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数学参考答案 第 1 页（共 6 页） 2020 年北京市高考适应性测试 数学参考答案 一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分） （ 1 ）B （ 2 ）C （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A （ 6 ）D （ 7 ）B （ 8 ）C （ 9 ）A （10）D 二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分） （11） 1 （12） 2 （13） 1 （14） 3 4 15 7 4 （15）①③ 注：第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 分，其他 得 3 分。 三、解答题（共 6 题，共 85 分） （16）（共 14 分） 解：（Ⅰ）因为 ,MN分别为 ,AD PD 的中点， 所以 //PA MN ． 又因为 PA  平面 MNC ， 所以 //PA 平面 MNC ． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系 D xyz ．设 2AD  ， 则 (2, 2, 0)B ， (0, 2, 0)C ， (0, 0, 4)P ， (1, 0, 0)M ， (0, 0, 2)N ， (2, 2, 4)PB ， (0, 2, 2)NC ， ( 1, 0, 2)MN  ． 设平面 MNC 的法向量为 ( , , )n x y z ，则 0, 0, MN NC       n n 即 2 0, 2 2 0. xz yz      令 1z  ，则 2x  ， 1y  ．所以 (2,1,1)n ． 0 D z y C B A P N M x 数学参考答案 第 2 页（共 6 页） 设直线 PB 与平面 MNC 所成角为 ， 所以 | | 1sin | cos , | 6| || | PBPB PB         nn n ． （17）（共 14 分） 解 1：选择① 因为 3 12a  ，所以 1 3a  ． 所以 3(1 2 ) 3(2 1)12 n n nS    ． 令 2020kS  ， 即 20232 3 k  ． 所以使得 2020kS  的正整数 k 的最小值为10 ． 解 2：选择② 因为 ，所以 1 48a  ， 148 (1 ) 12 96(1 )1 21 2 n n nS      ． 因为 96 2020nS  ， 所以不存在满足条件的正整数 k . 解 3：选择③ 因为 3 12a  ，所以 1 3a  ， 所以 3 (1 ( 2) ) 1 ( 2)1 ( 2) n n nS       ． 令 2020kS  , 即1 ( 2) 2020k   ，整理得 ( 2) 2019k   ． 当 k 为偶数时，原不等式无解； 当 为奇数时，原不等式等价于 2 2019k  ， 所以使得 2020kS  的正整数 的最小值为11． 数学参考答案 第 3 页（共 6 页） （18）（共 14 分） 解：设事件 iA 为“甲是 A 组的第i 株植物”， 事件 iB 为“乙是 B 组的第i 株植物”， 事件 iC 为“丙是 C 组的第 株植物”， 1, 2, , 7i  ． 由题意可知 1( ) ( ) ( ) 7i i iP A P B P C   ， 1, 2, , 7i  ． （Ⅰ）设事件 D 为“丙的高度小于15 厘米”，由题意知， 12D C C ，又 1C 与 2C 互斥， 所以事件 的概率 1 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 7P D P C C P C P C    ． （Ⅱ）设事件 E 为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知， 4 1 5 1 6 1 7 1 5 2 6 2 7 2 6 3 7 3 7 4E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ． 所以事件 E 的概率 4 1 5 1 6 1 7 1 5 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P E P A B P A B P A B P A B P A B     6 2 7 2 6 3 7 3 7 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A B P A B P A B     4110 ( )P A B 4110 ( ) ( )P A P B 10 49 ． （Ⅲ） 0  1 ． （19）（共 15 分） 解：（Ⅰ）因为 21( ) e ( 1) e2 xaf x x x   ，所以 ( ) e exaf x x x ． 所以 (0) 1f  ， (0) 0f   ． 所以曲线 ()y f x 在点(0, (0))f 处的切线为 1y  ． （Ⅱ）因为 ( ) e e (e e )x a x af x x x x     ， 令 ( ) 0fx  ，得 0x  或 a ( 0)a  ． 数学参考答案 第 4 页（共 6 页） ()fx与 ()fx 在 R 上的变化情况如下： x ( , )a a ( , 0)a 0 (0, ) ()fx    ()fx ↗ ↘ ↗ 由上表可知，当 0x  时， ()fx有极小值 (0) 1f  ． （Ⅲ）当 1x ≤ 时， ( ) 0fx ，且 22(2) e 2e >e 2 0af     ． 由（Ⅱ）可知， 在(0, ) 上单调递增， 所以函数 的零点个数为1． （20）（共 14 分） 解：（ Ⅰ）由题设，得 1, 3. b c   所以 2 2 2 4a b c   ，即 2a  ． 故椭圆C 的方程为 2 2 14 x y． （Ⅱ）设 1( , )M x m ，则 1( , )N x m ， 1 0x  ， 11m   ． 所以直线 BM 的斜率为 11 ( 1) 1 0 mm xx    ． 因为直线 BD ， BM 的斜率的积为 1 4 ， 所以直线 BD 的斜率为 1 4( 1) x m  ． 直线 AN 的方程为 1 1 1myxx ． 直线 BD 的方程为 1 14( 1) xyxm   ． 联立 1 1 1 1, 1,4( 1) myxx xyxm        数学参考答案 第 5 页（共 6 页） 解得点 D 的纵坐标为 22 1 22 1 1 14 1 14 D xm y xm        ． 因为点 M 在椭圆C 上，所以 2 21 14 x m， 则 0Dy  ． 所以点 D 在 x 轴上． （21）（共 14 分） 解：（Ⅰ） 1 12 15A   ． （Ⅱ） 0 13 36A   经 S 变换后得 13 36   ， 故 0( ) 1 3 3 6 5STA      ． （Ⅲ）若 11 12aa ，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有 11a 且不含 12a 的子集共 42 个，经过变换后第一行均变为 11 12,aa；含有 且不含 的子集共 42 个，经 过变换后第一行均变为 11 12,aa；同时含有 和 12a 的子集共 42 个，经过变换 后第一行仍为 11 12,aa；不含 也不含 的子集共 421 个，经过变换后第一行 仍为 11 12,aa． 所以经过变换后所有 lA 的第一行的所有数的和为 4 4 4 4 11 12 11 12 11 12 11 122 ( ) 2 ( ) 2 ( ) (2 1) ( )a a a a a a a a              11 12aa   ． 若 11 12aa ，则 的所有非空子集中，含有 的子集共 52 个，经过 变换后第一行均变为 ；不含有 的子集共 521 个，经过变换后第一行 仍为 ． 数学参考答案 第 6 页（共 6 页） 所以经过变换后所有 lA 的第一行的所有数的和为 55 11 12 11 122 ( ) (2 1) ( )a a a a       11 12aa   ． 同理，经过变换后所有 的第二行的所有数的和为 21 22aa． 所以 0()STA的所有可能取值的和为 11 12 21 22a a a a    ， 又因为 11 12 21 22, , , {1,2, ,6}a a a a  ， 所以 的所有可能取值的和不超过 4 ．