数学（理科）试题 第 1 页（共 4 页）
安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试
数学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本
试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 1{ | 1}A x x R ， { | | 1}B x x R ，则 A B
A．(1, ) B．(0, ) C．( , 1) (0, ) D．( , 1) (1, )
2．已知复数 z 满足： i 3 4iz （i 为虚数单位），则 z
A． 4 3i B． 4 3i C． 4 3i D． 4 3i
3．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在 2015 年
以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70% ．2015 年开始，全面实
施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中 2019 年度实施的扶贫项目，各项目参加户
数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：
实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业
参加户占比 40% 40% 10% 10%
脱贫率 95% 95% 90% 90%
那么 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的
A． 37
28
倍 B． 47
35
倍 C． 48
35
倍 D． 7
5
倍
4．函数 sin | |y x x 在 [ 2 ,2 ]x 上的大致图象是
A． B．
C． D． x
y
O 22 x
y
O 22
x
y
O 22x
y
O 22
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5．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的右焦点为 F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双
曲线C 的一条渐近线交于点O 及点 3 3( , )2 2A ，则双曲线C 的方程为
A．
2
2 13
yx B．
2 2
12 6
x y C．
2
2 13
x y D．
2 2
16 2
x y
6．已知实数 ,x y 满足不等式组
1 0
2 4 0
4 4 0
x y
x y
x y
，则| 3 4 |x y 的最小值为
A． 2 B．3 C． 4 D．5
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为
A． 24
B． 28
C．32
D．36
8．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天
的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八
边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边
形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为 4m ，则每块八卦田的面积约为
A． 247.79m
B． 254.07m
C． 257.21m
D． 2114.43m
9．已知数列{ }na 中， 1 1a ， 2 2a ，且当 n 为奇数时， 2 2n na a ；当 n 为偶数时， 2 1na
3( 1)na ．则此数列的前 20 项的和为
A．
113 3 902
B．
113 3 1002
C．
123 3 902
D．
123 3 1002
10．函数 ( ) sin( )( 0, 0,0 2 )g x A x A 的部分图象如图所示，已知 5(0) ( )6g g
3 ，函数 ( )y f x 的图象可由 ( )y g x 图象向右平移
3
个单位长度而得到，则函数 ( )f x 的
解析式为
A． ( ) 2sin 2f x x
B． ( ) 2sin(2 )3f x x
C． ( ) 2sin 2f x x
D． ( ) 2sin(2 )3f x x
O x
y
3
6
5
6
33 1
4
正视图 侧视图
俯视图
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11．已知函数 2( ) (ln 1)( 4)f x ax x ax ，若 0x 时， ( ) 0f x 恒成立，则实数 a 的值为
A． 2e B． 4e C． e
4 e
D． e
e 2
12．如图，棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P 为线段 1AB 的中点， ,M N 分别为线段 1AC 和
棱 1 1B C 上任意一点，则 2 2PM MN 的最小值为
A． 2
2
B． 2
C． 3
D． 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知正项等比数列{ }na 中， 2 4 4
9
2
a a ， 7 9 14
9
2
a a ，则 13a ．
14． 6
3
1(2 )x
x
的二项展开式中，含 x 项的系数为 ．
15．如图，两个同心圆O 的半径分别为 2 和 2 ， AB 为大圆O 的一条
直径，过点 B 作小圆O 的切线交大圆于另一点C ，切点为 M ，点
P 为劣弧 BC 上的任一点（不包括 ,B C 两点），则 ( )AM BP CP
的最大值是 ．
16．已知两动点 ,A B 在椭圆
2
2
2: 1( 1)xC y aa 上，动点 P 在直线3 4 10 0x y 上，若 APB
恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个
试题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 2 22sin 2cos 2cos cos 12 2
A B A B A B ．
（1）求角C 的大小；
（2）若 4c ，| | 38CA CB
，求 ABC△ 的周长．
18．（12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAB 为等腰直角三角形， BC 平面 PAB , PA PB ，
2AB BC ， 5AD BD ．
（1）求证： PA 平面 PBC ；
（2）求直线 PC 与平面 PAD 所成的角的正弦值．
P
A B
CD
C
A O B
M
P
P M
N
A
B C
D
1D1A
1B 1C
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19．（12 分）
已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，点 ( ,3)A a ，点 P 为抛物线C 上的动点．
（1）若| | | |PA PF 的最小值为5 ，求实数 a 的值；
（2）设线段OP 的中点为 M ，其中O 为坐标原点，若 MOA MAO AOF ，求 OPA△
的面积．
20．（12 分）
已知函数 2( ) cos 1( )x xf x e e x R ，直线l 是曲线 ( )y f x 在 0x 处的切线．
（1）求证：无论实数 取何值，直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若直线l 经过点(1,6) ，试判断函数 ( )f x 的零点个数并证明．
21．（12 分）
某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格．．．的概率均为 p ，现工厂为提高产品声誉，要求在
交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5 件该产品，且每
件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检
验方案：将产品每 k 个 ( 5)k 一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品
均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如
此，每一组产品只需检验1次或1 k 次．设该工厂生产1000 件该产品，记每件产品的平均检验次
数为 X ．
（1）求 X 的分布列及其期望；
（2）（ⅰ）试说明，当 p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ⅱ）当 0.1p 时，求使该方案最合理时 k 的值及1000 件该产品的平均检验次数．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2 cos
2 sin
x t
y t
（t 为参数， 为实数）．以坐标
原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 8sin ，曲线 1C
与曲线 2C 交于 ,A B 两点，线段 AB 的中点为 M ．
（1）求线段 AB 长的最小值；
（2）求点 M 的轨迹方程．
23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分）
已知非零实数 ,a b 满足 a b ．
（1）求证： 3 3 2 22 2a b a b ab ；
（2）是否存在实数 ，使得 2 2
1 1( )b a
a b a b 恒成立？若存在，求出实数 的取值范围；
若不存在，请说明理由．
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