） 0x  且 1x e  时， ln 2x ex  （需要证明），其中 2.72 3 1e    ∴ ln(2 3) (2 3) 2 ( 3 1)(2 3) 2 3 3e          ∴ 1ln(2 3) ln ln(2 3) 3 3 2 3         ∴ ln(2 3) 3 3 0    （2）∵ 3 1 2.73 e   ，∴ ln(4 2 3) 2ln(1 3) 2ln 2e     ∴ ln 2 ln(2 3) 2   ，即 ln(2 3) 2 ln 2   ∵ 102 1024 ， 7 72.7 1046e   ，∴ 10 72 e ，则10ln 2 7 ln 2 0.7   ∴ ln(2 3) 2 ln 2 2 0.7 1.3 3 3        22.（1）消去参数t 得l 普通方程为 3 2 3 0x y a   ，将 (2,0)A 带入，可得 1a  2 分 即 3 2 3 0x y   3 分 所以l 的极坐标方程为 3 cos sin 2 3 0      4 分 （2）C 的直角坐标方程为 2 2 13 yx   5 分 直线l 的直角坐标方程 3 2 3 0( 0)x y a a    设Q 的直角坐标为 (cos , 3 sin )  6 分  P 在直线上， PQ 的最小值为Q 到直线l 的距离 ( )d  的最小值 6 sin( ) 2 34( ) 2 a d      8 分  0a  ， 当 4   ，sin( ) 14    时 PQ 取得最小值 6 2 即 6 2 3 6 2 2 a  ， 2a  10 分 23.（1）当 2x   时，不等式为 2 2 2 2 1x x x      ，解得 3x   1 分 当 2 1x   时，不等式为 2 2 2 2 1x x x     ，解得 1 1x   2 分 当 1x  时，不等式为 2 2 2 2 1x x x     ，解得 51 3x  3 分 ∴原不等式的解集为  5, 3 1, 3       4 分 （2） ( ) 2 2 2 2 1 1f x x x x x x          ( 2) ( 1) 1 3 1 3x x x x          当且仅当 ( 2)( 1) 0 1 0 x x x       即 1x  时取等号，∴ max( ) 3f x  ， 3a b c    6 分高三理科数学参考答案第 5页（共 5 页） 2 2 2a b ab  ， 2 2 22( ) ( )a b a b    ， 2 2 2 ( )2a b a b    （当且仅当 a b 时取“=”） 8 分 同理可得 2 2 2 ( )2b c b c   ， 2 2 2 ( )2c a c a   ∴ 2 2 2 2 2 2 2( )a b b c c a a b c        ∴ 2 2 2 2 2 2 3 2a b b c c a      （当且仅当 1a b c   时取“=”） 10 分