高二数学第一次测试试卷.pdf

·1· 2019-2020 学年度寒假网课高二数学测试卷 参考答案 一、选择题 1-5: BADCA 6-10:BCBBA 11-12CB 二、填空题 13.18 5 14. 2 15. ( 3, 2)  16.112π 三、解答题 17.解：（1）由 2 cos cos cos 0b A a C c A   及正弦定理得 2sin cos sin cos cos sinB A A C A C   ， 即 2sin cos sin( ) sinB A A C B    ，……1 分 在 ABC 中，sin 0B  ， 所以 1cos 2A   ，……2 分 又 (0, )A  ，所以 2 3A  ．……3 分 在 ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 22 cos 7a b c bc A b c bc       ， 所以 7a  ．……5 分 (2)由 1 2 3 3AD AB AC    ，得 2 21 2( )3 3AD AB AC    ……7 分 4 4 4 1 42 1 ( )9 9 9 2 9         ，……9 分 所以 2| | 3AD  ．……10 分 18.解：（Ⅰ）因为 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 12 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a                ，……5 分 所以数列 2 n n a    是首项为 1 2 ，公差为1的等差数列 ； ……6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知数列 2 n n a    是首项为 1 2 ，公差为1的等差数列，……7 分 所以  1 2 11 12 2 2 n n a nn      ，即   12 1 2n na n    ，……9 分·2· 所以   1 12 1 2 22 1 2 1 n nn na n n      ，易知数列 2 1 na n     是首项为1，公比为 2 的等比数列，……11 分 所以 1 2 2 11 2 n n nS    ． ……12 分 19. 解： (1) ……4 分 （2） 458 6258524842383228 x ……5 分 1298 147140135129127122118114 y ……6 分 ∴ 91.0129 118 45817232 12945847384 8 ˆ 28 1 22 8 1           i i i ii xx yxnyx b ……7 分 05.884591.0129ˆˆ  xbya ……8 分 ∴回归直线方程为 05.8891.0ˆ  xy .……9 分 （3）根据回归直线方程的预测，年龄为 70 岁的老人标准收缩压约为 75.15105.887091.0  （mmHg）∵ 19.175.151 180  ……11 分 ∴收缩压为 180mmHg 的 70 岁老人为中度高血压人群.……12 分 20.（1）证明：设G 为 1AB 的中点，连 GFEG,·3· 因为 FG 112 1 BA ，又 DE 112 1 BA ，所以 FG DE ， 所以四边形 DEGF 是平行四边形，……2 分 所以 EGDF // 又 DF 平面 AEB1 ， EG 平面 AEB1 ，……3 分 所以 //DF 平面 AEB1 .……4 分 （2）解：因为 ABCD 是菱形，且 060ABC ， 所以 ABC 是等边三角形 取 BC 中点G ，则 ADAG  ， 因为 1AA 平面 ABCD ， 所以 AGAA 1 ， ADAA 1 建立如图的空间直角坐标系，令 )0(1  ttAA ，……6 分 则 )0,0,0(A ， )0,2 3,2 3(E ， ),1,3(1 tB  ， ),2,0(1 tD ， )0,2 3,2 3(AE ， ),1,3(1 tAB  ， ),2,0(1 tAD  ，-------8 分 设平面 AEB1 的一个法向量为 ),,( zyxn  ， 则 0)3(2 3  yxAEn 且 031  tzyxABn ， 取 )4,,3( ttn  ，----------------------------10 分 设直线 1AD 与平面 AEB1 所成角为 ， 则 4 3 )4(2 6 |||| ||sin 2 1 1    t t ADn ADn ， 解得 2t ，故线段 1AA 的长为 2.……12 分·4· 21.解：（1）由已知可得 2 2 2 2 ,2 2 sin 2,4 , c a c a b c            ……2 分解得 2 2a  ， 2 2 1b c  ，……3 分 故所求的椭圆方程为 2 2 12 x y  ．……4 分 （2）由 2 2 1,2 2, x y y kx       得 2 2(1 2 ) 8 6 0k x kx    ，……5 分 则 2 2 264 24(1 2 ) 16 24 0k k k       ，解得 6 2k   或 6 2k  ．……6 分 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 则 1 2 2 8 1 2 kx x k     ， 1 2 2 6 1 2x x k   ，……8 分 则 1 1 1 2 AD y k x   ， 2 2 1 2 BD y k x   ，……9 分 所以 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ( )2 AD BD y x y x x x k k x x      1 2 1 2 1 2 32 ( )2kx x x x x x    6 6 03 k k  ， 所以 AD BDk k 为定值，且定值为 0．……12 分 22.解：（1） '( ) 2( 1)xf x e a   ， 当函数 ( )f x 在区间 0,1 上单调递增时， '( ) 2( 1) 0xf x e a    在区间 0,1 上恒成立， ∴ min2( 1) ( ) 1xa e   （其中  0,1x ），解得 3 2a  ；……2 分 当函数 ( )f x 在区间 0,1 上单调递减时， '( ) 2( 1) 0xf x e a    在区间 0,1 上恒成立， ∴ max2( 1) ( )xa e e   （其中  0,1x ），解得 12 ea   ．·5· 综上所述，实数 a 的取值范围是 3( , ] [ 1, )2 2 e   ．……4 分 （2） '( ) 2( 1) ( )xg x e a x b f x     ． 由 (0) (1) 0g g  ，知 ( )g x 在区间 (0,1) 内恰有一个零点，……5 分 设该零点为 0x ，则 ( )g x 在区间 0(0, )x 内不单调， 所以 ( )f x 在区间 0(0, )x 内存在零点 1x ， 同理， ( )f x 在区间 0( ,1)x 内存在零点 2x ， 所以 ( )f x 在区间 (0,1) 内恰有两个零点．……6 分 由（1）知，当 3 2a  时， ( )f x 在区间 0,1 上单调递增，故 ( )f x 在区间 (0,1) 内至多有一个零点， 不合题意．……7 分 当 12 ea   时， ( )f x 在区间 0,1 上单调递减，故 ( )f x 在区间 (0,1) 内至多有一个零点，不合题意， 所以 3 12 2 ea   ．……8 分 令 '( ) 0f x  ，得 ln(2 2) (0,1)x a   ， 所以函数 ( )f x 在区间 0,ln(2 2)a  上单调递减，在区间 (ln(2 2),1]a  内单调递增．……9 分 记 ( )f x 的两个零点为 1x ， 2x 1 2( )x x , 因此 1 (0,ln(2 2)]x a  ， 2 (ln(2 2),1)x a  ，必有 (0) 1 0f b   ， (1) 2 2 0f e a b     ． 由 (1) 0g  ，得 a b e  ， 所以 1( ) 1 ( ) 1 02f e a b e e        ，……10 分 又 (0) 1 0f a e    ， (1) 2 0f a   ， 所以 1 2e a   ．……11 分 综上所述，实数 a 的取值范围为 ( 1,2)e  ．……12 分