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江夏一中、汉阳一中2020年4月高三年级联考试卷 理科数学 全解全析 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A B C C B A C C C A D ‎1．B 【解析】依题意得，， ，则，所以，故选B．‎ ‎2．A 【解析】依题意得，，故在复平面内复数所对应的点为，该点位于第一象限，故选A．‎ ‎3．B 【解析】依题意，问题[三三]中扇形的面积为平方步，问题[三四]中扇形的面积为平方步，故选B．‎ ‎4．C 【解析】运行该程序，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，此时输出S的值，观察可知，仅选项C符合题意，故选C．‎ ‎5．C 【解析】依题意得，，故.令，得，解得；因为，所以使得成立的n的最小值为13，故选C．‎ ‎6．B 【解析】令，即，则，即，由图可知，，故时，时，排除A、D；当时，易知是减函数，且当时，，则，C明显不合题意，排除C，故选B．‎ ‎7．A 【解析】如图，因为平面，所以，又，，所以平面，因为平面，所以．当异面直线与相互垂直时，由，可得平面，因为平面，所以，所以四边形为正方形，所以，反之亦然，即当时，可得，故选A．‎ 理科数学 全解全析 第8页（共8页）‎ ‎8．C 【解析】因为非零实数，满足，所以，所以，所以，，，所以选项A、B、D均正确；‎ 对于选项C，当，时，，所以选项C错误．故选C．‎ ‎9．C 【解析】依题意得，由，可得，则，，，，以上式子左右两边分别相加可得，即，即，故 ‎，故选C．‎ ‎10．C 【解析】依题意得，，故函数在上先减后增，故A错误；因为将函数的图象向左平移个单位长度后其图象对应的函数解析式为，函数的图象关于原点对称，故B错误；因为，所以是函数图象的一条对称轴，即，故C正确；当时，，则，故D错误.综上所述，故选C．‎ ‎11．A 【解析】以为坐标原点，线段所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，，则.由，得，化简可得，故，故，因为，故，当且仅当时等号成立，所以，故的取值范围为，故选A.‎ ‎12．D 【解析】有两种情况：‎ ‎（1）若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限.如图，设△OAB内切圆的圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，又，所以，所以，从而可得.‎ 理科数学 全解全析 第8页（共8页）‎ ‎ ‎ ‎（2）若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限.如图，易知，，，所以的内切圆半径为，所以，又因为，所以，所以，则，从而可得.‎ 综上，双曲线C的离心率为.故选D.‎ ‎13．240 【解析】依题意可得，的展开式的通项为，令，解得，故项的系数为．‎ ‎14． 【解析】设切点坐标为，由，得切线斜率，故，解得，故切点为或，分别代入中，可得．‎ ‎15． 【解析】4个人都没有完成任务的概率为，4个人中有3个没有完成任务的概率为，故至少2人完成任务的概率为．‎ ‎16．①②③ 【解析】依题意得直线的斜率均存在，且，设，直线，联立方程，得，整理可得，所以 理科数学 全解全析 第8页（共8页）‎ ‎，则 ‎，以代替可得，，，当且仅当时取等号，所以①正确；四边形的面积，当且仅当时取等号，所以②正确；因为，，所以直线的方程为，即，恒过定点，故③正确；若点为弦的三等分点，不妨设，则，所以，即，又，解得（舍去），或，代入，得，与两直线垂直矛盾，故④错误.综上所述，填①②③．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）依题意得，，故，‎ 则，（1分）‎ 所以，即，‎ 因为，所以，因为，所以，（3分）‎ 所以(为外接圆的半径)，则，‎ 故外接圆的面积.（6分）‎ ‎（2）由及余弦定理得，，（8分）‎ 又，，‎ 所以，解得，（10分）‎ 故．（12分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）∵二面角为直二面角，∴平面平面，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵平面平面，平面，∴平面，‎ 又平面，∴，（2分）‎ ‎∵，∴，又为的中点，∴，‎ 理科数学 全解全析 第8页（共8页）‎ 又，∴平面， （4分）‎ ‎∵平面，∴平面平面.（5分）‎ ‎（2）如图，连接CA，CE，在平面内作的垂线，建立空间直角坐标系，（6分）‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，，，，，‎ ‎∴，，（8分）‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∴即令，则，‎ ‎∴是平面的一个法向量，（10分）‎ ‎∵平面，∴平面的一个法向量为， ‎ ‎，‎ 由图可知二面角的平面角为锐角，‎ 故二面角的大小为60°.（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）依题意，，.（2分）‎ ‎（2）依题意，，‎ 理科数学 全解全析 第8页（共8页）‎ 因为，‎ 所以与之间具有很强的相关性.（8分）‎ ‎（3），‎ 所以所求回归直线方程为，（10分）‎ 故当时，．（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）设.‎ 因为，椭圆C的左顶点为(−2,0)，所以，‎ 故，‎ 故，（2分）‎ 设直线，代入椭圆的方程中，整理得，（4分）‎ 所以，‎ 故，解得，，‎ 故直线的方程为或.（6分）‎ ‎（2）由题意得直线l的方程为：，与椭圆方程联立可得整理得，‎ 设，则①，②，（8分）‎ 又(−2,0)，所以直线的方程为，令，解得，‎ 同理可得，，（10分）‎ 设.‎ 因为，所以=3，，‎ 将①②代入上式并化简可得，‎ 理科数学 全解全析 第8页（共8页）‎ 所以，‎ 故，为定值．（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）依题意，，，（1分）‎ 令，即，解得，（2分）‎ 故当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，（4分）‎ 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.‎ ‎（5分）‎ 注：处写成闭区间也给分.‎ ‎（2）令，‎ 由题意得，当时，，则有．（6分）‎ 下面证当时，对任意，都有．‎ 由于时，，当时，则有．‎ 故只需证明对任意，都有．（7分）‎ 易知在上单调递增，（8分）‎ 所以当时，，即，‎ 所以，则，‎ 设，，则． ‎ 当时，，，‎ 所以，所以在上单调递增，（10分）‎ 所以当时，，‎ 所以对任意，都有.‎ 理科数学 全解全析 第8页（共8页）‎ 所以当时，对任意，都有，‎ 故实数m的取值范围为．（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎【解析】（1）由可得，即，‎ 所以直线的普通方程为．（2分）‎ 由可得，即，‎ 将，代入上式，可得，即，‎ 所以曲线的极坐标方程为．（5分）‎ ‎（2）由，可得或，所以，‎ 由（1）可得，因为线段的中点为，所以，（7分）‎ 由（1）可知曲线表示圆，其圆心为，半径，‎ 所以，‎ 因为点在曲线上，所以．（10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎【解析】（1）由题可得，当且仅当时取等号；‎ 同理可得，，（2分）‎ 故，当且仅当时取等号，‎ 因为，所以，当且仅当时取等号．（5分）‎ ‎（2）要证，即证，‎ 即证，即证，‎ 即证，即证，（7分）‎ 因为，，所以，，，‎ 所以，所以．（10分）‎ 理科数学 全解全析 第8页（共8页）‎