数学试题（文史类）参考答案.pdf

第 1 页 共 5 页 绵阳南山中学 2020 年绵阳三诊模拟考试数学试题（文史类） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B A D D B C B C A B A A 13．77， 14． 6  ， 15．2， 16．108 6.解：若 a，b，c 两两所成角相等，则所成角为 0°或 120°， 当它们两两所成角为 0°时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝1＋1＋3＝5； 当它们两两所成角是 120°时，则 a·b＝1×1×cos120°＝－1 2，同理 a·c＝－3 2，b·c＝－3 2， ∴|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋9－1－3－3＝4.∴|a＋b＋c|＝2.故选 C. 9.解析：选 A 在区间[0,2]中随机取两个数，构成的区域如图中大正方形，又“这两个数中 较大的数大于2 3”为“这两个数都小于或等于2 3”的对立事件，且在 区间[0,2]中随机取两个数，这两个数都小于2 3所构成的平面区域 的面积为2 3×2 3＝4 9，故两个数中较大的数大于2 3的概率P＝1－ 4 9 4＝8 9. 11.【答案】A [∵直线 y＝ 3x 与 y＝－ 3x 的夹角为 60°，且 3x2－y2>0，∴PA 与 PB 的夹 角为 120°，|PA||PB|＝| 3x－y| 2 ·| 3x＋y| 2 ＝3x2－y2 4 ，S△ PAB＝1 2|PA||PB|·sin 120°＝ 3 16(3x2－y2)＝ 3 3 16 ，即 P 点的轨迹方程为 x2－y2 3＝1，半焦距为 c＝2，∴焦点坐标可以为(2,0)．] 12 答案：A 解析：   2 2 2xg x ln x   ，  0 2 0g ln   ，  1 2 2 2 0g ln    ，  gx 在 (0,1) 上有零点，又   2[ 22] 20xg x ln      在[0,1] 上成立，  gx 在(0,1) 上有唯一零点，设为 0x ，则当 0()0,xx 时，   0gx，当 0( , )1xx 时，   0gx，  gx 在 1[]0,x 上有最大值 0()2gx  ，又    0 1 1gg，   01,[ ( )]g x g x ， 令   01,[ ( )]t g x g x ，要使   0f g x  对 1[]0,x 恒成立，则   0ft 对 0[]1, ()t g x 恒成立，即 2 30t t a    对 0[]1, ()t g x 恒成立，分离 a ，得 2 3a t t   ， 函数 2 3tt的对称轴为 3 2t  ，又 0()2gx  ， 2( 2)3 mintt    ，则 2a  . 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中正确理解题意，合理利用二次第 2 页 共 5 页 函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算 能力，属于中档试题． 15.答案：2 解析：由题意知 F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得 最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4 时为最小 值，所以|AC|＋|BD|的最小值为 2. 16.【答案】108π [∵正三棱锥 P﹣ABC，PA，PB，PC 两两垂直，∴此正三棱锥的外接球 即以 PA，PB，PC 为三边的正方体的外接球 O，设球 O 的半径为 R，则正方体的边长为2 3R 3 ， ∵正三棱锥 P﹣ABC 的体积为 36，∴V＝1 3×S△ PAC×PB＝1 3×1 2×2 3R 3 ×2 3R 3 ×2 3R 3 ＝36， ∴R＝3 3，∴球 O 的表面积为 S＝4πR2＝108π.] 17. (1)证明 在图中，可得 AC＝BC＝2 2，从而 AC2＋BC2＝AB2，故 AC⊥BC， 又平面 ADC⊥平面 ABC，平面 ADC∩平面 ABC＝AC，BC⊂平面 ABC，∴BC⊥平面 ACD. (2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥 B •ACD 的高，BC＝2 2， S△ ACD＝2，∴VB•ACD＝1 3S△ ACD·BC＝1 3×2×2 2＝4 2 3 ，又 S△ BCD＝2 2， 由等体积性可知，h=2.(也可以先证明 AD⊥平面 BCD,AD 就是所求高) 18.解：(1)依题意， x ＝6， y ＝4，b^＝ 241－8×6×4 356－8×62 ＝49 68，∴a^＝4－49 68×6＝－11 34， ∴y 关于 x 的线性回归方程为y^＝49 68x－11 34. (2)由题意知，该商品进货量不超过 6 吨的有 2,3,4,5,6 共有 5 个，任取2 个有(2,3)，(2,4)，(2,5)， (2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共 10 种情况，故该商品进货量恰有一次不超 过 3 吨的有(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共 6 种情况， 故该商品进货量恰有一次不超过 3 吨的概率 P＝6 10＝3 5. 19.【答案】解 (1)由 24 2 3n n nS a a   得： 2 1 1 14 2 3, 2n n nS a a n      ， 两式相减整理得： 1 2, 2nna a n   ，又由已知可得： 1 3a  于是，{an}是以 为首项，2 为公差的等差数列.an＝2n＋1，n∈N*. (2)由 bn＝ 1 n＋ n＋ ＝1 2   1 2n＋1－ 1 2n＋3 ， 得 Tn ＝ b1 ＋ b2 ＋ b3 ＋ … ＋ bn ＝ 1 2    1 3－1 5＋1 5－1 7＋…＋ 1 2n＋1－ 1 2n＋3 ＝ 1 2    1 3－ 1 2n＋3 ＝ n n＋ ，由 n n＋ ＜ 2 15，解得 n＜6.