数学（理科）试题.pdf

2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 1 页 共 10页 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 理科数学试题答案及评分参考 一、选择题 1. B 2. C 3. A 4. C 5. D 6. D 7. A 8. A 9. D 10. B 11. B 12. A 二、填空题： 13. 1 4 14. 32 15. 14 27 16. 63− 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 A 、 B 、C 对边分别是 a 、b 、 c ，已知 2sin sin sinB A C= ． （1）求证： π0 3B； （2）求 22sin sin 12 AC B+ +−的取值范围. 解：（1）由正弦定理可得 2sin sin sin a b c RA B C= = = ， ∴sin 2 aA R= ，sin 2 bB R= ，sin 2 cC R= ， ………………………………2 分 ∵ ， ∴ 2b a c= ，……………………………4 分 ∴ 2 2 2 cos 2 a c bB ac +−= 21 22 ac ac ac −=， 而 0 πB ∴ . ……………………………………………………………………6 分 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 2 页 共 10页 （2） 22sin sin 12 AC B+ +− cos( ) sinA C B= − + + cos sinBB=+ π2 sin( )4B=+， ………………………………8 分 由（1）知 π0 3B， ∴ π π 7 4 4 12B  +  ， ………………………………10 分 π1 2 sin( ) 24B  +  即 的取值范是 ]2,1( . ………………12 分 18．(本小题满分 12 分) 如图所示，四棱锥 S ABCD− 中，SA ⊥ 平面 ABCD ， //AD BC ， 1SA AB BC CD= = = = ， 2AD = ． （1）在棱 SD 上是否存在一点 P ,使得 //CP 平面 SAB ?请证明你的结论； （2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值． 证明：（1））当点 为棱 的中点时, 平面 .证明如下: 取 SA 的中点 F ,连结 FP 、 FB 、 PC ，则 //FP AD 且 1 2FP AD= ，…………………………2 分 ∵ ， 1 12BC AD==， ∴ //FP BC 且 FP BC= ， ∴四边形 FBCP 为平行四边形，……………………4 分 ∴ //CP BF ， ∵CP  平面 SAB ， BF 平面 SAB ， ∴ 平面 ． …………………………6 分 （2）在平面 ABCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax ， ∵ 平面 ， ∴ SA AD⊥ ， SA Ax⊥ ， ∴直线 AS 、 Ax 和 AD 两两垂直， 以点 为原点，分别以直线 、 和 为 x 、 y 和 z 建立如图所示的直角坐标系， 过点 B 作 BE AD⊥ 交直线 AD 于 E ， A D B C S x z y E P F 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 3 页 共 10页 ∵ //AD BC ， 1AB BC CD= = = ， 2AD = ， ∴ 1 2AE = ， 3 2BE = ， 从而可得 (0,0,0)A ， 31( , ,0)22B ， 33( , ,0)22C ， (0,2,0)D ， (0,0,1)S ，则 (0,0,1)AS = ， 31( , ,0)22AB = ， (0,2, 1)SD =−， 31( , ,0)22DC =−，………8 分 设平面 SAB 的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z= ，平面 SCD 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z= ，则 1 1 0, 0, n AS n AB  = = 2 2 0, 0, n SD n DC  = = ∴ 1 11 0, 310,22 z xy = += 22 22 2 0, 310,22 yz xy −= −= 取 1 3x = ， 2 3x = ，可得 1 ( 3, 3,0)n =−， 2 ( 3,3,6)n = ， ………………………10 分 ∴ 12 12 12 cos , | | | | nnnn nn =  2 2 2 2 2 ( 3, 3,0) ( 3,3,6) 1 4( 3) ( 3) ( 3) 3 6 −= = − + −  + + , ∴平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为 1 4 . ………………………12 分 19．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 :112 4 xyC +=， A 、 B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点. （1）求 AMB 的最大值，并证明你的结论； （2）设直线 AM 的斜率为 k ，且 11( , )23k  − − ，求直线 BM 的斜率的取值范围. 