漳州市 2020 届高三毕业班高考适应性测试理科数学答案第 1 页（共 10 页）
漳州市 2020 届高中毕业班高考适应性测试
理科数学试题答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的
一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分．
1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．C
7．B 8．C 9．C 10．A 11．A 12．A
【选择题详解】
1. 解析:选 C. 1,1A , 1
2B
,则 RACB111,,122
.
2. 解析:选 B. 3zi ，则 zz 310i .
3. 解析:选 C.中国和巴西获得金牌总数为 154,按照分层抽样方法,22 名获奖代表中有中国
选手 19 个,巴西选手 3 个.故
12
193
3
22
57
1540
CCP C.
4．解析：选 D.因为 7a 是 3a 与 9a 的等比中项，所以 2
739aaa ，又数列 na 的公差为 2 ，
所以 2
111(12)(4)(16)aaa ，解得 1 20a ，故 20(1)(2)222nann ，
所以 1 10
10
10( ) 5 (20 2) 1102
aaS ．
5.解析:选 C ，通过偶函数定义判断可知 fx为偶函数，求导作出下图.
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6. 解析：选 C．分别取 11 DC ． 1CC 中点 E ． F ，易知平面 EFM 平行于平面 BDA1 ，又平
面 过点 M ，平面 平行于平面 ，所以平面 与平面 是同一个平面，所以体
积较小的几何体等于
24
11)2
1(2
1
3
1 2 .
7.解析:选 B.
3
2
4
1 ea ee , 2
4
16b e ,
2
2
24
44ec ee , 2
4
9ed e ,
由于 2.7e , 2 7.39e , 3 20.09e ,所以c d a b .
8. 解析:选 C.如图，最小正周期为 2 ,最大值为 1
42f
,所以最小正周期与最大值之比
为 4 .
9. 解析:选 C.由已知可得 4AB ， 2CEAEBE .设 =< , >CE CD .当 D 与 E 重合
时, CE CD 22cos04 ,符合题意;当 与 A 重合时, BDC , 4cosCD ,代入
4CECD,得 24coscos4 ,此时
4
.故 0 4
， .此时由 ,得
2 cos 4CD ,即 2
cosCD ,结合 可得 2,2 2CD .
10．解析:选 A.函数 ()sinyfxx在 0x ， π
2x ， πx 处的函数值分别为
0)0(1 fy ， 2
π()12yf， 3 (π)0yf，
故
2
12
12
1
xx
yyk ，
2
23
23
xx
yyk ， 2
13
1
2
4
xx
kkk ，
故 2
22
2444( )() 2f xxx xxx
，
即 xxx
44sin 2
2 ，
所以
25
24
5
24)5
2(4
5
2sin 2
2
.故选 A．
11. 解析:选 A .设 11,A x y , 22,B x y ,抛物线焦点为 F . 漳州市 2020 届高三毕业班高考适应性测试理科数学答案第 3 页（共 10 页）
由已知有 2A F B F p,即 12y y p.
由
22
11
22
22
22
22
1
1
xy
ab
xy
ab
.两式相减得 22
1 2 1 212
22
y y y yxx
ab
,
即 121212
22
22 yyyypypy
ab
,故
2
2
1
2
b
a ,所以渐近线方程为 2
2yx .
12. 解析:选 A.令 ,0,lnxtetxt .转化成 2ln10ttat ,即 1l n 0t a t t
令 1lnfttat t
,显然 10f
问题转化成函数 ft在 0, 上只有一个零点 1
2
/
22
111 attafta ttt
若 0a ,则 lnftt 在 单调递增, 10f ,此时符合题意；
若 0a ,则 / 0,ft ft在 单调递增, 10,f 此时符合题意；
若 0,a 记 2 ,htatta 开口向下,对称轴 1 02t a，过 0, a ， 214a .
当 0 时,即 2140,a 1
2a 时， / 0ft ， ft在 单调递减， ，
此时符合题意；
当 0 时，即 2140 a， 10 2a时，设 0ht 有两个不等实根 12,tt， 120 tt.
