高三数学参考答案 第 1 页（共 7 页）
2019~2020 学年度高三年级四月份测试题
数学 A 参考答案 2020.4
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
（1）A （2）C （3）C （4）B （5）D
（6）D （7）D （8）B （9）C （10）A
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） 80 （12） 4 ， 34i2 5 2 5 （13） 1*2()n
nan N （答案不唯一）
（14） 21 （15）①④
三、解答题（共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
（16）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ） 因为 π π π()3sin 22cos()cos() 424fxxxx
π π3sin 22sin()cos() 44xxx
π3sin 2sin(2) 2xx
3sin 2cos2xx
312(sin 2cos 2)22xx
π2sin(2) 6x， ···············3 分
（另解： π π π π( )3sin 22(cos cossin sin )(cos cossin sin )4444f xxxxxx
22223sin 22(cossin )(cossin )2222xxxxx
223sin2(cossin)3sin2cos2xxxxx
31 π2(sin 2cos2 )2sin(2)226 xxx ， ···············3 分
所以 2π 2π π2T . ···············4 分
由 π π π2 π 22π,2 6 2 k x k k Z ，得 π ππ π,63k x k k Z .
故 ()fx的单调递增区间为： π π[ π, π],63k k k Z . ···············6 分
（Ⅱ） 令 2sin(2)1 6x ，有 1sin(2) 62x ,
即 π π22π,66x k k Z或 π 5π22π,66x k k Z ，
也即 π π,6x k k Z 或 π π,2x k k Z . 高三数学参考答案 第 2 页（共 7 页）
因为 [0 , π ]x ，
所以 π
6x 或 π
2x . ···················9 分
令 π2sin(2)1 6x ，得 π 1s in (2 ) 62x .
即 π π22π,66xkk Z 或 π 5π22π,66xkk Z ，
也即 π,x k kZ 或 π π ,3xkk Z .
因为 [0 , π ]x ，所以 πx 或 2 π
3x . ····························1 1 分
又因为 ()fx的单调递增区间为： π[0 , ]3
和 5 π[,π ]6
，
的单调递减区间为： π 5 π( , )36
, ··················1 2 分
所以当 ( ) ( 1, 1]fx 时， x 的取值范围为 π π 2(0 , ] [ , π )6 2 3
． …………13 分
（17）（本小题 14 分）
解:（Ⅰ） 由表可知，该患者共 6 天的体温不低于 3 9 C ，记平均体温为 x ， ·····1 分
1 (39.439.740.1 39.939.2+39.0)39.55 C6x ． ··········4 分
所以，患者体温不低于39 C 的各天体温平均值为 3 9 . 5 5 C .
（Ⅱ） X 的所有可能取值为 0 , 1 , 2 ． ·····························5 分
30
32
3
5
1(0) 10
CCPX C , ······························6 分
21
32
3
5
63(1) 105
CCPX C , ····························7 分
12
32
3
5
3(2) 10
CCPX C ． ····························8 分
则 的分布列为： ·····························9 分
X 0 1 2
P 1
10 3
5 3
10
所以 1 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5EX ． ·········································1 1 分
（Ⅲ）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由：
① “抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0 C 又回升 0.1 C ，“抗生素 C”使用期间持续
降温共计 1.2 C ，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳．
② 抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03 C ，方差约为0.0156 ；“抗生素 C”平均体温 38 C ，
方差约为 0.1067 ，“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效
果明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳． ········································1 4 分
“抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由：
（不说使用“抗生素 B”治疗才开始持续降温扣 1 分）
自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素 B”治疗当天共降
温 0.7 C ，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳． ············1 4 分
（开放型问题，答案不唯一，但答“抗生素 A”效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分） 高三数学参考答案 第 3 页（共 7 页）
P
C
D
A B
M
F
y
x
z
H
（18）（本小题 15 分）
解:（Ⅰ）因为平面 A B C D 平面 P C D ， ······························1 分
平面 A B C D 平面 P C D C D , ······························2 分
AD 平面 A B C D , A D D C ······························3 分
所以 AD 平面 P C D ， ·····························4 分
又因为 PC 平面 ，
所以 A D P C ． ······························5 分
（Ⅱ）选择①评分细则：
在平面 内过点 D 作 D H D C ，交 PC 于 H .
由（Ⅰ）可知， AD 平面 PDC ，
所以 A D D H ．
故 ,,A D C D D H 两两垂直．
如图，以 D 为原点， ,,D A D C D H 所在直线分别
为 ,,x y z 轴，建立空间直角坐标系 D x y z ，
则 (0 ,0 ,0 )D ， (0 , 1, 3)P ， (2 ,0 ,0 )A ， (2 , 1,0 )B ， (0 ,2 ,0 )C ．······························6 分
因为 DH 平面 A B C D ，所以平面 的一个法向量为 ( 0 ,0 ,1)n ．
而 (2,1,3)PA ， (2,2,3)PB ，
设平面 PAB 的一个法向量为 (,,) xyzm ．
则由
0
0
PA
PB
，
，
m
m
得
230,
2230,
xyz
xyz
取 2z ，有 ( 3,0,2)m ． ····················8 分
所以 22cos,7 |||7 7
nmnm | nm
． ····························1 0 分
由题知，二面角 PABC为锐角，
故二面角 的余弦值为 2 77 ． ········1 1 分
选择②得分要点（评分细则同①）：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则）
平面 的一个法向量为 ．；平面 PBD 的一个法向量为 (3,23,2)m ；
二面角 P BD C为钝角；二面角 的余弦值为 2 1919 .
