参考答案
1．B 详解：由题意，
2222 2 2 ,iiizii i i
2 2 ,zi 则 z 的共轭复数 z 对应的点在第二
象限．故选 B．
2．D【详解】由 { | ln(2 )}A x N y x 得 2 0, 2xx ,又 xN 所以 0,1x ．又 ( 2){ | 2 1}xxBx ,其中
( 2) 02 1 2 ( 2) 0xx xx 所以02x,故 {0,1}, | 0 2A B x x ,所以 0,1AB ．故选 D．
3．A 由题意知，2a=8，∴a=4，又 3
4e ，∴c=3，则 b2=a2﹣c2=7．当椭圆的焦点在 x 轴上时，椭圆方程为
22
116 7
xy；故答案为： 。故答案为 A。
4．B【详解】图①小球落在阴影部分的概率为：
2
1
2
2
132
1
4
464P
，图②小球落在阴影部分的概率：
2
1
3P 至少有一个小球停在阴影部分的概率为 3 1 13 111 1 1 116 3 24 24
本题正确选项： B
5．C【详解】过 M 作 MF AB 交 AB 于 F ，过 N 作 NE BC 交 BC 于 E ，连接 11, , ,EF AC BD B D ．由于
,MN分别为 11,AB BC 的中点，故 11
11/ / / / / /22NE CC BB MF ，故四边形 MNEF 为矩
形，故 //MN EF ，由于 //EF AC ，故②判断错误．由于 1,AC BD AC BB，所以
AC 平面 11BDD B ，所以 MN BD 且直线 MN 丄平面 11BDD B ，即①③正确．由勾股定
理得 12AC AA ，故 1
12
22EF AC AA ，故④判断正确．综上所述，正确的个数为3
个，故选 C．
6．B【解析】 2 (sin56 cos56 ) sin(56 45 ) sin112a ，
cos(90 40 )cos(90 38 ) cos40 cos38 sin 40 sin38 cos40 cos38 cos78 sin12b ，
cos80 sin10c ， sin12 sin11 sin10 , bac ，选 B．
7．D【详解】圆O 圆心为 0,0 ，半径为 2 ，而| | 2AB ，所以 OAB 是等边三角形．由于 是线段 的中
点，所以 11
22OM OA OB．所以OC OM 12
33
11
22OA O OOB AB
221 1 1
6 2 3OA OA OB OB 2 1 42 2 cos60 33 2 3 ．故选：D
答案第 2 页，总 7 页
8．A 详解：令 21( ) ( ) 2 2g x f x x x ，则 ( ) ( ) 2g x f x x ．∵当 1x 时，恒有 '2f x x，即
( ) 0gx，∴当 时，函数 g(x)为增函数．而 21(2 ) (2 ) 2(2 ) (2 )2g x f x x x ，∴
21( ) 2 ( ) 2f x x g x x ， 2211(2 ) 2 (2 ) 2(2 ) (2 ) 2 (2 )22f x g x x x g x x ． ∴ ( ) (2 )g x g x．∴函数
g(x)的图象关于直线 1x 对称，∴函数 g(x)在 ,1 上为增函数，在 1, 为减函数．由
3132f m f m m ，得 2211( ) 2 (1 ) 2(1 ) (1 )22f m m m f m m m ，即 ( ) (1 )g m g m，∴
1 1 1mm ，解得 1
2m ．∴实数 m 的取值范围是 1 ,2
．
9．A【详解】因为 1 3 1 3cos sin 3 sin cos2 2 2 2a x x x xfx
1 3 3 3cos sin2 2 2 2a x a x
为偶函数，所以 f x f x ，所以 33022a ，解得 1a ，所
以 2cosf x x ．将曲线 2y f x 向左平移12
个单位长度后，得到曲线
2cos2( ) 2cos 212 6y x x
，则 2cos 2 6g x x
．由 1gx ，得 2cos 2 16x
，
得 1cos 2 62x
，则 222 2 23 6 3k x k k Z ，得 5
12 4xk k k Z ．不等式
的解集是 5 ,12 4k k k Z
,故选：A．
10．C【解析】∵ 323 62
af x x x x ，∴ 2( ) 3 3 6f x x ax 。设切点为 323( , 6 )( 0)2
aP t t t t t ，则有
2( ) 3 3 6f t t at ，所以过点 P 的切线方程为 3 2 23( 6 ) ( 3 3 6)( )2
ay t t t t at x t ，又点 0, 2 在
切线上，所以 3 2 232 ( 6 ) ( 3 3 6)( )2
at t t t at t ，整理得 324 3 +4=0t at ，由题意得方程
324 3 +4=0t at 有两个不等的正实数根。设 32( ) 4 3 +4( 0)h t t at t ，则 2( ) 12 6 6 (2 )h t t at t t a ，要使
32( ) 4 3 +4( 0)h t t at t 的图象与 t 轴的正半轴有两个不同的交点，则需 0a 。所以函数 ()ht 在 (0, )2
a 上单调
递减，在( , )2
a 上单调递增，所以
3
min( ) ( ) 4 024
aah t h ，解得 3 16a 。即实数
a 的取值范围是 3( 16, ) 。答案： 3( 16, )
11．C【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)
