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文科数学 第 1页 共 6 页 岳阳市 2020 届高三教学质量检测试卷（二) 数学（文科） 分值：150 分时量：120 分钟 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。 1．已知复数 (1)(3)(ziii=+-为虚数单位）,则 的虚部为 A．2 B． 2i C．4 D． 4i 2．已知集合 { }10Axx=+£ ， {|}Bxxa=³，若 ABR=U ，则实数 a 的值可以为 A．２ B．1 C． 0 D． 2- 3．命题 2=mp： ，命题 ：q 直线 012)1( =-+-- myxm 与直线 032 =-+ mymx 垂 直，则 p 是 q 成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若 2log3a = ， 4log7b = ， 40.7c = ，则实数 ,,abc的大小关系为 A． abc>> B． cab>> C．bac>> D． cba>> 5．已知数列 }{ na 为等差数列， nS 为其前 n 项和， 3536 =-+ aaa ，则 =7S A．42 B．21 C．7 D．3 6．已知向量 1a =r ， 若 ()()abab+^-rrrr，则实数 m 的值为 A． 1 2 B． 3 2 C． 1 2± D． 3 2± 7．在正方体 1111 DCBAABCD - 中，E 为 1BC 的中点，则异面直线 DE 与 11BA 所成角的 正切值为 A． 6 2 B． 6 3 C． 2 2 D． 2 z ），,2 1( mb =r文科数学 第 2页 共 6 页 8．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A．5 B．4 C．3 D．2 9．设 F 为抛物线 2 2yx= 的焦点， ,,ABC为该抛物线上三 点，若 0FAFBFC++=uuuruuuruuurr，则||||||FAFBFC++=uuuruuuruuur A．9 B．6 C．4 D．3 10. 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是 赵爽的弦图及注文:弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含 四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱 ) 色及黄 色，其面积称为朱实及黄实，利用 2´ 勾´ 股 +（股 - 勾）2 4=´ 朱实 + 黄实 = 弦实，化简得:勾 2 + 股 2 = 弦 2 .设勾股中勾股比为 1:3，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计）， 则 落 在 黄色图形内的图钉数大约为 A．866 B．500 C．300 D．134 11．已知函数 ( ) 3fxxx=-，则曲线 ( )yfx= 过点( )1,0 的切线条数为 A．3 B． 2 C．1 D． 0 12．关于函数 ( )fxcosxsinx=+有下述四个结论： ① ( )fx的图象关于 y 轴对称； ② ( )fx在[ ]pp- ， 有 3 个零点； ③ ( )fx的最小值为 2- ； ④ ( )fx在区间 4 p pæö ç÷èø ， 单调递减. 其中所有正确结论的序号是 A．①② B．①③ C．①④ D．③④文科数学 第 3页 共 6 页 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号 的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 13．在 ABCD 中，内角 CBA 、、 的对边长分别为 cba 、、 ，若 bcaA == 260 ，o ， 则 =CBsinsin _______. 14．已知实数 x ，y 满足 3, 220, 1. xy xy y +£ì ï -+³í ï ³î 则目标函数 31zxy=+-的最大值为________． 15．直三棱柱 111ABCABC- 的顶点都在同一球面上，若 2ABAC==， 1 3AA = ， BACÐ=90°，则此球的表面积等于___________． 16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 )2,4(),2,0(),2,0(),0,4(),0,4(),0,0( HQPNMO -- ．线 段OM 上的动点 A 满足 )1,0( ）（Î= llOMOA ；线段 HN 上的动点 B 满足 HNHB l= ．直线 PA 与直线 QB 交于点 L ，设直线 PA 的斜率为 k ，直线QB 的斜 率为 k¢ ，则 kk ¢× 的值为 ；当 l 变化时，动点 L 一定在 （填“圆、椭圆、双 曲线、抛物线”之中的一个）上（本题第一空 2 分，第二空 3 分）． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17〜21 题为必 考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题 17.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 PABC- 中， PACD 为正三角形，M 为棱 PA 的中点， ABAC^ ， 1 2ACBC= ， 平面 PAB ^ 平面 PAC ．文科数学 第 4页 共 6 页 （1）求证： AB ^ 平面 PAC ； （2）若 2AC = ，求三棱锥 PBMC- 的体积． 18．（本小题满分 12 分） 等差数列 }{ na 的公差为 2, 842 aaa 、、 分别等于等比数列 }{ nb 的第 2 项、第 3 项、 第 4 项. （1）求数列 }{ na 和 }{ nb 的通项公式； （2）若数列 }{ nc 满足 1 2 2 1 1 +=+++ n n n ba c a c a c L ,求数列 }{ nc 的前 2020 项的和． 19．（本小题满分 12 分） 新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心.某市积极响应上级部 门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此次战“疫”进行了持续、深入的 宣传，帮助全体市民深入了解新冠病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新冠病 毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关知识问卷，随机抽取了年龄在 15～75 岁之间 的 200 人进行调查， 并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15,35) 和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人 数之比为 19:21．其中“青少年人”中有 40 人对防控的相关知识了解全面，“中老年人” 中 对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是 2:1. （1）求图中 ,ab的值； （2）现采用分层抽样在[25,35)和[45,55) 中随机抽取 8 名市民,从 8 人中任选 2 人, 求 2 人中至少有 1 人是“中老年人”的概率 是多少 ? （3）根据已知条件,完成下面的 2×2 列联 表，并根据此统计结果判断:能否有 99.9% 的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加 全面了解防控的相关知识? 了解全面 了解不够全面 合计 青少年人 中老年人 合计文科数学 第 5页 共 6 页 附表及公式： ( ) ( )( )( )( ) 2 2 nadbcK abcdacbd -= ++++ ，其中 nabcd=+++ . ( )2PKk³ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆C : 22 221xy ab+=（ 0ab>>）的左、右焦点分别是 1F 、 2F ， P 是椭圆上 一点， I 为 12PFFD 的内切圆圆心， 1122 2PIFIFFPIFSSSDDD=-，且12PFFD 的周长为 6. （1）求椭圆C 的方程； （2）已知过点( )0,1 的直线与椭圆C 交于 A ， B 两点，若 ( )23OPOAOB=+uuuruuuruuur ，求四 边形OAPB 面积的最大值. 21．（ 本 小题满分 12 分） 已知函数 .ln)( x exxxf x --= （1）求 )(xf 的最大值； （2）若 1)1()( ³-++ bxexxxf x 恒成立，求实数b 的取值范围．文科数学 第 6页 共 6 页 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分． 22．【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以 此表达对 祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型 曲线.如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的 曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 qr sin1-= （ 0,20 >