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2020 年安徽省合肥市“停课不停学”2020 届高三线上考试题
理科数学
本试题卷共 4 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非
答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域
内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 M＝{y｜－1＜y＜3}，N＝{x｜x（2x－7）≤0}，则 M∪N＝
A．[0，3） B．（0， 7
2 ] C．（－1， 7
2 ] D．
2．设复数 z 满足｜z－3｜＝2，z 在复平面内对应的点为 M（a，b），则 M 不可能为
A．（2， 3 ） B．（3，2） C．（5，0） D．（4，1）
3．已知 4 6a＝ ， 5
4
4log 21b＝ ，
2 91
3c
．
＝ ，则
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b
4．2019 年 10 月 1 日，为了庆祝中华人民共和国成立 70 周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅
十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富
民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：
小明说：“鸿福齐天”是我制作的；
小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；
小金说：“兴国之路”不是我制作的．
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是
A．小明 B．小红 C．小金 D．小金或小明
5．函数
2sin cos
20
x x xf x x
＝ ＋ 在[－ 2 ，0）∪（0， 2 ]上的图像大致为
6．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加 A、B、C 三个贫
困县的调研工作，每个县至少去 1 人，且甲、乙两人约定去同—个贫困县，则不同的派遣方案共有
A．24 B．36 C．48 D．64
7．已知向量 a＝（m，1），b＝（－1，2），若（a－2b）⊥b，则 a 与 b 夹角的余弦值为
A．－ 2 13
13 B． 2 13
13 C．－ 6 13
65 D． 6 13
65
8．框图与程序是解决数学问题的重要手段．实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，
可以制作框图，编写程序，得到解决．例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图
所示的程序框图，其中输入 x1＝15，x2＝16，x3＝18，x4＝20，x5＝22，x6＝24，x7＝
25，则图中空白框中应填入
A．i＞6，S＝
7
S B．i≥6，S＝
7
S
C．i＞6，S＝7S D．i≥6，S＝7S
9．记等差数列{ na }的公差为 d ，前 n 项和为 nS ．若 10S ＝ 40 ， 6a ＝5 ，则
A． d ＝3 B． 10a ＝12
C． 20S ＝ 280 D． 1a ＝－ 4
10．已知椭圆 C：
2 2
2 2 1x y
a b
＋ ＝ （a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P（x1，y1），Q（－x1，－y1）在椭圆 C 上，
其中 x1＞0，y1＞0，若｜PQ｜＝2｜OF2｜， 1
1
QF
PF
≥ 3
3
， 则椭圆 C 的离心率的取值范围为
A．（0， 6 1
2
－
] B．（0， 6 2－ ] C．（ 2
2
， 3 1－ ] D．（0， 3 1－ ]
11．关于函数 1 14 sin 4 cos2 3 2 3f x x x
＝ ＋ ＋ ＋ ，有下述三个结论：
①函数 f（x）的一个周期为
2
；
②函数 f（x）在[
2
， 3
4
]上单调递增；
③函数 f（x）的值域为[4， 4 2 ]．
其中所有正确结论的编号是
A．①② B．② C．②③ D．③
12．已知四棱锥 S—ABCD 中，四边形 ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，∠BAD＝120°，
△SAD 是等边三角形，且 SA＝AB＝ 2 3 ，若点 P 在四棱锥 S—ABCD 的外接球面上运动，记点 P 到平面 ABCD
的距离为 d，若平面 SAD⊥平面 ABCD，则 d 的最大值为
A． 13 1＋ B． 13 2＋ C． 15 1＋ D． 15 2＋
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知函数 f（x）＝m（2x＋1）3－2ex，若曲线 y＝f（x）在（0，f（0））处的切线与直线 4x＋y－2＝0 平行，则 m
＝__________．【2020 年安徽省合肥市“停课不停学”2020 届高三线上考试题理科数学 第 2 页 共 2 页】
14．设 nS 为数列{ na }的前 n 项和，若 2 nS ＝5 7na － ，则 na ＝__________．
15．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了
一定的经济损失，现将 A 地区 200 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计
如图所示，估算月经济损失的平均数为 m，中位数为 n，则 m－n＝__________．
16．已知双曲线 C：
2 2
2 2 1x y
a b
－ ＝ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 是双曲线 C 过第一、三象限的渐
近线，记直线 l 的倾斜角为 ，直线 l ： tan 2y x ＝ ，F2M⊥ l ，垂足为 M，若 M 在双曲线 C 上，则双曲线 C
的离心率为__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．设
23sin 3sin 3sin 4 2sin sin sin sin
B C A
C B B C
＋ ＝ ＋ ．
（1）求 tanA 的值；
（2）若 2 sin B ＝3sinC，且 S△ABC＝ 2 2 ，求 a 的值．
18．（12 分）如图所示，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，△ABC 为等边三角形，∠BAB1＝∠BB1A，
AB1∩A1B＝O，CO⊥平面 ABB1A1，D 是线段 A1C1 上靠近 A1 的三等分点．
（1）求证：AB⊥AA1；
（2）求直线 OD 与平面 A1ACC1 所成角的正弦值．
19．（12 分）记抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，点 D，E 在抛物线 C 上，且直线 DE 的斜率为 1，当直线 DE
过点 F 时，｜DE｜＝4．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）若 G（2，2），直线 DO 与 EG 交于点 H， DI
＋ EI
＝0，求直线 HI 的斜率．
20．（12 分）已知函数 f（x）＝ex－2x－cosx．
（1）当 x∈（－∞，0）时，求证：f（x）＞0；
（2）若函数 g（x）＝f（x）＋ln（x＋1），求证：函数 g（x）存在极小值．
21．（12 分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在 A 市与 B 市之间建一条直达公路，中间
设有至少 8 个的偶数个十字路口，记为 2m，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均
为 1
2
．
（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：
是否有 99．9％的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；
（2）若从所有的路口中随机抽取 4 个路口，恰有 X 个路口种植杨树，求 X 的分布列以及数学期望；
（3）在所有的路口种植完成后，选取 3 个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为 M，求证：3M≥m（m－1）
（m－2）．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 2 2cos
2sin
x
y
＝ ＋ ，
＝ （ 为参数），以原点
为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2
2 2
4
cos 4sin
＝ ＋ ．
（1）求曲线 C1 的极坐标方程以及曲线 C2 的直角坐标方程；
（2）若直线 l：y＝kx 与曲线 C1、曲线 C2 在第一象限交于 P，Q 两点，且｜OP｜＝2｜OQ｜，点 M 的坐标为（2，
0），求△MPQ 的面积．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知 a＞0，b＞0，c＞0．
（1）求证： 4 4
4 2 2 4
2 2
ab a b
a a b b a b
＋
－ ＋ ≥ ＋ ；
（2）若 abc＝1，求证：a3＋b3＋c3≥ab＋bc＋ac．
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