为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数 32z x y经过平面区域的点(2,2)时， 取最
大值 max 3 2 2 2 10z ．
12．B【解析】由题意,B 在 x 轴上,
22
, , ,bbP c Q caa
,∴
2
AP
b
ak ca
，∴
2
2BP
ac ak b
，直线 BP 的方程为
22
2
b ac ay x cab
，令 y=0,可得
4
2
bxca c a ，∵B 到直线 PQ 的距离小于 2(a+c)，∴
4
2 2b aca c a ，∴ 2ba ，∴ 3ca ，∴ 3e ，∵e>1，∴13e ，故选 B．
13．0．22．【详解】 2 1 6 0.22P X P X
14． 0, 3 【详解】因为 fx是 R 上的偶函数且在 ,0 上递增，所以 在 0, 上递减，又因为
3log22aff ，所以
3log22
0
a
a
，所以 3
1
log 222
0
a
a
，所以 3
1log 2
0
a
a
，所以 0, 3a ．故答案
为： ．
15． 6
3,0 0,2
【详解】解：因为 2 3 3
cos cos
a b c
BC
，所以 2 3 cos 3 cos cos cos 0a b C c B B C ，所以
2sin 3sin cos 3sin cosA B C C B，即 2sin cos 3sin 3sinA C C B A ，又sin 0A ，所以
3cos 2C ，则
6C ，因为 cos 0B ，所以 50, ,2 2 6B
，而
2 2 2
2cosa c b Bac
，故
2 2 2
3,0 0,2a c b
ac
．故答案为： ； ；
16． 6 4 2 【详解】 ,,PA PB PC 两两垂直 PC平面 PAB
1 1 1 3 2 1 13 3 2P ABC C PAB PABV V S PC ，即 1 212 xy 4 2 1xy
1 1 2 4 2 44 2 4 2 4 2 2 4 2 4 2a a y ax y axx y a a a ax y x y x y x y
（当且仅当
24y ax
xy ，即 2y ax 时取等号）又 1 8a
xy恒成立， 4 2 4 2 8aa ，解得：
答案第 4 页，总 7 页
6 4 2a ，正实数 a 的最小值为6 4 2
17．（ 1）见解析；（2） 10
5
【详解】（1）连结 AC，交 BD 于 O，连接 MO，由于底面 ABCD 为菱形， O 为 AC 中点又 M 为 PC 的中点，
MO PA∥ ，又 MO 面 MDB ， PA 面 PA 平面
（2）以 E 为坐标原点，EP 为 z 轴，EA 为 x 轴，EB 为 y 轴，建立空间直角坐标系．则
(1,0,0), (0, 3,0), ( 2, 3,0), (0,0, 3)A B C P ， ( 1, 3,0)AB ， (1,0, 3)PA 设平面
PAB 的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z ，平面 PBC 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z 由 1 0n AB及
1 0n PA得 11
11
30
30
xy
xz
，取 1 3x ，得平面 PAB 的一个法向量为 3,1,1 同理可求得平
面 PBC 的一个法向量(0,1,1) ，由法向量的方向得知，所求二面角的余弦值为
12
12
3 0 1 1 1 1 10
552
nn
nn
．
18．① 1
2na n ;②见解析．
试题解析： 1 21
n
n
n
aa a ，两边取到数得
1
21112n
n n n
a
a a a
，可知数列 1
na
为等差数列，且首项为 2，
公差为 2，故
1 2
n
na ， 1
2na n ．
②依题可知
2
2
2
1 1 1 1 1 1
2 4 4 1na n n n n
＝ *1 1 1 2,41 n n Nnn
，所以
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1 1 1 114 4 2 2 3 1na a a a nn
，故 2 2 2 2
1 2 3
1
2na a a a
1．(Ⅰ)
22
194
xy；(Ⅱ) 1
2
或 11
28
．
详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为 2c，由已知有
2
2
5
9
c
a ，又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b．由已知可得， FB a ，
2AB b ，
由 62FB AB ，可得 ab=6，从而 a=3，b=2．所以，椭圆的方程为
22
194
xy．
（Ⅱ）设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）．由已知有 y1>y2>0，故 12PQ sin AOQ y y ．又
因为 2yAQ sin OAB
，而∠OAB= π
4
，故 22AQ y ．由 52
4
AQ sin AOQPQ ，可得 5y1=9y2．由方程组
22
194
y kx
xy
，
，消去 x，可得 1 2
6
94
ky
k
．易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0，由方程组 20