解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设 00( , )M x y 00( 2 3 2 3,0 2)xy−     . 过点 作 MH x⊥ 轴，垂足为 H ，则 0( ,0)Hx 0(0 2)y， ……………1 分 于是，有 0 0 23||tan || xAHAMH MH y + = = ， 0 0 23||tan || xBHBMH MH y − = = ， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 4 页 共 10页 ∴ tan tan( )AMB AMH BMH =  + tan tan 1 tan tan AMH BMH AMH BMH  + = −   0 22 00 43 12 y xy= +− ，…3 分 ∵点 00( , )M x y 在椭圆C 上， ∴ 22 00112 4 xy+=，∴ 22 0012 3xy=− ， ∴ 0 23tan AMB y = − ， …………………………5 分 而 002y， ∴ 0 23tan 3AMB y = −  − ， ∵点0 πAMB   ， ∴ AMB 的最大值为 2π 3 ，此时 0 2y = ，即点 M 为椭圆 的上顶点. 根据椭圆的对称性，当点 为椭圆 的短轴的顶点时， 取最大值，其最大值为 . ……………7 分 （2）设直线 BM 的斜率为 k ， ，则 0 0 23 yk x = + ， 0 0 23 yk x  = − ， ∴ 2 0 2 0 12 ykk x = − ， 又 ，∴ ， ∴ 1 3kk = − ， …………………………………………………………………10 分 ∵ 11( , )23k  − − ， ∴ 2 13 k， 故直线 BM 的斜率的取值范围为 2( ,1)3 . ……………12 分 20．（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) ln( 1)f x x=+, ( ) exgx= （e 为自然对数的底数）． 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 5 页 共 10页 （1）讨论函数 ( ) ( ) xax f x x +=−在定义域内极值点的个数； （2）设直线l 为函数 ()fx的图象上一点 00( , )A x y 处的切线，证明：在区间 (0, )+ 上存在唯 一的 0x ，使得直线 与曲线 ()y g x= 相切． 解：（1） ( ) ( ) xax f x x +=− ln( 1) xax x += + − 1x −（ 且 0)x  ， 2 22 1() 1 ( 1) a x ax ax x x x x ++ =+++ = ， 令 2()h x x ax a= + + ， 2 4aa = − ， …………………………………1 分 ①当 2 40aa = −  时，即当04a时， ( ) 0x  ，此时， ()x 在( 1,0)− 和(0, )+ 单调 递增，无极值点； …………2 分 ②当 2 40aa = −  时，即当 0a  或 4a  时， 函数 有两个零点, 2 1 4 2 a a ax − − −= ， 2 2 4 2 a a ax − + −= ， （i）当 时， 因为 2 2 2 1 2 4 4 4 41022 a a a a a a ax − + + − − − − +− − = =  ，所以 2101xx   − ， …………………………………3 分 所以函数 ()x 在 1( 1, )x− 单调递增，在 1( 0)x， 和 2(0 )x， 上单调递减，在 2()x ，+ 上单调递增， 此时函数 有两个极值点； …………4 分 （ii）当 4a  时， 因为 2 2 2 2 2 4 4 4 41022 a a a a a a ax − + + − − + − −− − = =  ， 所以 12 1xx  − ，此时 ( ) 0x  ， 在 ( 1,0)− 和(0, )+ 单调递增，无极值点.……5 分 综上所述，当 0a  时，函数 无极值点，当 时，函数 有两个极值点.……6 分 （2）因为 1() 1fx x  = + ， 所以函数 的图象上一点 处的切线 的方程可表示为 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 6 页 共 10页 00 0 1 ()1y y x xx− = −+ ， ……………………9 分 设直线l 与曲线 ()y g x= 相切于点 1 1( ,e )xBx ， 因为 ( ) exgx = ， 所以 1 1 0 00 0 1 0 0 1e,1 ln( 1), 1e ( ),1 x x x yx y x xx  = + =+   − = −+ 消去 1x 并整理，得 0 0 0 1ln( 1) 0xx x ++ − = , ……………11 分 由（1）可知，当 1a = 时，函数 1( ) ln( 1) 1)xx x xx += + −  −（ 在 (0, )+ 单调递增， 又 1(e 1) 0e1 − = − − ， 2 2 2 e2(e 1) 0e1 −− = − ， 所以函数 ()x 在 2(e 1,e 1)−−上有唯一的零点，又因为 在 单调递增， 所以方程 在 上存在唯一的根， 故在区间(0, )+ 上存在唯一的 0x ，使得直线 与曲线 ()y g x= 相切．