又 10h ，对称轴 1 12t a，所以 1201tt 。
则 在 10, t 单调递减， 12,tt 单调递增， 2 ,t 单调递增。
由于 所以 2 0ft
取
1
0
ate ,
11
22
0
1 aaa e a eft a
记
11
221 aaaa ea e
令 1 ,2tta
则
2
2
ttt e ea m t t
0 ，所以 0 0ft
结合零点存在性定理可知,函数 在 20,tt 存在一个零点,不符合题意. 漳州市 2020 届高三毕业班高考适应性测试理科数学答案第 4 页（共 10 页）
综上,符合题意的 a 的取值范围是 0a 或 1
2a .
二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，共 20 分．
13． 22216xy 14．9 15． 14 141122a 16． 10
【填空题详解】
13.解析: 22222
3423216TCxyxy.
14.解析:当 a 老师监考 B 班时,剩下的三位老师有 3 种情况,同理当 老师监考 C 班时,也有
3 种,当 老师监考 D 班时,也有 3 种,共 9 种.
15.解析:由已知有 2QO ,即点 Q 的轨迹方程为圆 T : 224xy.问题转化为圆 N 和圆
有公共点.则 22123 aa ,故 .
16.解析:由于 //QB 面 1D N T ,所以点 Q 在过 B 且与面 平行的平面上.取 DC 中点 1E ,
取 1 1AG ,则面 1 //B G E 面 .延长 1BE ,延长 AD ,交于点 E ,连接 EG ,交 1DD 于点 I .
显然,面 B G E 面 11D DAA GI ,所以点 Q 的轨迹是线段GI .易求得 10GI .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17. 解：（1） 111( )sin 2(1 cos2 )222f xxx
1 (sin 2cos 2 )2 xx
2 sin(2 )24x ,…………………………………………………………3 分 漳州市 2020 届高三毕业班高考适应性测试理科数学答案第 5 页（共 10 页）
z
y
x
A1
B1
C1
A
B
C
O
由 3222,, 242kxkkZ 得 5 ,88kxk
所以 ()fx的单调递减区间为 5,,.88kkkZ
……………………6 分
（2）由正弦定理得sincos2sincossinsinABABBA,
∵ s i n 0 ,A ∴cos2cossinBBB,
即 (cossin)(cossin)cossinBBBBBB ,
(cossin)(cossin1)0,BBBB
得 cossin0,cossin1,BBBB 或
解得 , ( ,42BB或 舍去）………………………………………………9 分
∵ ABC 为锐角三角形， 3+,4AC
∴
0,2
30,42
A
A
解得 ,42A
∴ 352,444 A 22sin(2),242 A
∴ 2()sin(2)24fAA 的取值范围为 11( , ) 22 .……………………12 分
18. (12 分)
解：(1)连接 AO ,因为O 为 BC 的中点，
可得 BCAO ，………………………………1 分
∵ 1AOABC 平面 ， BC ABC 平面 ，
∴ 1AOBC ， ……………………………………2 分
又∵ 1AO AO O，∴ 1BC AAO 平面 ，
∴ 1BC AA ，……………………………………3 分
∵ 11BBAA ， ∴ 1BCBB ，
又∵四边形 11BB C C 为平行四边形，∴四边形 为矩形.…………………………5 分
(2) 如图, 分别以 1,,OA OB OA 所在直线为 ,,x y z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则漳州市 2020 届高三毕业班高考适应性测试理科数学答案第 6 页（共 10 页）
(1,0,0),(0,2,0),(0,2,0),ABC ……………………………………6 分
R t A O B 中， 221AOABBO ， 1Rt AAO 中， 22
11 2AOAAAO ，
1 (0 ,0 ,2 )A ，∴ 1 ( 1 ,0 ,2 )AA ， 1 (0 , 2 , 2 )AC ， 11 (1,2,0)A BAB ，………7 分
设平面 11A B C 的法向量是 ( , , )x y zn ,
由
1
0,
0,
AB
AC
n
n
得
2 0,
2 2 0,
xy
yz
即
2,
,
xy
zy
，可取 (2,1, 1)n ,………………9 分
