河南省南阳市第一中学2020届高三第十五次考试数学（理）试题.pdf

南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试 南阳市一中 2020 年春期高三第十五次考试 数学（理）试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分，考 试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集 U＝R，  2| 2 ,A x y x x    | 2 ,xB y y x R   ，则 ( )RC A B  （ ） A． | 0x x  B． | 0 1x x  C． |1 2x x ＜ D． | 2x x  2．如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 20mm，面额 100 元.为了测算图中军旗部分 的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗 的面积大约是（ ） A． 230 mm B． 2363 10 mm C． 2363 5 mm D． 220 mm 3．已知复数 5 3 1 iz i   ，则下列说法正确的是（ ） A． z 的虚部为 4i B． z 的共轭复数为1 4i C． 5z  D． z 在复平面内对应的点在第二象限 4．已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 4 23S S ，且 2 6 15a a  ，则 4a  ( ) A．8 B．6 C．4 D．2 5．已知函数 xy a ， by x ， logcy x 的图象如图所示，则（ ）南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试 A． a b c  B． a c b  C． c a b  D． c b a  6．定义在 R 上的偶函数  f x 满足    2f x f x  ，且在 3, 2  上是减函数，锐角 ,  是钝角三角形的两个内角，则下列不等式关系 中正确的是（ ） A．    sin cosf f  B．    cos cosf f  C．    cos cosf f  D．    sin cosf f  7．从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体， 其三视图如图，则该几何体体积的值为（） A． 5 2 B． 6 2 C．9 D．10 8．如图给出了计算 60 1 6 1 4 1 2 1   的值的程序框图，其 中 ①②分别是( ) A． 2,30  nni B． 2,30  nni C． 1,30  nni D． 1,30  nni 9.将函数 sin 3y x      横坐标缩短一半，再向右平移 6  个 单位长度，所得图象对应的函数,下列命题不正确的有几个 （ ） ①在区间 ,4 4      上单调递增， ②在区间 3 5,4 4       上单调递减 ③有一条对称轴为 6x  ，❹有一个对称中心为 ,04     南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试 A.3 B.2 C.1 D. 4 10．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点 F 到其准线的距离为 4，圆 2 2( ): 2 1M x y   ， 过 F 的直线l 与抛物线C 和圆 M 从上到下依次交于 A，P ，Q ，B 四点，则 4AP BQ 的最小值为（ ） A．9 B．11 C．13 D．15 11．已知存在正实数 x，y 满足 2 2 22 ( )(ln ln ) 0ax x y y x    ，则实数 a 的取值范围是 （ ） A． – ,0 B． 0,1 C． 0, D． 1, 12．将给定的一个数列{ }na ： 1a ， 2a ， 3a ，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则 可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将 1a 作为第一组，将 2a ， 3a 作为第二组， 将 4a ， 5a ， 6a 作为第三组，…，依次类推，第 n 组有 n 个元素（ *n N ），即可得到以组 为单位的序列： 1( )a ， 2 3( )a a, ， 4 5 6( , , )a a a ，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第 1 个括号称为第 1 群，第 2 个括号称为第 2 群，第 3 个数列称为第 3 群，…，第 n 个括号称 为第 n 群，从而数列{ }na 称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第 m 个 群众，且从第 m 个括号的左端起是第 k 个，则称这个元素为第 m 群众的第 k 个元素.已知数 列 1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第 1 群为（1），第 2 群为（1,3），第 3 群为 （1,3， 23 ），…，以此类推.设该数列前 n 项和 1 2 nN a a a    ，若使得 14900N  成 立的最小 na 位于第 m 个群，则 m  （ ） A．11 B．10 C．9 D．8 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知 ,a b  为单位向量，且 a b  =0，若 2 5c a b    ，则 cos ,a c   ___________. 14．已知函数 1 1 2( ) 2 2 x xf x    ，对于  R ， x R  ，使 2 2cos ( ) sin 1m f x m      成 立，则实数 m 的取值范围是_______. 15．已知 1 2,F F 分别为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点，过 2F 与双曲线的一条南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试 渐近线平行的直线交双曲线于点 P ，若 21 3PF PF ，则双曲线的离心率为________. 