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宁波“十校” 数学试题卷 第 1 页 共 4 页 绝密★考试结束前 宁波“十校”2020 届高三 3 月联考 数学试题卷 考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答 题纸规定的地方。 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试 卷纸上答题一律无效。 4．考试结束后，只需上交答题卷。 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 柱体的体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) V Sh= 如果事件 A，B 相互独立，那么 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P(A·B)=P(A)·P(B) 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 1 3 V Sh= 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 Pn(k)= Ck n pk(1－p)n-k(k=0,1,2,…，n) 球的表面积公式 台体的体积公式 S=4πR2 V= 1 1 2 2 1 () 3 h S S S S++ 球的体积公式 其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积， 34= 3VR h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1．已知集合 { | 1 1}P x x= −   ，  | 0 2Q x x=   ，那么 PQ= A．( )1,2 B．( )0,1 C．( )1,0− D．( )1,2− 2．双曲线 22 194 xy−=离心率是 A． 13 3 B． 5 3 C． 2 3 D． 5 9 3．若 ,xy满足约束条件 0 26 2 xy xy xy −  +  + ，则 3z x y=+ 的最小值是 A． 4− B． 2− C．2 D．4 宁波“十校” 数学试题卷 第 2 页 共 4 页 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是 A． 34 3 cm B． 32cm C． 38 3 cm D． 34cm 5．函数 2() ( ) 2 xb afx − = 的图像如图所示，则 A． 0,0 1ab   B． 0, 1 0ab −   C． 0, 1 0ab −   D． 0,0 1ab   6．设 aR ，则“ 2a =− ”是“关于 x 的方程 2 10x ax+ + = 和 2 0x x a+ + = 有公共实数根”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− ， P 是线段 1BD （不含端点）上的点.记直线 PC 与直线 AB 所成角 为 ，直线 与平面 ABC 所成角为  ，二面角 P BC A−−的平面角为 ，则 A．    B．   C．   D．   8．已知随机变量的分布列如下（ 10 2a）：  0 1 2 P ba− b a 则 A． ()E  有最小值 1 2 B． ()E  有最大值 3 2 C． ()D  有最小值 0 D． )(D 有最大值 1 2 9．从 1,3,5,7 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的四位数，这样 的四位数一共有（ ）个 A．576 B．1296 C．1632 D．2020 10．数列{}na 满足 1 2a = ， 2 1 1,n n na a a n N + + = − +  ，则 A．存在 kN+ ，使 2122kk ka−− B．存在 ,m k N + ，有 mka ka= C．存在 ,m k N + ，有 mka ma= D． 12 1 1 1 1 na a a+ + +  2 2 正视图 2 侧视图 1 1 2 俯视图 第 4 题图 x y 1 O 1 第 5 题图 宁波“十校” 数学试题卷 第 3 页 共 4 页 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，单空题每小题 4 分，多空题每小题 6 分，共 36 分． 11．欧拉公式 xixeix sincos += （i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数 函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重 要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， =ie 2020 ▲ . 12． 4( 2)( 1)xx++的展开式中项 3x 的系数为 ▲ . 13．在四边形 ABCD 中， 1, 2, 3, 4AB BC CD AD= = = = ，且 120ABC=，则 AC = ▲ ， cos BCD = ▲ . 14．已知直线 : ( 1)( 0)l y k x k= +  ，椭圆 22 :143 xyC +=，点 ( )1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交 点 ,AB，则 ABF 的周长是 ▲ ， ABF 的重心纵坐标．．．的最大值是 ▲ ． 15．函数 ( ) 1 2 1f x x x= − − + 的值域为 ▲ ；若函数 ( ) ( )g x f x a=−的两个不同零点 12,xx， 满足 122 10xx −  ，则实数 a 的取值范围是 ▲ ． 16．已知双曲线 22 1 :1C x y−=，曲线 22 2 : xyC x yyx+ = − ，则曲线 12,CC的交点个数是 ▲ 个， 原点O 与曲线 2C 上的点之间的距离最小值是 ▲ . 17．设向量 ),(),,( 2211 yxbyxa == ，记 2121 yyxxba −= .若圆 042: 22 =+−+ yxyxC 上的 任意三个点 321 AAA 、、 ，且 3221 AAAA ⊥ ，则 || 3221 OAOAOAOA + 的最大值是 ▲ . 三、解答题 18．（本题满分 14 分）设函数 ( ) sin cosf x x x=+， xR ． （Ⅰ）已知  0,2 ，函数 ( )fx+ 是奇函数，则 的值； （Ⅱ）若 ( ) 2 2f  = ，求 3f + . 19．（本题满分 15 分）如图，三棱锥 P ABC− 中， PAC 是正三角形， ABC 是直角三角形， 点 D 是 PB 的中点，且 APB CPB =  ， 2PA PB= . （Ⅰ）求证： PB AC⊥ ; （Ⅱ）求 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值. D A B C P宁波“十校” 数学试题卷 第 4 页 共 4 页 20．（本题满分 15 分）设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 4 3 24,a a S==.数列 nb 的前 项和为 nT ， 1nnTb+=， nN . （Ⅰ）求数列 na ， 的通项公式； （Ⅱ）记 1 , , nn n n ac bn  =   为奇数 为偶数 ，数列 nc 的前 项和为 nW ，证明： 1 3nWn+. 21．（本题满分 15 分）已知点 (0, ), 0A a a  ，抛物线 2 2 ( 0)x py p=上点 B 处的切线交 x 轴于 点 P ，且直线 AB 交抛物线于另一点C ，过点C 作 AP 的平行线交 轴于点Q . （Ⅰ）证明： //AQ BP ； （Ⅱ）记直线 ,BP CQ 与 x 轴围成的三角形面积为 1S ， BOC 的面积为 2S ，是否存在实数  ， 使 12SS= ？若存在，求实数  的值，若不存在，请说明理由. 22．（本题满分 15 分）已知函数 ( ) 21(1 ) 2 xf x x e x−= + − ，其中 2.71828e  为自然对数的底. （Ⅰ）试求函数 ()fx的单调区间； （Ⅱ）若函数 ( ) 2 1 2 xegx x x a += ++ 的定义域为 R ，且存在极小值b . ①求实数 a 的取值范围； ②证明： 13 25be .（参考数据： 65.164.1  e ） 命题：象山中学 祝益锋 审题：北仑中学 吴文尧 宁海中学 赖庆龙