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洛阳市２０１９———２０２０学年高中三年级第二次统一考试 数学试卷参考答案（文） 一、选择题 １—５ＤＡＢＢＢ　　６—１０ＣＡＣＢＢ　　１１—１２ＡＤ 二、填空题 １３．２　　１４．２０２０　　１５．（狓－２）２ ＋ （狔－１）２ ＝４　　１６．２５ ８ 三、解答题 １７．（１）犳（狓）＝４ｓｉｎ（狓－ π ３ ）ｃｏｓ狓＋槡３ ＝４（１ ２ｓｉｎ狓－槡３ ２ｃｏｓ狓）ｃｏｓ狓＋槡３ ……１分 ＝２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓－ 槡２ ３ｃｏｓ２狓＋槡３ ＝ｓｉｎ２狓－槡３ｃｏｓ２狓 ……２分 ＝２ｓｉｎ（２狓－ π ３）． ……３分 所以函数犳（狓）的最小正周期为 犜 ＝π． ……４分 由２犽π－ π ２ ≤２狓－ π ３ ≤２犽π＋π ２ （犽∈犣），得犽π－ π １２≤狓≤犽π＋５π １２ （犽∈犣）． ……５分 所以函数犳（狓）的单调递增区间为［犽π－ π １２ ，犽π＋５π １２ ］（犽∈犣）． ……６分 （２）函数犵（狓）＝犳（狓）－犿 在［０，π ２ ］上有两个不同的零点狓１，狓２，即函数狔 ＝ 犳（狓）与狔 ＝ 犿 在［０，π ２ ］上的图象有两个不同的交点， ……７分 在直角坐标系中画出函数狔 ＝犳（狓）＝２ｓｉｎ（２狓－ π ３）在［０，π ２］上的图象，如图所示， ……８分 由图象可知，当且仅当 犿 ∈ ［槡３，２）时，方程犳（狓） ＝ 犿 有两个不同的解狓１，狓２， ……９分 且狓１ ＋狓２ ＝２×５π １２＝５π ６， ……１１分 故ｔａｎ（狓１ ＋狓２）＝ｔａｎ５π ６ ＝－ｔａｎπ ６ ＝－槡３ ３ ． ……１２分 １８．（１）证明：连接犙犕 ， ∵　犕，犖，犙 分别为犅犆，犆犇，犃犆 的中点， ∴　犙犕 ∥ 犃犅， ……１分 高三数学答案（文）　第１页　（共５页）　（２０１９．４）又 ∵　犙犕  平面 犘犃犅，犃犅  平面 犘犃犅， ∴　犙犕 ∥ 平面 犘犃犅， 同理，犙犖 ∥ 平面 犘犃犅， ……２分 ∵　犙犕  平面 犕犖犙，犙犖  平面 犕犖犙，犙犕 ∩犙犖 ＝犙， ∴　 平面 犕犖犙 ∥ 平面 犘犃犅， ……３分 ∵　犕犎  平面 犕犖犙， ∴　犕犎 ∥ 平面 犃犅犘． ……４分 （２）在等腰梯形 犃犅犆犇 中，作 犃犈 ⊥犅犆 于犈，犇犉 ⊥犅犆 与犉， 易得犈犉 ＝ 犃犇 ＝２，又犅犆 ＝４， ∴　犅犈 ＝犆犉 ＝１，ｃｏｓ∠犃犅犈 ＝ 犅犈 犃犅 ＝ １ ２． ∴　∠犃犅犈 ＝ π ３． ∵　∠犃犅犈 与 ∠犃犇犆 互补，　∴　∠犃犇犆 ＝ ２ ３π． 在 △犃犇犆 中，犃犆 ＝ 犃犇２ ＋犇犆２ －２犃犇·犇犆·ｃｏｓ∠槡 犃犇犆 ＝ 槡２ ３． ∴　犅犆２ ＝ 犃犅２ ＋犃犆２．　∴　犃犅 ⊥ 犃犆． ……５分 ∵　犅犘 ∥ 犕犖，∠犃犅犘 为锐角， ∴　∠犃犅犘 为直线犃犅 与 犕犖 所成的角，∠犃犅犘 ＝ π ４． 又 犃犅 ＝ 犃犘 ＝２，　∴　△犃犅犘 为等腰直角三角形．　∴　犅犘 ＝ 槡２ ２． ……６分 ∴　ｃｏｓ∠犅犆犇 ＝４２ ＋２２ － （槡２ ２）２ ２×４×２ ＝ ３ ４． ……７分 ∴　犛△犃犅犆 ＝ １ ２犃犅·犃犆 ＝ １ ２ ×２× 槡２ ３ ＝ 槡２ ３． 犛△犃犘犅 ＝ １ ２犃犅·犃犘 ＝ １ ２ ×２×２＝２． 