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襄阳五中理科数学考试题
时间：2020 年 4 月 4 日
一、选择题
1．已知集合 1,1,3,5,7A ， 2log 3B x y x ，则 A B （ ）
A． 1,3,5,7 B． 1,5,7 C． 3,5,7 D． 5,7
2．若复数 2a i 1 i (i 为虚数单位 ) 在复平面内对应的点在虚轴上，则实数 a 为（ ）
A． 2 B．2 C． 1
2
D． 1
2
3．设函数 tan 2
xf x ，若 3log 2a f ， 5log 2b f ， 0.22c f ，则（ ）
A． a b c B． b c a C． c a b D．b a c
4．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下
两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相
互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为 q，这两个相距 R 的惰性气
体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为
2
1 2 1 2
1 1 1 1U kcq R R x x R x R x
，其中， kc 为静电常量， 1x 、 2x 分别
表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知 1 2
1 2 1 x xR x x R R
，
1
1 1 xR x R R
， 2
2 1 xR x R R
，且 1 21 1x x x ，则U 的近似值（ ）
A．
2
1 2
3
kcq x x
R
B．
2
1 2
3
kcq x x
R
C．
2
1 2
3
2kcq x x
R
D．
2
1 2
3
2kcq x x
R
5．函数 2( ) 1 cos1 xf x xe
图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．试卷第 2页，总 5页
6．《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥 P ABC 为
鳖臑，其中 PA 平面 3ABC PA AB BC , ，三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O
的球面上，假设有一只蜜蜂在球O 内自由飞行，则其飞入鳖臑内的概率是（ ）
A． 3
3 B． 3
6 C． 3
9 D． 3
18
7．已知 1, 2a b ，a 与b 的夹角为 60 ,则 a b 在 a 上的投影为( )
A．2 B．1
C． 2 7
7
D． 7
7
8．运行如下程序框图，若输出的 k 的值为 6，则判断框中可以填（ ）
A． 30S B． 62S
C． 62S≤ D． 128S
9．已知等比数列 na 的前 n 项和 1 *2 1n
nS a n N ，其中 a 是常数，则 a
（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D． 2
10．已知椭圆 C 的焦点为 1 21,0 1,0F F( )， ( )，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若
2 22AF F B│ │ │ │， 1AB BF│ ││ │，则 C 的方程为
A．
2
2 12
x y B．
2 2
13 2
x y C．
2 2
14 3
x y D．
2 2
15 4
x y
11．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 的导函数为 ( )f x , ( 1)f x 的图象关于点 ( 1,0) 对
称，且对于任意的实数 x ，均有 ( )( ) ln 2
f xf x 成立，若 ( 2) 2f ，则不等式
1( ) 2 xf x 的解集为（ ）
A． ( 2, ) B． (2, ) C． ( , 2) D． ( ,2)
12．如图，正四面体 ABCD 的顶点 C 在平面α内，且直线 BC 与平面α所成的角为 30°，
顶点 B 在平面α内的射影为 O，当顶点 A 与点 O 的距离最大时，直线 CD 与平面α所成
角的正弦值等于( )
A． 6 3 2
12
B．
C． 6 2
4
D．
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二、填空题
13．若函数 2ln 1
2
xf x xx
在点 1, 1f 处的切线与直线 1 0x ay 垂直，则实
数 a __________.
14．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 5 14a a ， 9 27S ，则使得 nS 取
最小值时的 n 为__________．
15．2020 年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供
应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续 5 天生产的口罩数
依次为 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 5x （单位：十万只），若这组数据 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 5x 的
方差为 1.44，且 2
1x ， 2
2x ， 2
3x ， 2
4x ， 2
5x 的平均数为 4，则该工厂这 5 天平均每天生产
口罩__________十万只.