故所求的最大正整数 n 为 5. 第 3 页 共 5 页 20.解：(1)设 AF1 的中点为 M，连接 OM，AF2(O 为坐标原点)，在△ AF1F2 中，O 为 F1F2 的 中点，所以|OM|＝1 2|AF2|＝1 2(2a－|AF1|)＝a－1 2|AF1|. 由题意得|OM|＝3－1 2|AF1|，所以 a＝3，故椭圆的长轴长为 6. (2)由 b＝1，c a＝2 2 3 ，a2＝b2＋c2, 得 c＝2 2，a＝3，所以椭圆 C 的方程为x2 9＋y2＝1. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋2 2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由   x2＋9y2＝9， y＝k x＋2 2 消去 y，得(9k2＋1)x2＋36 2k2x＋72k2－9＝0，Δ＞0 恒成立． 则 x1＋x2＝－36 2k2 9k2＋1 ，x1x2＝ 72k2－9 9k2＋1 ，y1y2＝k2(x1＋2 2)(x2＋2 2)＝ －k2 9k2＋1 . 设 T(x0,0)，则 TA―→·TB―→＝x1x2－(x1＋x2)x0＋x2 0＋y1y2＝ x2 0＋36 2x0＋ k2＋x2 0－9 9k2＋1 ， 当 9x2 0＋36 2x0＋71＝9(x2 0－9)，即 x0＝－19 2 9 时， TA―→·TB―→为定值，定值为 x2 0－9＝－ 7 81. 当直线 AB 的斜率不存在时，不妨设 A －2 2，1 3 ，B －2 2，－1 3 ， 当 T   －19 2 9 ，0 时， TA―→·TB―→＝   2 9 ，1 3 ·   2 9 ，－1 3 ＝－ 7 81. 综上，在 x 轴上存在定点 T   －19 2 9 ，0 ，使得 TA―→·TB―→为定值－ 7 81． 21.（1） 21 2 (1 2 ) 1( ) 2 (1 2 ) ax a xf x ax a xx         (2 1)( 1)ax x x  ， 当 0a  时，由 ( ) 0fx  ，得 1 1 2x a ， 2 1x  ， ①当 1 2a >1，即 1 02 a   时， ()fx在 (0,1) 上是减函数， 所以 ()fx在 1[ ,1]2 上的最小值为 (1) 1fa ． …………………2 分 ②当 11122a≤ ≤ ，即 11 2a≤ ≤ 时， ()fx在 11[ , ]22a 上是减函数，在 1[ ,1]2a 上是增函数， 所以 ()fx的最小值为 11( ) 1 ln( 2 )24faaa     ． ……………………4 分 第 4 页 共 5 页 ③当 11 22a，即 1a  时， ()fx在 1[ ,1]2 上是增函数， 所以 ()fx的最小值为 1 1 3( ) ln 22 2 4fa   ． 综上， ()fx在区间 上的最小值 min()fx  13 ln 2, 1,24 111 ln( 2 ), 1 ,42 11 , 0.2 aa aaa aa                  ≤ ≤ ……6 分 （2）设 00( , )M x y ，则点 N 的横坐标为 12 0 2 xxx  ， 直线 AB 的斜率 2212 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ( ) (1 2 )( ) ln lnyyk a x x a x x x xx x x x          = 21 12 12 ln ln( ) (1 2 ) xxa x x a xx      ， 曲线 C 在点 N 处的切线斜率 20()k f x 0 0 12 (1 2 )ax a x    12 12 2( ) (1 2 )a x x a xx      ， 假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB，则 12kk ， 即 21 1 2 1 2 ln ln 2=xx x x x x   ， ………………………………9 分 所以 2 2 2 1 1 21 1 2 1 2( 1)2( )ln 1 x x x x x xx x x x   ，不妨设 12xx ， 2 1 1x tx ，则 2( 1)ln 1 tt t   ， 令 2( 1)( ) ln ( 1)1 tg t t tt    ， 2 22 1 4 ( 1)( ) 0(1+t) (1 ) tgt t t t      ， 所以 ()gt 在 (1,+ ) 上是增函数，又 (1) 0g  ，所以 ( ) 0gt  ，即 2( 1)ln 1 tt t   不成立， 所以曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB． …………………………12 分 22.[解] (1)由   x＝－5＋ 2cos t， y＝3＋ 2sin t 消去参数 t，得(x＋5)2＋(y－3) 2＝2， 所以圆 C 的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2. 由 2 2 ρcos θ＋π 4 ＝－1，得 ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋2＝0. (2)直线 l 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A(－2,0)，B(0,2)， 第 5 页 共 5 页 设点 P 的坐标为(－5＋ 2cos α，3＋ 2sin α)， 则点 P 到直线 l 的距离 d＝ |－5＋ 2cos α－3－ 2sin α＋2| 2 ＝ －6＋2cos α＋π 4 2 ， 当 cos α＋π 4 ＝-1，即 α＋π 4＝2kπ+π(k∈Z)时，点 P 到直线 l 的距离取得最大值， 所以 dmax＝4 2，又|AB|＝2 2， 所以△ PAB 面积的最小值 S＝1 2×dmax×|AB|＝1 2×4 2×2 2＝8. 23.解：(1)因为 f(x)≤3－f(x－1)， 所以|x－1|≤3－|x－2|⇔|x－1|＋|x－2|≤3⇔   x2， 2x－3≤3， 解得 0≤x