选择③得分要点（评分细则同①）：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则）
平面 的法向量 (0,0,1)n ；平面 PBC 的法向量 (1,2,2 3)m ；
二面角 P BC D为锐角；二面角 P BC D的余弦值为 2 5117 .
（Ⅲ）假设棱 BC 上存在点 F ， MFPC ．设 , [0,1]BF BC． ······················1 2 分
依题意，可知 13(1, , )22M ， ( 2,1,0)BC ，
( 2 , ,0)BF ， (2 2 ,1 ,0)F ， ·····················1 3 分 高三数学参考答案 第 4 页（共 7 页）
33(12,,) 22MF ， ( 0 ,3 , 3)PC ， ····························1 4 分
则
1 2 0 ,
3 3,2
3 3,2
而此方程组无解，故假设不成立，所以结论成立． ········1 5 分
（19）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ） 由题意得：
2
222
2 3,
1 ,2
,
b
a
c
a
a b c
·····························1 分
解得: 2,3,1abc ． ······························2 分
所以椭圆的标准方程为：
22
143
xy. ·····························3 分
（Ⅱ） 依题意，若直线 l 的斜率不为零，可设直线 : 1( 0)l x my m ， 1122(,),(,)AxyBxy ．
假设存在点 P ，设 0( ,0 )Px ，由题设， 0 1x ，且 01xx ， 02xx .
设直线 ,PA PB 的斜率分别为 12,kk，
则 12
12
1020
,yykkxxxx
． ··············4 分
因为 在 1xmy上，
故 1122 1,1xmyxmy ． ·······················································5 分
而 x 轴上任意点到直线 距离均相等等价于“ PF 平分 APB ”，
所以等价于 120kk． ·····6 分
则 12
12
1020
yykk xxxx
1221012
1020
()
()()
x yxyxyy
xxxx
12012
1020
2(1)() 0()()
my yxyy
xxxx
． ························8 分
联立
22
143
1
xy
xmy
，消去 ，得： 22(3 4) 6 9 0m y my ，
有 121 2 22
69,3434
myyy y mm
． ···············10 分
则 00
12 22
1 0 2 01 0 2 0
18 6 624 60 (34)()() (34)()()
m m mxm mxkk mx x x xmx x x x
，
即 040m mx ，又 0m ，故 0 4x ． ········································13 分
当直线 的斜率为零时， (4,0)P 也符合题意．
故存在点 ，使得 轴上任意点到直线 距离均相等. ………14 分 高三数学参考答案 第 5 页（共 7 页）
（20）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ） 因为 2()e() xfxaxa R ，
故 ( ) e 2 xf x a x ． …………1 分
依题意 ( 1 ) e 2 0fa ，即 e
2a ． …………2 分
当 e
2a 时， e( 1 ) 0 2f ，此时切线不与 x 轴重合，符合题意，因此 e
2a ．…………3 分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， ( ) e 2xf x ax ,
当 0a 时，因为 [0 ,1]x , e0x , 20ax，
故 ( ) 0fx ，即 ()fx单调递增，
因此 max()(1)efxfa ．
依题意，当 0a 时， max()=ee2fxa ，所以 0a 符合题意． ············5 分
当 0a 时， ( ) e 2 xf x a ，令 ( ) 0fx ，有 l n2xa ． ································6 分
()fx , ()fx 变化如下：
x ( ,l n2 ) a l n 2 a ( l n2 , )a
()fx — 0 +
()fx 极小值
故 min()22ln 22(1ln 2)fxaaaaa ． ··········································7 分
当 1 l n2 0 a时，即 e0 2a 时， ( ) 0fx ， ()fx单调递增，
因此 max()(1)efxfa ．
依题意，令 e2a ，有0e2a ． ·······························8 分
当1ln20 a时，即 e
2a 时， (1)e20fa , (0)10f ，
故存在唯一 0 (0,1)x 使 0()0fx ． ·······9 分
此时有 0
0e20x ax，即 0
0e2x ax ， ()fx , ()fx变化如下： ···························1 0 分
0(0 , )x 0x 0( , 1 )x
()fx + 0 —
()fx 极大值
所以
0
002 0
max 0 0
e( ) ( ) e e 2
x
xxxf x f x ax ， ． ······························1 1 分
依题意，令 e()e 2
x
x xgx ， (0,1)x ，则 (1)e()0 2
xxgx ， ()gx在 (0,1) 单调递增，
所以 e( ) (1) 22g x g ，所以 max()2fx ，此时不存在符合题意的 a ．
