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高三数学第 1 页 共 8 页 2020 渤大附中、育明高中高三摸底考试 理科数学试卷 命题教师：高三备课组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生请注意：Ⅰ考试时间 120 分钟。满分 150 分； Ⅱ只交答题纸，在卷上作答无效。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一．选择题：（本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合  2 3 2 0M x x x    ，集合 1= 42 x N x           ，则 M N  （ ） A． 2x x   B． 1x x   C． 2x x   D． R 2．已知复数 z 满足 2 1zi z i   ，则 z  ( ) A．1 2i B．1 2i C．1 i D．1 i 3．方程 2 2 12 3 x y m m    表示双曲线的一个充分不必要条件是 ( ) A． 3 0m   B． 1 3m   C． 3 4m   D． 2 3m   4．已知数列 na 是正项等比数列，若 1 32a  ， 3 4 32a a  ，数列 2log na 的前 n 项和为 nS ， 则 nS >0 时 n 的最大值为( ) A．5 B．6 C．10 D．11 5．函数 ( ) sin( ), 0,0 2f x x            在一个周期内的图象 如图所示，M、N 分别是图象的最高点和最低点，其中 M 点横坐标为 1 2 ，O 为坐标原点，且 0OM ON   ，则 ， 的值分别是（ ）高三数学第 2 页 共 8 页 A． 2 3  ， 6  B． ， 3  C．2， 4  D．1， 3  6．《周髀算经》 是我国古代的天文学和数学著作。 其中一个问题的大意为：一年有二十四个节气（如 图），每个节气晷长损益相同（即物体在太阳的照射 下影子长度的增加量和减少量相同）．若冬至晷长一 丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：ー丈等于十 尺，一尺等于十寸），则立冬节气的晷长为（ ） A．九尺五寸 B．一丈五寸 C．一丈一尺五寸 D．一丈六尺五寸 7．某程序框图如图所示，其中 2 1( )g x x x   ，若输出的 2019 2020S  ，则判断框内应填入的条 件为（ ） A． 2020?n  B． ?2020n C． 2020?n  D． ?2020n 8．已知 2 2 2 ( 4 5sin )a x x dx    ，且 2am  .则展开式 2 12 (1 )mxx      中 x 的系数为（ ） A．12 B． 12 C．4 D． 4高三数学第 3 页 共 8 页 9．设 E ，F 分别是正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱 DC 上 两点，且 2AB  ， 1EF  ，给出下列四个命题: ①三棱锥 1 1D B EF 的体积为定值; ②异面直线 1 1D B 与 EF 所成的角为 45; ③ 1 1D B  平面 1B EF ; ④直线 1 1D B 与平面 1D EF 所成的角为 60. 其中正确的命题为（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 10．某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别 要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ） A． 3 20 B． 3 13 C． 39 7 D． 17 78 11．已知  ,0F c 为双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右焦点，若圆 F ： 2 2 2x c y a   上恰有三个点到双曲线C 的一条渐近线的距离为 2 a ，则双曲线的离心率为（ ）. A． 5 2 B． 6 2 C． 10 2 D． 13 2 12．已知函数 2 2ln 3( ) x xf x mx    ，若 0 1 ,4x       ，使得 0 0( ( ))f f x x ，则 m 的 取值范围是( ). A.  e2, B.  122ln16,2  e C.  e2,0 D. 0,2 e 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分．）高三数学第 4 页 共 8 页 13．已知  1,3a  ，  2,b k  ，且    2 / / 3a b a b    ，则实数 k  __________． 14．直线l 过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点，且交抛物线于 ,A B 两点，交其准线于C 点， 已知 3AF ， 3CB BF  ，则 p  ___________． 15．已知定义在 R 上的函数  f x 满足 ( 1) (1 )f x f x   且在[1, ) 上是增函数，不等式 ( 2) ( 1)f ax f x   对任意 1 ,12x      恒成立，则实数 a 的取值范围是 . 16．在三棱锥 D ABC 中，AD  平面 ABC ，且 6AD AB  ， 120BAC   ，AB AC ， 当三棱锥 D ABC 的体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积为__________． 三、解答题：（共 6 题满分 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分 12 分） 已知函数    2cos 3 cos sin 3f x x x x   . (1)求函数  f x 的最小正周期； (2)在 ABC△ 中，角 , ,A B C 对的边是 , ,a b c 若 A 为锐角，且满   0,sin 4sin ,f A B C ABC   的面积为 3 ，求边长 a 的值. 18．（本小题满分 12 分） 为了让税收政策更好的为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发 布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育大病 医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，决定自 2019 年 1 月 1 日起施行，某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问 卷调查，整理数据得如下 2×2 列联表：高三数学第 5 页 共 8 页 40 岁及以下 40 岁以上 合计 基本满意 15 30 45 很满意 25 10 35 合计 40 40 80 （1）根据列联表,能否有 99%的把握认为满意程度与年龄有关? （2）为了帮助年龄在 40 岁以下的未购房的 8 名员工解决实际困难,该企业拟按员工贡献积分 x （单位：分）给予相应的住房补贴 y（单位：元）,现有两种补贴方案，方案甲： 1000 700y x  ; 方案乙： 3000,0 5 5600,5 10 9000, 10 x y x x        .已知这 8 名员工的贡献积分为 2 分,3 分,6 分,7 分,7 分,11 分,12 分,12 分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“ A 类员工”.为了解员工对补贴方 案的认可度,现从这 8 名员工中随机抽取 3 名进行面谈，记随机变量 X 为抽到 “ A 类员工”的个 数,求 X 的分布列及数学期望 EX. 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 参考数据：  2 0P K k 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635高三数学第 6 页 共 8 页 19．（本小题满分 12 分） 如图，已知四边形 ABCD 满足 / /AD BC ， 1 2BA AD DC BC a    ， E 是 BC 的中点， 将 BAE 沿 AE 翻折成 1B AE ，使得 1 6 2B D a ， F 为 1B D 的中点. （Ⅰ）证明： 1 / /B E 平面 ACF ； （Ⅱ）求平面 1ADB 与平面 1ECB 所成锐二面角的余弦值. 20．（本小题满分 12 分） 已知函数      2 2 lnf x x a x a x a R     ． （1）求函数  y f x 的单调区间； （2）当 1a  时，证明：对任意的 0x  , 2( ) 2xf x e x x    ．高三数学第 7 页 共 8 页 21．（本小题满分 12 分） 椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的焦距是8 2 ，长轴长是短轴长 3 倍，任作斜率为 1 3 的直线l 与 椭圆C 交于 A B、 两点（如图所示），且点  3 2, 2P 在直线 l 的左上方. （1）求椭圆C 的方程； （2）若 2 10AB  ，求 PAB 的面积； （3）证明： PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上。 请考生在 22,23 两题中任选一题作答, 如果多做，则按所做的第一题记分。 22．选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 3 ,2 11 ,2 x t y t       （t 为参数），以原点为极点，x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的方程为 36 4 3sin 12cos        ，定点  6,0M ， 点 N 是曲线 1C 上的动点，Q 为 MN 的中点. （1）求点Q的轨迹 2C 的直角坐标方程； （2）已知直线 l 与 x 轴的交点为 P ，与曲线 2C 的交点为 ,A B ，若 AB 的中点为 D ，求 PD 的 长.高三数学第 8 页 共 8 页 23．选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 设函数 2 2( ) | | | 2 | ( , )f x x a x b a b R     . （1）若 1a  ， 0b  ，求 ( ) 2f x  的解集； （2）若 ( )f x 的最小值为 8，求 2a b 的最大值.