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2019-2020 学年度新余一中高二 4 月段考数学试卷
考试时间：120 分钟 命题人：聂生庚
第 I 卷（选择题)
一、单选题
1．已知i 是虚数单位， a ， b R ，则“ 1a b ”是“ 2( i) 2ia b ”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若 2 2cos sin2 2
x xf x ，则 f x （ ）
A． sin x B．sin x C． cosx D． cos x
3．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
( 7,0)
F ，直线 1y x 与其相交于 M ，N 两点，若 MN 中
点的横坐标为 2
3
，则此双曲线的方程是
A．
2 2
13 4
x y B．
2 2
14 3
x y C．
2 2
15 2
x y D．
2 2
12 5
x y
4．要得到函数 ( ) sin(3 )3f x x 的导函数 ( )f x 的图像，只需将 ( )f x 的图像（ ）
A．向右平移
3
个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍
B．向右平移
6
个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 1
3
倍
C．向左平移
3
个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 1
3
倍
D．向左平移
6
个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍
5．函数 ( )f x 在定义域 R 内的导函数为 ( )f x ，若 4( ) ( ), ( 2), (1)f x f x a e f b ef ， (2)c f ，
A． a c b B．b a c C． a b c D． c b a
6．函数 3 2f x mx x 在 1,4 上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A． 2
3m B． 0m C． 2
3m D． 1
24m
7．已知函数 2( ) ln( 1)f x m x x mx 在 (1, ) 上不单调，则 m 的取值范围是（ ）
A． (4, ) B． ( ,4] C． ( ,0) D． (0, )
8．函数 ( )
xef x x
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．过抛物线 2 4y x 上的焦点 F ，作直线l 与抛物线交于 A ， B 两点，已知 3
2AF ，则 BF （ ）
A．2 B．3 C． 1
3 D． 1
2
10．双曲线 E ：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F 作一条直线与两条渐近线分别相
交于 ,A B 两点，若 1 12F B F A ， 1 2 2F F OB ，则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D．3
11．设经过点 (3,1)M 的等轴双曲线的焦点为 1F ， 2F ，此双曲线上一点 N 满足 1 2NF NF ，则 1 2NF F△ 的
面积为（ ）
A． 4 B．8 C．12 D．16
12．在棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 M 在底面 ABCD 内运动，使得△ 1ACM 的面积为 1
3
，
则动点 M 的轨迹为（ ）
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．一段圆弧 D．一条线段试卷第 2页，总 2页
第 II 卷（非选择题)
二、填空题
13．点 0P 是曲线 3lny x x k （ k R ）图象上的一个定点，过点 0P 的切线方程为 4 1 0x y ，
则实数 k 的值为______.
14．下列说法中正确的序号是__________．
①若 2 1 3x i y y i ，其中 x R ， Cy C R ，则必有
2
2 1
{
1 3 y
x y
② 2 1i i
③虚数上的点表示的数都是纯虚数
④若一个数是实数，则其虚部不存在
⑤若 1z i
，则 3 1z 对应的点在复平面内的第一象限．
15．已知函数 2xf x e x a 的极小值点为 1
2x ，则 f x 的图像上的点到直线 3 0x y 的
最短距离为______.
16．点 P 在双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的右支上，其左、右焦点分别为 1F 、 2F ，直线 1PF 与
以坐标原点O为圆心、a 为半径的圆相切于点 A ，线段 1PF 的垂直平分线恰好过点 2F ，则该双
曲线的渐近线的斜率为__________．
三、解答题
17．已知函数 1f x x a x .
（1）当 2a 时，求不等式 8f x x 的解集；
（2）若关于 x 的不等式 5f x x 的解集包含 0,2 ，求实数 a 的取值范围
18．如图，设 P 是圆 2 2 25x y 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影， M 为 PD 上一点，且
4| | | |5MD PD .
（1）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹C 的方程；
（2）求过点 (3,0) 且斜率为 4
5
的直线被C 所截线段的长度.
19．已知函数 f（x）＝lnx+ax2+ax．
（1）若曲线 y＝f（x）在点 P（1，f（1））处的切线与直线 y＝4x+1 平行，求实数 a 的值；
（2）若 1
4a 时，关于 x 的方程 7
4f x x b 在（0，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值
范围．
20．过函数 22y x 的图象C 上一点 1,2M 作倾斜角互补的两条直线，分别与C 交与异于 M 的 A ，B 两
点.
（1）求证：直线 AB 的斜率为定值；
（2）如果 A ， B 两点的横坐标均不大于 0，求 MAB 面积的最大值.
21．如图，已知 1 2,F F 是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右焦点，椭圆的短轴长为 2 3 ，点 P 是椭
圆C 上的一点，过点 P 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点Q （ PQ 不过点 F ），且 1F PQ 的周长的最大值
为 8.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若 PQ 过焦点 2F ，在椭圆上取两点 ,A B ，连接 ,PA PB ，
与 x 轴的交点分别为 ,M N ，过点Q 作椭圆的切线 l ，当四边形
PMQN 为菱形时，证明：直线 / /AB l .
22．已知：函数 21( ) ( 1)2f x x ax ln x ，其中 a R ．
（Ⅰ）若 2x 是 ( )f x 的极值点，求 a 的值；
（Ⅱ）求 ( )f x 的单调区间；
（Ⅲ）若 ( )f x 在 0, 上的最大值是 0 ，求 a 的取值范围．
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