16．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左右顶点分别是 ,A B ，右焦点 F ，过 F 垂直
于 x 轴的直线l 交双曲线于 ,M N 两点， P 为直线l 上的点，当 APB 的外接圆面积达
到最小时，点 P 恰好落在 M （或 N ）处，则双曲线的离心率是__________．
三、解答题
17．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对应边分别为 , ,a b c .
（1）若 , ,a b c 成等比数列，
3os 1c 12B ，求 cos cos
sin sin
A C
A C
的值；
（2）若角 , ,A B C 成等差数列，且 2b ，求 ABC 周长的最大值.
18．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，且 1AD PD ，平面 PCD⊥
平面 ABCD， PDC 120 ，点 E 为线段 PC 的中点，点 F 是线段 AB 上的一个动点．
（Ⅰ）求证：平面 DEF 平面 PBC；
（Ⅱ）设二面角C DE F 的平面角为 ，试判断在线段 AB 上是
否存在这样的点 F，使得 tan 2 3 ，若存在，求出 | |
| |
AF
FB
的值；
若不存在，请说明理由．试卷第 4页，总 5页
19．已知点 F 是抛物线 2C: 2 ( 0)y px p 的焦点，若点 0,4P x 在抛物线C 上，且
5 .2PF p
1 求抛物线C 的方程；
2 动直线 l: 1x my m R 与抛物线C 相交于 ,A B 两点，问：在 x 轴上是否存在
定点 ,0 (D t 其中 0)t ，使向量
DA DB
DA DB
与向量OD
共线 ( 其中O 为坐标原点
) ？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．2020 年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，
为疫区助力．福建省漳州市东山县共 101 个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力，募捐
价值百万的海鲜输送武汉．东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州
市东山县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东南是
著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的优
势．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境
下服从正态分布 (280,25)N ．
（1）随机购买 10 只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于 265 克该海产品的概率；
（2）2020 年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为 49
千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入 ix （千元）与年收益增量 iy （千
元）． ( 1,2,3, ,8)i 的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集
中在曲线 y a b x 的附近，且
46.6,x 563,y 6.8,t
8 2
1
289.8,i
i
x x
8 2
1
1.6i
i
t t
，
8
1
1469,i i
i
x x y y
8
1
108.8i i
i
t t y y
，其中 ,i it x
8
1
1
8 i
i
t t
．根
据所给的统计量，求 y 关于 x 的回归方程，并预测先进养殖技术投入为 49 千元时的年
收益增量．试卷第 5页，总 5页
附：若随机变量 ~ (1,4)Z N ，则 ( 5 7) 0.9974,P Z 100.9987 0.9871 ;
对于一组数据 1 1, ,u v 2 2, ,u v , ,n nu v ，其回归线 v u 的斜率和截距的最小
二乘估计分别为
1
2
1
ˆ ,
n
i i
i
n
i
i
u u v v
u u
ˆˆ v u ．
21．已知函数 2( ) 1xf x e ax bx ，其中 ,a b R ， 2.71828e 为自然对数的
底数.
（Ⅰ）设 ( )g x 是函数 ( )f x 的导函数，求函数 ( )g x 在区间[0,1] 上的最小值；
（Ⅱ）若 (1) 0f ，函数 ( )f x 在区间 (0,1) 内有零点，求 a 的取值范围
22．（极坐标与参数方程）直线l 的参数方程为 cos
sin
x t
y t
(其中t 为参数)，以坐标原点
O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
2 2 cos 4=0m (其中 0m ).
（1）点 M 的直角坐标为(2,2)，且点 M 在曲线C 内，求实数 m 的取值范围；
（2）若 2m ，当 变化时，求直线被曲线C 截得的弦长的取值范围.
23．（不等式选讲）已知函数
⸲ 㜱 ඈ ⸲ 鲀 䁐
，且
㜱 䁐
的解集为
㜱 ͵ 㜱 （Ⅰ）求
⸲
的值；
（Ⅱ）若
，
，
都是正实数，且
͵ ⸲
，求证：
͵
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