设直线 1AA 与平面 11A B C 所成角为 ，则 [0 , ]2
，
1
1
1
42sincos,30 1556
AA
AA
AA
n
n
n
,…………………………11 分
∵ ，∴ 2 105cos1sin 15 ，
即直线 与平面 所成角的余弦值为 105
15
.………………………………12 分
19. 解：（1）由已知，单只海产品质量 280,25N～ ，则 280 ， 5 ，…………1 分
由正态分布的对称性可知，
11126512652951331 0.9974 0.0013222PPP ，
…………………………………………………………………………………………………3 分
设购买 10 只该商家海产品，其中质量小于 2 6 5 g 的为 X 只，故 10,0.0013XB～ ，
故 1011011 0.00131 0.9871 0.0129P XP X ≥ ，
所以随机购买 10 只该商家的海产品，至少买到一只质量小于 265 克的概率为 0 . 0 1 2 9 .…6 分
（2）由 6.8t ， 563y ，
8
1
108.8ii
i
ttyy
，
8
2
1
( ) 1.6i
i
tt
，
有
8
1
8
2
1
108.ˆ 8
1. 86 6
ii
i
i
i
t t y y
b
tt
，……………………………………………………8 分
且 ˆˆ 563 68 6.8 100.6a y bt ，………………………………………………………9 分
所以 y 关于 x 的回归方程为 ˆ 100.6 68yx，…………………………………………10 分 漳州市 2020 届高三毕业班高考适应性测试理科数学答案第 7 页（共 10 页）
当 49x 时，年销售量 y 的预报值 ˆ 100.66849576.6y 千元.
所以预测先进养殖技术投入为 49 千元时的年收益增量为 5 7 6 . 6 千元. …………………12 分
20. 解：（1）因为 E B E D
A C A D ，又因为 4A C A D，所以 E B E D ，……………1 分
所以 42EBEAEDEAADAB ，……………………………………………2 分
所以 E 的轨迹是焦点为 A ， B ，长轴为 4 的椭圆的一部分，
设椭圆方程为
22
221( 0)xy ab
ab
，
则 24a ， 22c ，所以 2 4a ， 2 2 2 3b a c ，
所以椭圆方程为
22
143
xy，…………………………………………………………………3 分
又因为点 E 不在 x 轴上，所以 0y ，
所以点 E 的轨迹 的方程为
22
1(0)43
xy y .………………………………………………4分
（2）因为直线 HG 斜率不为 0，设为 1x t y，……………………………………5 分
设 11,Gxy ， 22,Hxy ，联立 22
1,
143
xty
xy
整理得 2234690tyty ，
所以 222=3636(34)144(1)0ttt ， 12 2
6
34
tyy
t
， 12 2
9
34
yy
t
，…………6 分
所以
2
12 2
161
2 34OHG
tSOA yy
t
△ ，………………………………………………………8 分
∵ 2MNOM ，∴ 2GHNOHGSS△ △ ，
设四边形 O H N G 的面积为 S ，
则
2
2
8
34
3 11
OHGGHNOHG
tSSSS
t
△ △ △ 2 2
22
18 18
13431
11
t t
tt
……………10 分
令 2 1(1)tm m ≥ ，
再令 13ymm，则 在 1, 单调递增，
所以 1m 时， min 4y ，
此时 0t ， 2
2
131
1
t
t
取得最小值 4 ，所以 max
9
2S .……………………………12 分 漳州市 2020 届高三毕业班高考适应性测试理科数学答案第 8 页（共 10 页）
21．解：（ 1）因为 11() axfx+a= xx
，………………………………………………1 分
当 0a≥ 时， ( ) 0fx ， ()fx在 0, 单调递增，至多只有一个零点，不符合题意，舍
去；………………………………………………………………………………………………2 分
当 0a< 时，若 10 x a ，则 ；若 1x a ，则 ( ) 0fx ，
所以 ()fx在 10, a
单调递增，在 1 ,a
单调递减，………………………………3 分
所以 max
11( ) ( ) ln( )f x f aa ，
因为 ()fx有两个零点，所以必须 max( ) 0fx ，则 1l n ( ) 0a，
所以 1 1a，解得 10a .