犛△犃犆犘 ＝ １ ２犃犘·犘犆·ｓｉｎ∠犃犘犆 ＝ １ ２ ×２×２ｓｉｎ２π ３ ＝ 槡３． ……１０分 ∴　犛△犅犆犘 ＝ １ ２犅犆·犘犆·ｓｉｎ∠犅犆犘 ＝ １ ２ ×４×２× １－ （３ ４ ）槡 ２ ＝ 槡７， ……１１分 ∴　 三棱锥 犘－犃犅犆 的表面积为犛 ＝２＋ 槡３ ３＋槡７． ……１２分 １９．（１）设 犃（狓０，０），犅（０，狔０），则狓０ ２ ＋狔０ ２ ＝９． ……１分 高三数学答案（文）　第２页　（共５页）　（２０１９．４）设 犕（狓，狔）由 →犅犕 ＝２ →犕犃 得 狓 ＝２（狓０ －狓）， 狔－狔０ ＝２（０－狔）｛ ． 狓０ ＝ ３ ２狓， 狔０ ＝３狔 烅 烄 烆 ． ……２分 故（３ ２狓）２ ＋ （３狔）２ ＝９， 化简得 犕 的轨迹犆 的方程为狓２ ４ ＋狔２ ＝１． ……４分 （２）依题意，直线 犖犘 斜率存在，可设直线 犖犘 的方程为狔 ＝犽狓＋１， 与犆 的方程联立，消去狔 得（１＋４犽２）狓２ ＋８犽狓 ＝０． ……５分 上式为 犘、犖 的横坐标，设 犘（狓１，狔１），则狓１ ＝ －８犽 １＋４犽２， 狔１ ＝犽狓１ ＋１＝１－４犽２ １＋４犽２． ……６分 设犙（狓２，狔２），则狓２ ＝ ８犽 犽２ ＋４ ， ……７分 狔２ ＝－ １ 犽狓２ ＋１＝犽２ －４ 犽２ ＋４． ……８分 直线 犘犙 的方程为狔－狔１ 狔２ －狔１ ＝ 狓－狓１ 狓２ －狓１ ． ……９分 令狓 ＝０，得狔 ＝狓２狔１ －狓１狔２ 狓２ －狓１ ＝ ８犽 犽２ ＋４×１－４犽２ １＋４犽２ － －８犽 犽２ ＋４×犽２ －４ 犽２ ＋４ ８犽 犽２ ＋４－ －８犽 １＋４犽２ ……１０分 ＝ －２４犽３ －２４犽 ４０犽＋４０犽３ ＝－ ３ ５． ……１１分 故直线 犘犙 恒过点（０，－ ３ ５ ）， ……１２分 ２０．（１）设质量指标在［１５，２０）内的两件产品为 犃，犅，在［２０，２５）内的１８件产品分别 为１，２，３，…，１８． 从这２０件产品中任取两件，有 （犃，犅），（犃，１），（犃，２），…，（犃，１８）， （犅，１），（犅２），（犅３），…，（犅，１８）， （１，２），（１，３），（１，４），…，（１，１８）， （２，３），（２，４），（２，５），…，（２，１８）， ……， （１７，１８）． ……２分 共１９＋１８＋１７＋ … ＋３＋２＋１＝１９０种不同的取法． ……３分 其中两件都为合格品的有（１，２），（１，３），（１，４），…，（１，１８）， （２，３），（２，４），（２，５），…，（２，１８）， 高三数学答案（文）　第３页　（共５页）　（２０１９．４）……， （１７，１８）． ……４分 共１７＋１６＋１５＋ … ＋３＋２＋１＝１５３种不同的取法． ……５分 故两件都为合格品的概率为１５３ １９０． ……６分 （２）① ……７分 ②２×２列联表： 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 ８６ ９６ １８２ 不合格品 １４ ４ １８ 合计 １００ １００ ２００ ……８分 犓２ 的观测值犽＝２００× （８６×４－９６×１４）２ １８２×１８×１００×１００ ≈６．１０５， ……９分 ∵　６．１０５＞５．０２４，犘（犓２ ≥５．０２４）＝０．０２５， ……１０分 ∴　 有９７．５％ 的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关． ……１１分 由（１）知甲、乙生产线的合格率分别为０．８６，０．９６，　∵　０．９６＞０．