综上所述，当 ( ,e 2]a ， ()fx在[0,1] 上的最大值不小于 2 ，
若 ( ,e 2]a ，则 在 上的最大值小于 ，
所以 a 的取值范围为(,e2] ． …………………12 分
解法二：
（Ⅱ）当 [0,1]x 时， ()fx最大值不小于 2，等价于
2( )e2 xfxax 在 上有解，显然 0x 不是解,
即 2
e2x
a x
在 (0,1]x 上有解， ……………………4 分
设 2
e2()
x
gx x
， , 高三数学参考答案 第 6 页（共 7 页）
则 3
e2e4()
xxxgx x
． ……………………5 分
设 ( ) e 2e 4xxh x x ， (0 ,1]x ，
则 ()e(1)0xhxx ．
所以 ()hx 在 (0 ,1]单调递减， ()(1)4e0hxh ， …………7 分
所以 ( ) 0gx ，所以 ()gx在(0,1]单调递增， ……………………9 分
所以 max()(1)e2gxg ． ……………………10 分
依题意需 e2a ,
所以 a 的取值范围为 ( ,e 2 ] ． ……………………12 分
解法三:
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ( ) e 2 xf x a x ,
（1）当 e
2a 时， '()e2eexxfxaxx ,
设 ()ee[0,1]xhxxx ， ( ) e e 0 xhx ,
所以 在 [0 ,1] 单调递减，故 ( ) ( 1 ) 0h x h ． …………5 分
所以 ( ) 0fx ，所以 ()fx在 单调递增，
因此 max( ) (1) ef x f a ． …………7 分
依题意，令 e2a ，得 e2a ． …………8 分
（2）当 e
2a 时， 22e()ee 2
xxfxaxx ,
设 2e()e 2 xxx, [0 ,1 ]x ,
则 ()ee()0xxxhx ,
所以 ()x 在 单调递增， …………10 分
故 max
ee()(1)e2 22x ，即 ()2fx ，不符合题意． …………11 分
综上所述， 的取值范围为 ． ············1 2 分
（III）当 0a 时， ()yfx 有 0 个零点；当
2e0 4a 时， 有 1 个零点
当
2e
4a 时， 有 2 个零点；当
2e
4a 时， 有 3 个零点． ·············15 分
（写对一个给 1 分，写对三个给 2 分，全对给 3 分）．
（21）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ） (0, 0), (0, 1)AB；
(0, 1), (0, 0)AB； ………………………………………………1 分
(1, 0),(1,1)AB； ………………………………………………2 分
(1,1), (1, 0)AB. ………………………………………………3 分
（Ⅱ） 令 1 21 21 2( , , , ),( , , , ),( , , , ) nnnA a aa B b bb C c cc ，
（i）对 1,2,,in，
当 0ic 时，有|||||| ||iiiiiiacbcab ； ……………………………………4 分
当 1ic 时，有|| | | || |1 (1 ) | | |i i i i i i i ia c b c a b a b ． ……………………5 分
所以
1 1 2 2 2 2 2 2( , ) || | | ||+|| | | ||+ +|| | | || n n n nd A C B C a c b c a c b c a c b c
1 1 2 2| | | | | | ( , ) nna b a b a b d A B ． …………6 分 高三数学参考答案 第 7 页（共 7 页）
（ii）证法 1：设 12( , , , ) nA a a a ， 12( , , , ) nB b b b ， 12( , , , ) nC c c c nS ，
( , )d A B k ， ( , )d A C l ， ( , )d B C h .
记 (0,0, ,0)nOS，由（I）可知，
(,)(,)(,)dABdAABAdOBAk ，
(,)(,)(,)dA CdAA CAdO CAl ，
(,)(,)dBCdBACAh ，
所以||(1,2,,)iibain 中 1 的个数为 k ，||(1,2,,)iicain 的 1 的个数为 l ．
设 t 是使 ||||1iiiibaca 成立的 i 的个数，则 2h l k t ．
由此可知， ,,k l h 三个数不可能都是奇数，
即 ( , )d A B , ( , )d A C , ( , )d B C 三个数中至少有一个是偶数．
证法 2：因为()()()0iiiiiiabbcca ，
且 ()()()iiiiiiabbcca 与||||||iiiiiiabbcca 奇偶性相同，
所以||||||iiiiiiabbcca 为偶数，故 (,)(,)(,)dABdBCdAC为偶数．…8 分
所以 (,),(,),(,)dABdACdBC 三个数中至少有一个是偶数． …………………………9 分
（Ⅲ） 记
,
( , )
ABP
d A B
为 P 中所有两个元素间距离的总和，
设 中所有元素的第 i 个位置的数字中共有 it 个 1， imt 个 0， ……………………10 分
则
,1
(,)()
n
ii
A BPi
dABtmt
． …………………………………………………………11 分
因为 m 为奇数，所以
2 1()(1,2,,) 4ii
mtmtin ，且 1
2i
mt 或 1
2
m 时，取等号．
所以
2
,
(1)(,) 4A BP
nmdA B
． ………………………………………………………13 分
所以
2
22
,
1(1)(1) (,) 42P
A B Pmm
n mmndd A BCCm
． ………………………………14 分
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