………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省 份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年 龄数据，得下面的频数分布表： 由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 2( ,15.2 )N  ，其中  近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新 冠肺炎患者年龄在70 岁以上（ 70 ）的患者比例； 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 7 页 共 10页 （2）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以 这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独 立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n （1 20n 且 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 个人每人抽取的一半血液混合在 一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的 个人抽取的另一半血液逐一化验，记 个人中患者的人 数为 nX ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的 的值． 参考数据：若 ~Z ),( 2N ，则 ( ) 0.6826PZ   −   + = ， ( 2 2 ) 0.9544PZ   −   + = ， ( 3 3 ) 0.9973PY   −   + = ， 40.9 0.66 ， 0.590.95  ， 0.350.910  . 解：(1) 2 15 6 25 12 35 18 45 22 55 22 65 12 75 4 85 2 95 54.8100  +  +  +  +  +  +  +  + ==， ……………………………… …2 分 所以 (54.8 15.2 54.8 15.2) (39.6 70) 0.6826P Z P Z−   + =   = ， 1 (39.6 70) 1 0.6826( 70) 0.1587 15.87%22 PYPZ −   − = = = = ， 则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70 岁以上的患者比例为15.87% .…………5 分 (2)解法一：根据题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为 10 1 ，n 的可能取值为 2，4， 5，10， 当  2 4 5 10n ，，， 时， 1 10( , )nX B n ， ……………………………7 分 对于某组 个人，化验次数Y 的可能取值为1， 1+n ， 91 10 nPY==( ) ( ) ， 91110 nP Y n= + = −( ) ( ) ， 9 9 91 1 1 110 10 10 n n nE Y n n n=  + +  − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ， ……………………………9 分 则 20 人的化验总次数为 20 9 1 91 =20 1+10 10 nnf n n nnn    = + − −       ( ) ( ) ( ) ， 经计算 2 =13.8f () ， 4 11.8f () ， 5 12.2f () ， 10 15f () . 所以，当 4=n 时符合题意，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少． …………12 分 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 8 页 共 10页 解法二：根据题意，每名密切接触者确诊的概率均为 10 1 ， n 的可能取值为 2，4，5，10， 当  2 4 5 10n ，，， 时， 1 10( , )nX B n ， ……………………………7 分 设以 个人为一组时，组内每人所需的化验次数为Y ，则 的可能取值为 1 n ， n 11+ ， 19 10( ) ( )nPY n== ， 191110( ) ( )nPY n= + = − ， 则 1 9 1 9 1 91 1 110 10 10 n n nEY n n n =  + +  − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ， …………………………9 分 则 20 人所需的化验次数为 1920 1+ 10 nfn n =− ( ) ( ) ， 2 =13.8()f ， 4 11.8f () ， 5 12.2()f  ， 10 15()f  . 所以，符合题意的 4=n ，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少． …………12 分 22．