河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）2020届高三第一次模拟调研试题数学（理）试卷.doc

2020 年河南省六市高三第一次模拟调研试题 理科数学参考答案 一、选择题 1-5 CADDC 6-10 DBBDB 11-12 BC 二、填空题 13. 10 14. ),1( +∞ 15. 135 16. ),1( 1 ee 三、解答题： 17、 解 ：（ 1）因为 D 在边 BC 上，所以 cos cosADB ADC∠ =−∠ ， 在 ADB∆ 和 ADC∆ 中由余弦定理，得 2 22 2 2 2 022 AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC +− +−+=×× ，...........................3 分 因为 2 13AB = ， 4AC = ， 3AD = ， BD DC= ， 所以 229 52 9 16 0BD BD+−++−=，所以 2 25BD = ， 5BD = . 所以边 BC 的长为 10. ...........................6 分 （2）由（1）知 ADC∆ 为直角三角形，所以 1 43 62ADCS∆ = ××= ， 2 12ABC ADCSS∆∆= = ......................8 分 因为CE 是 BCA∠ 的角平分线， 所以 1 sin2 1 sin2 ACE BCE AC CE ACES S BC CE BCE ∆ ∆ ××∠ = ××∠ 42 10 5 AC BC = = = ....................10 分 所以 2 5ABC BCE ACE BCE BCESSSS S∆∆∆∆ ∆=+=+ 7 125 BCES∆= = ，所以 60 7BCES∆ = . 即 BCE∆ 的面积为 60 7 . ...........................12 分 18. 解 ：（ 1） 分所以 又因为 所以 的中点，是又因为 是等边三角形，所以 是菱形，且因为四边形 2..............................33 3,6 60BADABCD = == ⊥ ∆ =∠ ° BO AOAB ADBO ADO ABD 理科数学答案 第 1 页 （共 6 页） 分所以 平面所以 又所以 是菱形，又因为 所以 分平面所以 又 所以 ，又 5................................ , // 3.................. , 43,4 222 PEAC POEAC OOEPOOEAC BDOEABCD ACPO ABCDPO OOBADADPO OBPO PBPOBOPBPO ⊥ ⊥ =∩⊥ ⊥ ⊥ =∩⊥ ⊥ =+== （2）由题意结合菱形的性质易知OP OA⊥ ，OP OB⊥ ，OA OB⊥ ， 以点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz− ， 则： ( ) ( ) ( ) 330,0,4 , 0,3 3,0 ,0 0,0,0 , , 3,022PB E  ， )0,0,3-(D 设平面 POE 的一个法向量为 ( )1 11,,m xyz=r , 则： 1 11 40 333022 m OP z m OE x y  ⋅== ⋅= + = uuuvr uuuvr ， 据此可得平面 POE 的一个法向量为 ( )3 , 1, 0m = −r ，.........................8 分 设平面 PBD 的一个法向量为 ( )2 22,,n xyz=r 则: { 0333 043 22 22 =−−=⋅ =−−=⋅ yxBDn zxPDn 据此可得平面 PBD 的一个法向量为 )33,4,34(−=n .......................10 分 91 918 912 16,cos −=−=⋅= nm nmnm 平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦值 91 918 ............................12 分 19.解 ：（ 1）由题知 ），（，， a cca ce 1P1 ∴== 在椭圆上 所以 11,11 222 22 2 2 2 2 ==+∴=+ bba cb b a c a 故 2,1 == ab 理科数学答案 第 2 页 （共 6 页） 所以椭圆 C 的方程为 12 2 2 =+ yx . …………………………………………………4 分 （2）由题意得，P 不在 x 轴上，不妨设 ( ) ),(),,(0),( 2211 yxByxAnnmP ，， ≠ ， 由 ,11 PFAF λ= 得 ),1(),1( 11 nmyx +=−−− λ ， 所以 nymx λλλ −=−−−= 11 ,1 ， 又由 12 2 1 2 1 =+ yx 得 1)(2 1 2 2 =+++ nm λλλ ）（ ①…………………………………6 分 又 12 2 2 =+ nm ②，联立①②消去 n 得 01)22()23( 2 =−+++ λλ mm 即 0)1](1)23[( =+−+ λλm ， 由题意知 0>λ ， 01≠+λ ，所以 m23 1 +=λ ……………………………………8 分 同理可得 m23 1 −=µ …………………………………………………………………10 分 所以 249 6 23 1 23 1 mmm −=−++=+ µλ 故当 0=m 时， µλ + 取最小值 3 2 . ………………………………………………12 分 20 解 ：（ 1）由题可知 02)1()( 2' =−+= xx aeexxf 有两个不相等的实根 即： 021 =−+ xaex 有两个不相等实根..........................1 分 令 )(12 xh e xa x =+= Rx e x e exexh xx xx ∈−=+−= , )( )1()( 2 ' 0)(),,,0(;0)(),0,( '' −∞∈ xhxxhx 故 上单减上单增，在（在 ),0)0,()( +∞−∞xh ........................3 分 1)0()( max ==∴ hxh ;0)()1,(,0)1( +∞−∈ xhx 时， )2 1,0(),1,0(2 ∈∈∴ aa 即 ...........................................5 分 理科数学答案 第 3 页 （共 6 页） 此题还可以利用数形结合转化为 1 ( 1)2 xy x yea =+=与 相交问题， （2）方法一：由（1）知， 21, xx 是方程 ae x x 21 =+ 的两根， ∴ 21 01 xx + λλ xxxx 因为 )(xh 在 ），（ ∞+0 单减， )()(),()(),()( 1 112 1 2 λλ xhxhxhxhxhxh −