16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角 黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人 屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起 来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一 球，则该球体积的最大值为____． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。 17．某市规划一个平面示意图为如下图五边形 ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB， BA ， AE 为赛道（不考虑宽度）， BE 为赛道内的一条服务通道， 2 3BCD CDE BAE       ， DE  4km ， 3BC CD km  . （1）求服务通道 BE 的长度； （2）应如何设计，才能使折线段赛道 BAE 最长？ 18．如图所示，在四面体 ABCD 中， AD AB ，平面 ABD  平面 ABC ， 2 2AB BC AC  ，且 4AD BC  . （1）证明： BC ⊥ 平面 ABD ； （2）设 E 为棱 AC 的中点，当四面体 ABCD 的体积取得最 大值时，求二面角C BD E  的余弦值.南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试 19．某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园 的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位： mm ）在正常环境下服从正态分布  68 36N ， . （1）一顾客购买了 20 个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于 56 mm 的概率； （2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行 改进.如图是 2009 年至 2018 年，该果园每年的投资金额 x（单位：万元）与年利润增量 y（单 位：万元）的散点图： 该果园为了预测 2019 年投资金额为 20 万元时的年利润增量，建立了 y 关于 x 的两个回归 模型； 模型①：由最小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程： 2.50 2 0ˆ .5y x  ； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线： lny b x a  的附近，对投 资金额 x 做交换，令 lnt x ，则 y b t a   ，且有 10 1 22.00i i t   ， 10 1 230i i y   ， 10 1 569.00i i i t y   ， 10 2 1 50.92i i t   . （I）根据所给的统计量，求模型②中 y 关于 x 的回归方程； （II）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 2R ，并选择拟合精度更高、更可 靠的模型，预测投资金额为 20 万元时的年利润增量（结果保留两位小数）. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 2.50 2 0ˆ .5y x  lˆ ny b x a 南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试   10 2 1 ˆi i i y y   102.28 36.19 附：若随机变量  2X N   ， ，则  2 2 0.9544P X        ，  3 3 0.9974P X        ；样本  , 1 2i it y i n ，， ， 的最小乘估计公式为      1 2 1 ˆ n i i i n i i t t y y b t t         ， ˆˆa y bt  ； 相关指数     2 2 1 2 1 ˆ 1 n i i n i i y y R y y         . 参考数据： 200.9772 0.6305 ， 200.9987 0.9743 ， ln 2 0.6931 ， ln 5 1.6094 . 20．已知椭图 1C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的右顶点与抛物线 2C ：  2 2 0y px p  的焦 点重合，椭圆 1C 的离心率为 1 2 ，过椭圆 1C 的右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线截抛物线所得 的弦长为 4 2 . （1）求椭圆 1C 和抛物线 2C 的方程； （2）过点  4,0A  的直线l 与椭圆 1C 交于 M ， N 两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 E . 当直线l 绕点 A 旋转时，直线 EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试 21. 已知函数  ( ) ( 0)x xf x e x ae a   . （1）讨论 ( )f x 极值点的个数； （2）若 ( )f x 有两个极值点 1x ， 2x ，且    1 2 1 21 1 2 0x x m x x      ，求实数 m 的 取值范围. 选做题 22．在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 2 cos2 2 sin2 x r y r           （ 为参数 0r  ） 以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标 方程 2sin 4 2       （1）求圆心的极坐标． （2）若圆 C 上点到直线 的最大距离为 3，求 r 的值． 选做题 23．已知函数   | 1| | 2 |f x x x    . （1）求不等式   5f x  的解集； （2）若不等式   2 1f x x ax   的解集包含 1,1 ，求实数 a 的取值范围.