天一联考“顶尖计划”2020届高中毕业班第二次考试理科数学（word版，含解析）.doc

天一联考“顶尖计划”2020届高中毕业班第二次考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合则 A.(1,2) B.[1,2) C.( -2,1] D.(-2,1)‎ ‎2.设i为虚数单位,z为复数,若为实数m,则m=‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ ‎3.执行如图所示的程序框图,若输入则输出的n的值为 ‎ B.2 D.3‎ ‎4.一个陶瓷圆盘的半径为10 cm,中间有一个边长为4 cm的正方形花纹,向盘中投入1000粒米后,发现落在正方形花纹上的米共有51粒,据此估计圆周率π的值为(精确到0.001)‎ A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.147‎ ‎5.将3个黑球、3个白球和1个红球排成-一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有 A.14种 B.15种 C.16种 D.18种 ‎6.已知三棱锥D - ABC的外接球半径为2,且球心为线段BC的中点,则三棱锥D-ABC的体积的最大值为 ‎ ‎ ‎7.已知AM，BN分别为圆与(的直径，则的取值范围为 A. [0,8] B.[0,9] C.[1,8] D.[1,9]‎ ‎8.如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（lg 2≈0.3）‎ ‎ B.10400 D.10600‎ ‎9.过抛物线的焦点F作直线与抛物线在第一象限交于点A,与准线在第三象限交于点B,过点A作准线的垂线垂足为H.若tan∠AFH=2,则 ‎ D.2‎ ‎10.已知双曲线的左、右焦点分别为过作一条直线与双曲线右支交于A,B两点,坐标原点为O,若，则该双曲线的离心率为 ‎ ‎ ‎11.记n个两两无交集的区间的并集为n阶区间，如( -∞,1]∪[2,3]为2阶区间设函数则不等式f[f(x)] +3≤0的解集为 A.2阶区间 B.3阶区间 C.4阶区间 D.5阶区间 ‎12.在正方体中,球同时与以A为公共顶点的三个面相切,球同时与以为公共顶点的三个面相切,且两球相切于点F.若以F为焦点为准线的抛物线经过设球半径分别为r1,r2,则 ‎ D.2-‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知f(x) =ex + eax是偶函数,则f(x)的最小值为____‎ ‎14.在直角坐标系中,某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为(1,1),(2,2),函数f(x) = Asin(ωx +φ)的图象经过该三角形的三个顶点,则f(x)的解析式为f(x) =____‎ ‎15.数列{an}满足递推公式,且，则____‎ ‎16.若存在实数k,b使得不等式f(x)≤kx + b≤g(x)在某区间上恒成立,则称f(x)与g(x)为该区间上的一对“分离函数”,下列各组函数中是对应区间上的"分离函数"的有____. ( 填上所有正确答案的序号)‎ ‎①x;‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17. (12分)‎ 如图,在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a, b,c,且满足asin B +bcos A=c,线段BC的中点为D.‎ ‎(I)求角B的大小;‎ ‎( II)已知求∠ADB的大小.‎ ‎18.(12分)‎ 如图,在直三棱柱ABC-A中,AB=BC=AA=1,，点D,E分别为AC和B的中点.‎ ‎(I)棱AA上是否存在点P使得平面PBD⊥平面ABE?若存在,写出PA的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由.‎ ‎(II)求二面角A-BE-D的余弦值.‎ ‎19.(12分)‎ 某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律,据统计该地区蜻蜓有A,B两种,且这两种的个体数量大致相等.记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长(单位:mm)分别为随机变量X,Y,其中X服从正态分布N(45,25),Y服从正态分布N(55,25).‎ ‎(Ⅰ)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只,求这只蜻蜓的翼长在区间[45,55]的概率;‎ ‎(Ⅱ)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z,若用正态分布N(μ,σ2)来近似描述Z的分布,请你根据(Ⅰ)中的结果,求参数μ和σ的值(精确到0.1);‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只,记这3只中翼长在区间[42.2,57.8]的个数为W,求W的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可).‎ 注:若X～N(μ,σ),则P(μ-0.64σ≤X≤μ＋0.64σ)≈0.4773,P(μ-σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9546.‎ ‎20.(12分)‎ 已知圆O:(x+1)+y=8上有一动点Q,点O的坐标为(1,0),四边形QO1O2R为平行四边形.线段O1R的垂直平分线交OR于点P.‎ ‎(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;‎ ‎(II)过点O作直线与曲线C交于A,B两点,点K的坐标为(2,1),直线KA,KB与y轴分别交于M,N两点,求证:线段MN的中点为定点,并求出△KMN面积的最大值.‎ ‎21.(12分)‎ 已知a>0,函数 ‎(I)若f(x)在区间上单调递增,求a的值;‎ ‎(Ⅱ)若a∈Z,f(x)>0恒成立,求a的最大值.‎ ‎(参考数据:‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为，(t为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.‎ ‎(I)求的极坐标方程和C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设分别交C于A,B两点(与原点O不重合),求|OA|·|OB|的最小值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知f(x)=|x-al＋|x+b|(a>0,b>0)‎ ‎(Ⅰ)当a=b=1时,解不等式f(x)≤8-x2﹔‎ ‎(Ⅱ)若f(x)的最小值为1,求的最小值.‎