湖南省岳阳市 2020届高三教学质量检测试卷（二）数学（理科） （word版，含解析）.doc

理科数学答案 第 1页 共 10 页 岳阳市 2020 届高三教学质量检测试卷（二) 数学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。 1．【答案】A 【解析】因为 (1)(3)42ziii=+-=+ ，所以 z 的虚部为 2. 2．【答案】D 【解析】 {|},1 {|}AxxBxxa=£-=³Q ，且 ABR=U ， 1a\£- ，∴ a 的值 可为 2- ． 3．【答案】A 【解析】依题意，由对数函数的性质可得 244log3log9log7ab==>= ， 由指数函数的性质及对数的性质，可得 40 440.70.71log4log7cb=. 4.【答案】B 【解析】 217,3,3 474536 ==\=\=-+ aSaaaaQ 5.【答案】D 【解析】Q ()()abab+^-rrrr，\ ()()0abab+×-=rrrr ，即 22 0ab-=rr ，将 1a =r 和 2 221()2bm=+r 代入，得出 2 3 4m = ，所以 3 2m =± . 6．【答案】A 【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与 两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿 上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何 体分成两个四棱锥和 1 个直三棱柱，则三棱柱的四棱锥的 体积由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．故 选 A． 7.【答案】C 【解析】令 1 1 |3| 2 £ + = k kd ，解得 4 2 4 2 ££- k ，所以相交的概率 4 2 2 2 2 ==P . ８.【答案】A 【解析】 555 )22()22(2)22)(12( xxxxx ---×=-- ，利用二项式定理展开可得： 展开式中 x8 的项为 xxxx CC 8120)2(2)2(22 323 5 232 5 ´=--- 9.【答案】B 【解析】设 ()()gxfxx=-,则函数的导数 ()()1gxfx¢¢=-,且 ()1fx¢ < ，理科数学答案 第 2页 共 10 页 ()0gx¢\ ，由 211gx> 得11gx > 或 11gx 或 10 10x， )0(2)( >= xxxf 等 16.【答案】 6 2 ； p729 68理科数学答案 第 4页 共 10 页 【解析】（1）每个小三角形的面积是 4 3 ，六面体的体积是正四面体的两倍，六面体的体积是 6 2 ； （2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时， 连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为 R ，所以 ）（ R´´´= 4 3 3 166 2 ， 求得 9 6=R ，所以球的体积 ppp 729 68 9 6 3 4 3 4 33 === ）（RV 。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17〜21 题为必考题,每个试 题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 17．【解析】(1)依题意得: 2 324bbb= ， 所以 2 111(6)(2)(14)aaa+=++，························································································· 1 分 所以 22 111112361628,aaaa++=++ 解得 1 2.a = ································································································································ 2 分 2.nan\= ··································································································································· 3 分 设等比数列{ }nb 的公比为 q ，所以 3 4 22 82,4 b aq ba====······················································ 4 分 又 2 224,422.nn nbab -==\=´=····························································································· 5 分 (2)由（1）知， 2,2.n nnanb== 因为 1112 121 2nnn nn cccc aaaa +- - ++××××++= ① 当 2n ≥ 时, 112 121 2nn n ccc aaa - - ++×××+= ②················································································ 6 分 由① - ②得， 2nn n c a = ,即 12n ncn+=× ,···················································································· 7 分 又当 1n = 时， 3 112 2cab==不满足上式, 1 8,1, 2,2.n n nc nn+ =ì\=í×³î ················································································································· 8 分 数列{ }nc 的前 2020 项的和 342021 2020 8223220202S =+´+´+×××+´ 2342021412223220202=+´+´+´+×××+´··················· 9 分 设 23420202021 2020 1222322019220202T =´+´+´+×××+´+´ ③， 则 34520212022 202021222322019220202T =´+´+´+×××+´+´ ④， 由③- ④得： 23420212022 2020 222220202T-=+++×××+-´················································ 10 分 22020 20222(12)2020212 -=-´- 2022420192=--´························································································· 所以 2022 2020 201924T =´+, 所以 2020S = 2022 2020 4201928T +=´+.