y kx
xy
，
，消去 x，
可得 2
2
1
ky k
．由 5y1=9y2，可得 5（k+1）= 23 9 4k ，两边平方，整理得 256 50 11 0kk ，解得 1
2k ，
或 11
28k ．所以，k 的值为 1
2
或 11
28
．
20．（ 1）金牌人数为 2 人、银牌人数为 3 人、铜牌人数为 4 人． （2）分布列见解析， ( ) 1.EX （3） 4
7
【详解】（1）由题意可知，德国获奖运动员中，金牌、银牌、铜牌的人数比为 2：3：4，所以这 9 名获奖运动员中
金牌人数为 2 人、银牌人数为 3 人、铜牌人数为 4 人．
（2）X 的可能取值为 0，1，2，3， ~ (9 3 3)XH，， ，
3
6
3
9
C 20( 0) C 84PX ，
12
36
3
9
CC 45( 1) C 84PX ，
21
36
3
9
CC 18( 2) C 84PX ，
3
3
3
9
C 1( 3) C 84PX ，X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 20
84 45
84 18
84 1
84
（3）记事件 A 为“3 人中有获金牌运动员”，事件 B 为“这 3 人中恰好有 1 人为获铜牌运动员”，
3
7
3
9
C 7( ) 1 C 12PA ，
2 1 1 1
2 2 3 4
3
9
(C C C )C 1() C3P AB ， ( ) 4( | ) ( ) 7
P ABP B A PA
21．（ 1）见解析；（2）见解析
答案第 6 页，总 7 页
解：（1） 2 2 2
( ) ( 1) (1 ) ( 1)( )()
x x x xa e x a e a x e x x a efx x x x x
，又 0x ， 1xe，
1a时， 0xae，所以可解得：函数 ()fx在 (0,1) 单调递增，在(1, ) 单调递减；经计算可得，1 ae
时，函数 在 (0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增， 单调递减； ae 时，函数 在 单调递
减，(1,ln )a 单调递增，(ln , )a 单调递减； ae 时，函数 在(0, ) 单调递减．综上： 1a 时，函数
在 单调递增， 单调递减； 时，函数 在 单调递减， 单调递增，
单调递减； 时，函数 在 单调递减； 时，函数 在 单调递减， 单调
递增， 单调递减．
（2）若 1a ，则 221( ) ( 1) (1 ( ) ) ( 1) (1 ln )
xeF x x mx f x x mx xx
， ( ) 2( 1) lnF x x m x ，
设 ( ) 2( 1) ln ,( 0)H x x m x x ，则 ( ) 2 mHx x
，当 (0, )2
mx 时， ( ) 0 ( )H x H x 单调递减，即
()F x 单调递减，当 ( , )2
mx 时， ( ) 0 ( )H x H x 单调递增，即 单调递增． 又因为
0 2, 0 1,2
mm 由 (1) 0F 可知： ( ) 02
mF ，而
2 2 2 2
( ) 2( 1) ln 2 0m m m mF e e m e e ，且
2
0 1mee
，
2
1 ( , )2
m mxe
，使得 1( ) 0Fx ，且 1(0, )xx 时， ( ) 0, ( )F x F x 单调递增， 1( ,1)xx 时，
( ) 0, ( )F x F x 单调递减， (1, )x 时， 单调递增， 所以函数 ()Fx有唯一极大值点
1 0 1,x x x，且 0
0 0 0 0
0
2( 1)( ) 2( 1) ln 0 (0 1)ln 2
x mF x x m x m xx
．
2200
0 0 0 0 0 0
0
2( 1)( ) ( 1) (1 ln ) ( 1) (1 ln )ln
xxF x x mx x x xx
2
2 00
0
0
221 ln
xxx x
．所以
22
2 0 0 0
0 0 0
0 0 0
22 2( ) 1 (2 ln )ln ln
x x xF x x xx x x
,设 2( ) 2 lnh x xx （ 01x），则
22
2 1 2( ) 0xhx x x x
， ()hx 在 单调递增， ( ) (1) 0h x h ， 0( ) 0hx，又因为 0ln 0x ，
0( ) 1 0Fx 0()1Fx．
22．（ 1） （ 为参数）；（2） ．
试题解析：（1）由 得 ，所以 ，即
．故曲线 的参数方程 （ 为参数）．
（2）由（1）可设点푃的坐标为 ，则矩形 的面积为
令 ， ，
，故当 时， ．
23．（ 1） 1 ,2
（2） 2,0 【详解】解：（1）当 1a 时，
2, 1,
1 1 2 , 1 1,
2, 1.
x
f x x x x x
x
由
1fx ，得 1
2x ．故不等式 的解集为 ．
（2）因为“ xR ， 21f x a”为假命题，所以“ xR ， 21f x a ”为真命题，所以
max | 2 1|f x a ．因为 | 1| | | | ( 1) ( ) | | 1|f x x x a x x a a ，所以 max | 1|f x a，则
| 1| | 2 1|aa，所以 221 2 1aa，即 2 20aa，解得 20a ，即 a 的取值范围为 ．
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