（本小题满分 10 分）选修 4 ― 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1l ： cos sin xt yt   =  = ， （t 为参数， π0 2＜ ＜ ），曲线 1C ： 2cos 4+2sin x y   =  = ， （  为参数）， 与 相切于点 A，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求 的极坐标方程及点 A的极坐标； （2）已知直线 2l ： π= 6R()与圆 2C ： 2 4 3 cos 2 0  − + = 交于 B ，C 两点，记△ AOB 的面积为 1S ，△ 2COC 的面积为 2S ，求 12 21 SS SS+ 的值. 解：（1）（解法一）由题意可知， 1C 的直角坐标方程为 22( 4) 4xy+ − = ， 将 cos sin x y   =  = ， 代入得 的极坐标方程为 2 8 sin 12 0  − + = ， ……………………2 分 又 的参数方程为 cos sin xt yt   =  = ， （ 为参数， π0 2＜ ＜ ）， 得 的极坐标方程为 =   R（ ）， ……………………………………………3 分 将 =代入得 2 8 sin 12 0  − + = ，则 2(8sin ) 4 12 0 = −  = ，又 π0 2＜ ＜ ， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 9 页 共 10页 解得 π= 3 ，此时 =2 3 ，所以点 A的极坐标为 π233 （ ，）， …………………………5 分 （解法二）由题意可知， 1C 的直角坐标方程为 22( 4) 4xy+ − = ， 将 cos sin x y   =  = ， 代入，得 的极坐标方程为 2 8 sin 12 0  − + = ， ……………………2 分 因为 1l 与 相切于点 A，所以在 Rt △ 1OC A 中，有 22 11| | 2 3OA OC C A= − = ， 1 1 1 ||1sin | | 2 CAAOC OC = = ，所以 1 π 6AOC=， …………………………………………4 分 由极坐标的几何意义，可得 π233 （ ，）. ………………………………………………5 分 （2）由 2C 的极坐标方程为 2 4 3 cos 2 0  − + = ，可得 的直角坐标方程为 22( 2 3) 5xy− + = ，所以圆心 2 (2 3,0)C ， ………………………………………6 分 设 1 π( , )3B  ， 2 π( , )3C  将 π= 6 代入 2 4 3 cos 2 0  − + = ， 得 2 6 2 0− + = ，所以 126+=， 12 2 = ， ……………………………………7 分 又因为 1 1 1 1 π π 3= . sin( )2 3 6 2AS   −= ， 2 2 2 2 1 π 3= | | .sin2 6 2S OC =， ……………8 分 所以 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 ( ) 2 6 2 2 162 SS SS           +− −+ = + = = = . ……………………10 分 23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知 ( ) 2f x x a=− . （1）当 1a = 时，解不等式 ( ) 2 1f x x+； （2）若存在实数 (1, )a + ，使得关于 x 的不等式 2( )+ + 1f x x ma − 有实数解，求实数 m 的 取值范围. 解：（1）当 1a = 时，即解不等式 2 2 1xx−+＞ ， （法一）①当 2x  时，原不等式等价于 2 2 1xx−+＞ ，所以 3x − ， 所以不等式 ( ) 2 1f x x +＞ 的解集为空集， ……………………………………………2 分 ②当 2x＜ 时，原不等式等价于 2 2 1xx−+＞ ，解得 1 3x＜ ， ……………………4 分 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 10 页 共 10页 综上所述，不等式 ( ) 2 1f x x +＞ 的解集为 1( , )3− . …………………………………5 分 （法二）①当 1 2x − 时，不等式 2 2 1xx−+＞ 显然成立； ………………………2 分 ②当 1 2x − 时，原不等式等价于 22( 2) 2 1xx−+＞()， 即 23 8 3 0xx+−＜ ，解得 11 23x−   ， ………………………………………………4 分 综上所述，不等式 ( ) 2 1f x x +＞ 的解集为 1( , )3− . ……5 分 （2）因为 2 2 2( )+ + 2 + + 21 1 1f x x x a x aa a a= −  +− − − ，显然等号可取，………6 分 又 (1, )a + ，故原问题等价于关于 a 的不等式 22 1ama+ − ＜ 在 (1, )+ 上有解，…8 分 又因为 2 2 22 =2( 1) 2 2 2( 1) 2 61 1 1a a aa a a+ − + +  −  + =− − − ， 当且仅当 2a = 时取等号， 所以 6m  ，即 (6, )m + . ………………………10 分