··············································································· 18（本小题满分 12 分）理科数学答案 第 5页 共 10 页 【解析】（1）证明：（法 1）连接 1AC 交 1AC于点 F ，……………2 分 则 F 为 1AC 的中点．又 D 是 AB 的中点，连接 DF ，则 1 //BCDF ． ……………………………………………………4 分 因为 DF Ì 平面 1ACD ， 1BC Ì 平面 1ACD ，所以 1 //BC 平面 1ACD ． ……………………………………………………5 分 （法 2）取 11BA 的中点 F ，连接 BFFC ,1 ，…………………………2 分 Q在直三棱柱 111 CBAABC - 中， FC1 ∥CD ， DA1 ∥ BF ， 又 CDACDDA 11 面、 Ì 且 DCDDA =Ç1 ， FBCBFFC 11 面、 Ì 且 FBFFC =Ç1 ， \面 CDA1 ∥面 FBC1 …………………………………………………4 分 FBCBC 11 面ÌQ ， 1BC\ ∥面 CDA1 . ………………………………5 分 （2）（法 1）由 1 2 22AAACCBAB====，可得： 2AB = ， 即 222ACBCAB+= 所以 ACBC^ ………………………………………………………………………………6 分 又因为 111ABCABC- 直棱柱，所以以点C 为坐标原点，分别以直线 1CACBCC、、 为x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，则 ( ) ( )1 2220,0,02,0,2),,00,2,222CADEæöæö ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø 、、 、， ( )1 2222,0,2,,,0,0,2,222CACDCEæöæö===ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø uuuruuuruuur 设平面 1ACD 的法向量为 ( ),,nxyz=r ，则 0nCD×=ruuur 且 1 0nCA×=ruuur ， 可解得 yxz=-= ，令 1x = ，得平面 1ACD 的一个法向量为 )1,1,1( --=n ， …………………………………………………9 分 同理可得平面 1ACE 的一个法向量为理科数学答案 第 6页 共 10 页 ( )2,1,2m =-ur ， ………………………………………………11 分 则 3cos, 3nm=rur ,所以二面角 1DACE--的余弦值为 3 3 .………12 分 （法 2）Q ,DE分别是 1,ABBB 的中点， 1 2 22AAACCBAB==== 2 1 22 111 3 23,2 63 EADEDAEADEDA =+\===\ ，， , 即 DADE 1^ CDDEAABBDEAABBCDABCD ^\Ì^\^ ，面又面 1111 ,,Q DCDDA =Ç1Q CDADE 1面^\ ………………………………7 分 过点 D 作 CADG 1^ 于G ，连接 EG ，易证 CAEG 1^ ，则 DGEÐ 即 为所求角……………………………………………………9 分 在 CDA1D 中， 2 3 2 1321,3 1 1 11 =×=×=\=== CA CDDADGCACDDA ，， 在 DEGRtD 中， 2tan ==Ð DG DEDGE ， 3 3cos =Ð\ DGE ， 即二面角 1DACE--的余弦值为 3 3 .…………………………………………………………12 分 19．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）证明：由题知，直线 的斜率存在且不过原点， 故设 ， 由 可得 ， .……………………………2 分 OA⊥OB. , ，故 ………………………4 分 所以直线 的方程为 故直线 恒过定点（0,2）. ……………………………………………………………………………5 分 （2）由（1）知理科数学答案 第 7页 共 10 页 ……………………7 分 设 由 可得 ， ………………………………………………………………9 分 ………………11 分 ，即存在常数 满足题意.……………………………………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 【解析】（1） 采用促销 没有采用促销 合计 精英店 35 20 55 非精英店 15 30 45 合计 50 50 100 ………………………………………………………………………………………………………2 分 因为 2 2 100(1050300) 9.096.63550505545K -=»>´´´ ， \有99%的把握认为“精英店与采用促销活动有关”．………………………………………4 分 （2）①由公式可得： 7.21 21.63b -==- ， 1395.52413.512003aybw=-=+´=， 所以回归方程为 21ˆ 12003yx=-+ ．…………………………………………………8 分 ②若售价为 x ，单件利润为 15x - ，日销售为 21ˆ 12003yx=-+ ， 故日利润 211200(15)3zxxæö=-+-ç÷èø ，(30)(40)zxx¢=-+-，理科数学答案 第 8页 共 10 页 当 (0,40)xÎ 时， 21 1200(15)3zxxæö=-+-ç÷èø 单调递增； 当 (40,)xÎ+¥ 时， 21 1200(15)3zxxæö=-+-ç÷èø 单调递减． 故当售价 40x = 元时，日利润达到最大为 50000 3 元．……………………………………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由函数 )(xf 为奇函数，得 0)()( =-+ xfxf 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+-- -- mxaeemxaee xxxx ， 化简可得 0)()1( =+×- -xx eea ，所以 1=a . ……………………………………3 分 法一：由（1）可得 mxeexf xx --= -)( ，所以 x xx xx e meemeexf 1)( 2 +-=-+=¢ - ， 当 2£m 时，由于 012 ³+- xx mee 恒成立，即 0)( ³¢ xf 恒成立，故不存在极小值. 当 2>m 时，方程 012 =+- mtt 有两个不等的正根 )(, 2121 tttt < ， 故可知函数 mxeexf xx --= -)( 在 ),(ln),ln,( 21 +¥-¥ tt 上单调递增， 在 )ln,(ln 21 tt 上单调递减，即在 2lnt 处取到极小值， 所以 m 的取值范围是 ),2( +¥ . ………………………………………6 分 法二：由（1）可得 mxeexf xx --= -)( ， 令 meexfxg xx -+=¢= -)()( ，则 x x xx e eeexg 1)( 2 -=-=¢ - ， 故当 0³x 时， 0)( ³¢ xg ；当 0