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一.选择题
1.复数 (3 2 )z i i 的共轭复数 z 等于
A． 23i B． 23i C． 23i D． 23i
2.设 ,a b R ，i 是虚数单位，则“ 0ab ”是“复数 ba i 为纯虚数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.设 i 是虚数单位，复数 ai
i
为纯虚数，则实数 a 为
A．2 B． 2 C． D．
4.i 为虚数单位， 753
1111
iiii
A．0 B．2 C． i2 D．4
5 已知复数 2
3
(1 3 )
iz
i
， z 是 z 的共轭复数，则 zz =
A. 1
4 B. 1
2 C.1 D.2
6. 是虚数单位，
33
i
i
A． 13
4 12 i B． 13
4 12 i C． 13
26i D． 13
26i
7. 设 曲 线 1 nyx ()nN 在 (1,1) 处 切 线 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 为 nx ，则
20122013320132201312013 loglogloglog xxxx 的值为（ ）
A． 2013log 2012 B． 2013(log 2012) 1 C．1 D． 1
8.已知 a＞b＞c，n∈N*，且
ca
n
cbba
11 恒成立，则 n 的最大值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9.函数 21nf x ax x在区间 0,1 上的图象如图所示，则 n 可能是（ ）
线上测试三（文科数学）
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（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
10．杨辉三角是二项式系数在只角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所
著的《详解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在 1654 年发现
这一规律，比杨辉要迟了 393 年．如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的
数组成一个锯齿形数列：1，2，3，36，4，10，5，…，则在该数列中，第 37 项是（ ）
A．153 B．171 C．190 D．210
11．甲、乙、丙、丁、戊五人乘坐高铁出差，他们正好坐在同一排的 A、B、C、D、F 五个
座位．已知：
（1）若甲或者乙中的一人坐在 C 座，则丙坐在 B 座；
（2）若戊坐在 C 座，则丁坐在 F 座．如果丁坐在 B 座，
那么可以确定的是（ ）
A．甲坐在 A 座 B．乙坐在 D 座 C．丙坐在 C 座 D．戊坐在 F 座
12．某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课
程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙
没有相同课程．则以下说法错误的是（ ）
A．丙有可能没有选素描 B．丁有可能没有选素描
C．乙丁可能两门课都相同 D．这四个人里恰有 2 个人选素描
13.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
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乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次
序为
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
14．胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859 年，英国作家约翰•泰勒（JohnTaylor，1781﹣1846）
在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例
，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一
个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若 h2＝as，则由勾股定理，as＝s2﹣a2，即
，因此可求得 为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为 756 英尺的正方
形（2a＝756），顶点 P 的投影在底面中心 O，H 为 BC 中点，根据以上信息，PH 的长度
（单位：英尺）约为（ ）
A．233.6 B．481.4 C．512.4 D．611.6
15．已知数列 1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其
中第一项是 20，第二项是 1，接着两项为 20，21，接着下一项是 2，接着三项是 20，21，
22，接着下一项是 3，依此类推，记该数列的前 n 项和为 Sn，则满足 Sn＞3000 的最小的
正整数 n 的值为（ ）
A．65 B．67 C．75 D．77
16．给出下面类比推理命题（其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：
①“若 a，b∈R，则 a﹣b＝0⇒a＝b”类比推出“若 a，b∈C，则 a﹣b＝0⇒a＝b”；
②“若 a，b，c，d∈R，则复 a+bi＝c+di⇒a＝c 且 b＝d”
类比推出“若 a，b，c，d∈Q，则 ”；
③“若 a，b∈R，则 a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若 a，b∈C，则 a﹣b＞0⇒a＞b”．
其中类比结论错误的个数是（ ）
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A．0 B．1 C．2 D．3
17．1 元＝100 分＝10×10 分＝0.1×0.1 元＝0.01 元，上式错误的是（ ）
A．1 元＝100 分 B．100 分＝10×10 分
C．10×10 分＝0.1×0.1 元 D．0.1×0.1 元＝0.01 元
18．有下列几种说法：①归纳推理和类比推理是“合乎情理”的推理，统称为合情推理；
②合情推理得出的结论，因为合情，所以一定正确；
③演绎推理是一般到特殊的推理；
④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理的形式有关．
以上说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
19．在 Rt△ABC 中，CA⊥CB，斜边 AB 上的高为 h1，则 ＝ + ；类比此性质，
如图，在四面体 P﹣ABC 中，若 PA，PB，PC 两两相垂直，底面 ABC 上的高为 h，则得
到的正确结论为（ ）
A． ＝ + + B． ＝ + +
C． ＝ + +
D． ＝ + +
20．在技术工程中，常用到双曲正弦函数 和双曲余弦函数 ，其
实双曲正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦和余弦函数相似，比如关于正、余
弦函数有 cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny 成立，而关于双曲正、余弦函数满足 ch（x+y）
＝chxchy﹣shxshy，请你类比关系式，得出关于双曲正弦、双曲余弦函数的关系中不正确
的是（ ）
A．sh（x+y）＝shxchy+chxshy B．sh2x＝2shxchx
C．ch2x＝2sh2x﹣1 D．ch2x+sh2x＝1
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二.填空题
1．在直角坐标系 xOy 中，AB 是圆 O 的弦，M 是 AB 中点，若 AB，OM 都存在非零斜率
kAB，kOM，则 kAB•kOM＝﹣1．类比于圆，在直角坐标系 xOy 中，AB 是椭圆 ＝1
（a＞b＞0）的弦，M 是 AB 中点，若 AB，OM 都存在非零斜率 kAB，kOM，则 kAB•kOM
＝ ．
2．毕达哥拉斯的生长程序如图所示：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角
形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到 511 个正方形，设初始正
方形的边长为 1，则最小正方形的边长为 ．
3．对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝ ，33＝ ，
43＝ ，…．仿此，若 m3 的“分裂数”中有一个是 413，则 m＝ ．
4．设 xxf ln)( ，若函数 axxfxg )()( 在区间 )4,0( 上有三个零点，则实数 a 的取值
范围是_______.
5.已知函数 f(x)＝sin x－1
2x(x∈[0，π])，那么下列结论正确的是________．
①f(x)在 0，π
2 上是增函数；②f(x)在 π
6，π 上是减函数；③∃x∈[0，π]，f(x)>f π
3 ；④
∀x∈[0，π]，f(x)≤f π
3 .
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三.解答题
1.下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量t 的两个线性回
归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为1 2 17，，…， ）建立模
型①： ˆ 30.4 13.5 yt；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为
1 2 7，，…， ）建立模型②： ˆ 99 17.5yt．
(1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
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2.某高校共有学生 15 000 人，其中男生 10 500 人，女生 4500 人．为调查该校学生每周平均
体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本
数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图 1•4
所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估
计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率．
图 1•4
(3)在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均
体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运
动时间与性别有关”．
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
附：K2＝ n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
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3.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，
左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 80
3
立方米，且 2lr≥ .假设该容器的建
造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方
米建造费用为 ( 3)cc＞ 千元.设该容器的建造费用为 y 千元.
（1）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的建造费用最小时的 .
4.已知函数 1( ) ln + )f x x axa（ ，其中 aR 且 0a .
（1）讨论 ()fx的单调性；
(2) 若不等式 ()f x ax 恒成立，求实数 a 取值范围；
（3）若方程 ( ) 0fx 存在两个异号实根 1x ， 2x ，求证： 120xx
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