又因为 0x 时， ( ) 0fx ； x 时， ，
所以当 时， 在 和 各有一个零点，符合题意，
综上， .……………………………………………………………………………4 分
（2）由（1）知 ，且 0
1x a ，
因为 的两个零点为 12,xx，所以 1
2
()0,
()0,
fx
fx
所以 11
22
ln10,
ln10,
xax
xax
…………………………………………………………………………………………………5 分
解得 1
12
2
ln()0x axxx ，令 12,xx 所以
1
2
12
ln x
xa xx
，……………………………6 分
令函数 ()ln xhxx e，则 11()hx xe
，
当 0ex时， ()0hx ；当 ex 时， ()0hx ；
所以 ()hx在 0,e 单调递增，在 e, 单调递减，
所以 max()(e)0h xh ，所以 ()0hx≤ ，所以ln xx e
≤ ，………………………………8 分
因为 0
11( ) ( ) ln( )f x f aa ，又因为 1 1a，所以 11ln( )a ea≤ ， 漳州市 2020 届高三毕业班高考适应性测试理科数学答案第 9 页（共 10 页）
所以 122 l n ( )e aa≤ ，即 0
22 ( )ef x a≤ ，
要证 120 2 ( )x x e f x ，只需 12
2xx a≥ ，………………………………………………9 分
即证 12
12
1
2
2()
ln
xxxx x
x
≥ ，即证 1 1 2
2 1 2
2( )ln x x x
x x x
≥ ，
即证
1
1 2
12
2
2( 1 )
ln
1
x
x x
xx
x
≥ ………………………………………………………………………10 分
令 12xx ，再令 1
2
( 1 )xttx，即证 2 ( 1 )ln 1
tt t
≥ ，
令 2( 1)( ) ln ( 1)1
th t t tt
，则
2
22
114( ) 0
11
tht t t t t
，………………………………………………………11 分
所以 ()ht 在 ( 1 , )+ 单调递增，所以 ()(1)0hth ，
所以 2(1)ln 1
tt t
，原题得证. ……………………………………………………………12 分
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做
第一个题目计分。
22．解：（1）因为曲线 C1 的参数方程为
,sin
,cos
y
x
所以曲线 C1 的普通方程为 122 yx ， ························································· 2 分
将变换 T：
,'
,2'
yy
xx 即
,'
,'2
1
yy
xx 代入 ，得 1'4
' 2
2
yx ， ··················· 4 分
所以曲线 C2 的普通方程为 14
2
2
yx ． ·························································· 5 分
（2）因为 m>1，所以 C3 上的点 A（0,-m）在椭圆 E： 外． ·················· 6 分
当 x>0 时，曲线 E 的方程化为 mmxy ，
代入 ，得 0)1(48)14( 2222 mxmxm ，（ *） 漳州市 2020 届高三毕业班高考适应性测试理科数学答案第 10 页（共 10 页）
因为 )1(4)14(464 224 mmm 0)13(16 2 m ，
所以方程（*）有两个不相等的实根 x1，x2，
又 014
8
2
2
21 m
mxx ， 014
)1(4
2
2
21
m
mxx ，所以 x1>0，x2>0，
所以当 x>0 时，曲线 C2 与曲线 C3 有且只有两个不同的公共点， ····························· 8 分
又因为曲线 C2 与曲线 C3 都关于 y 轴对称，
所以当 x
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