８６， ∴　 保留乙生产线较好． ……１２分 ２１．解：（１）犳′（狓）＝１－ 犪 狓２ － ４ 狓 ，犳′（狓）＝狓２ －４狓－犪 狓２ ． ……２分 ∵　犳（狓）在（０，∞）上单调递增． ∴　犳′（狓）≥０对狓 ∈ （０，＋ ∞）恒成立． ……３分 ∴　狓２ －４狓－犪≥０，　∴　犪≤ （狓２ －４狓）ｍｉｎ ＝－４． ∴　犪的取值范围为（－ ∞，－４］． ……５分 （２）设犺（狓）＝犳（狓）＋犵（狓），犺（狓）＝犲狓 －４ｌｎ狓， 犺′（狓）＝犲狓 － ４ 狓 ，显然犺′（狓）在（０，＋ ∞）上为增函数． ……６分 又犺′（１）＝犲－４＜０，犺′（２）＝犲２ －２＞０，　∴　犺′（狓）有唯一零点设为狓０． ……７分 高三数学答案（文）　第４页　（共５页）　（２０１９．４）且狓０ ∈ （１，２），０＜狓 ＜狓０ 时，犺′（狓）＜０；狓 ＞狓０ 时，犺′（狓）＞０， ∴　犺（狓）在（０，狓０）上为减函数，在（狓０，＋ ∞）上为增函数． ∴　犺（狓）ｍｉｎ ＝犺（狓０）＝犲狓０ －４ｌｎ狓０． ……８分 又犺′（狓０）＝犲狓０ － ４ 狓０ ＝０，　∴　犲狓０ ＝ ４ 狓０ ，狓０犲狓０ ＝４，狓０ ＋ｌｎ狓０ ＝ｌｎ４， ……９分 ∴　犺（狓０）＝犲狓０ －４ｌｎ狓０ ＝ ４ 狓０ －４（ｌｎ４－狓０）＝ ４ 狓０ ＋４狓０ －４ｌｎ４ ……１０分 ＞８－４ｌｎ４＝８－８ｌｎ２． ∴　犺（狓）＞８－８ｌｎ２，即当狓 ＞０时，犳（狓）＋犵（狓）＞８－ｌｎ２． ……１２分 ２２．解：（１）曲线犆１：（狓－１）２ ＋狔２ ＝３，即狓２ ＋狔２ －２狓－２＝０． ∴　 曲线犆１ 的极坐标方程为ρ２ －２ρｃｏｓθ－２＝０． ……２分 直线犾的极坐标方程为ρｓｉｎ（θ＋ π ６ ）＝３，即槡３ρｓｉｎθ＋ρｃｏｓθ＝６． ……３分 ∴　 直线犾的直角坐标方程为狓＋槡３狔－６＝０． ……５分 （２）设 犃（ρ犃 ，π ３ ），犅（ρ犅 ，π ３ ）， ∴　ρ犃ｓｉｎ（π ３ ＋ π ６ ）＝３，解得ρ犃 ＝３． ……６分 又ρ犅 ２ －２ρ犅ｃｏｓπ ３ －２＝０，　∴　ρ犅 ＝２或ρ犅 ＝－１（舍去）． ……７分 ∴　狘犃犅狘＝３－２＝１． ……８分 点 犘 到直线犃犅 的距离为６×ｓｉｎ（π ３ － π ６）＝３， ……９分 ∴　△犘犃犅 的面积为１ ２ ×１×３＝ ３ ２． ……１０分 ２３．解：（１）设犵（狓）＝犳（狓）－狓 ＝狘狓－３狘＋狘狓－１狘－狓 ＝ －３狓＋４，狓 ≤１ －狓＋２，１＜狓 ＜３， 狓－４，狓 ≥ 烅 烄 烆 ３ …… ２分 ∴　犵（狓）在（－ ∞，３］单调递减，在（３，＋ ∞）单调递增． 故犵（狓）ｍｉｎ ＝犵（３）＝－１． …… ３分 ∵　犵（狓）≤ 犿 有解，　∴　犿 ≥－１． …… ４分 即 犿 的取值范围为［－１，＋ ∞）． …… ５分 （２）犳（狓）＝狘狓－３狘＋狘狓－１狘≥狘（狓－３）－ （狓－１）狘＝２，当且仅当１≤狓 ≤３ 时等号成立． ∴　狀＝２，即犪＋犫＋犮＝２． …… ６分 ∵　（犪＋犫＋犮）（１ 犪 ＋ １ 犫 ＋ ４ 犮 ）＝１＋ 犪 犫 ＋４犪 犮 ＋１＋ 犫 犪 ＋４犫 犮 ＋４＋ 犮 犪 ＋ 犮 犫 ＝６＋ 犪 犫 ＋ 犫 犪 ＋４犪 犮 ＋ 犮 犪 ＋４犫 犮 ＋ 犮 犫 ≥１６． 当且仅当犪＝ １ ２ ，犫＝ １ ２ ，犮＝１时等号成立． …… ９分 ∴　 １ 犪 ＋ １ 犫 ＋ ４ 犮 ≥８，即４犪犫＋犫犮＋犪犮 ≥８犪犫犮 成立． …… １０分 高三数学答案（文）　第５页　（共５页）　（２０１９．４）