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河北武邑中学 2019—2020 学年高三年级下学期第二次质检考试
数学试题（文科） 命题人：刘玉芬
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和 II 卷（非选择题）两部分，满分150 分，考试时间120 分钟。
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一. 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符
合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。
1.已知集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{y|y＝2x+3}，则 A∪B＝（ ）
A．[3，4） B．（﹣1，+∞） C．（3，4） D．（3，+∞）
2.已知复数 z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若 是实数，则实数 b 的值为（ ）
A．0 B．﹣6 C．6 D．
3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资
源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，
在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个
等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A. B. C. D.
4.设 1tan 2
， 4cos(π ) ( (0,π))5
，则 tan(2 ) 的值为（ ）
A． 7
24
B． 5
24
C． 5
24
D． 7
24
5.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传
统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.第 2 页 共 6 页
已知该数列前 10 项是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式
为（ ） A.
2
2
n n
B.
2 1
2
n
C.
21
2
n
D.
2
2
n
6．椭圆
2 2
39 1x y 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，点 P 在椭圆上，如果 1PF 的中点在 y 轴上，那么 1PF
是 2PF 的（ ）A．7 倍B．6 倍 C．5 倍 D．4 倍
7.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为 4 的正方形，其侧
视图中的曲线为 1
4
圆周，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．函数 ( ) 2 1
x xf x x
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9.已知函数
20,0,0 A 与 轴交于点
2
3,0M ，距离 轴最近的
最高点
3,9
N ，若 ，且 ，恒有 ，则实数 的最大值为（ ）
A．
3
B．
6
C．
9
D．
9
2
10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着
一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边第 3 页 共 6 页
饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 x2+y2≤1，
若将军从点 A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为 x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区
域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． 117 B． 217 C． 17 D． 23
11.如图， 为 的外心， 为钝角， 是边 的中点，
则 的值为（ ）A. 4 B. C. D.
12．已知定义在 R 上的函数 y f x 对任意 x 都满足 1f x f x ，且当
0 1x 时， f x x ，则函数 ln | |g x f x x 的零点个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应位置。
13. 若 ,x y 满足约束条件
2 2 0
3 3 0
0
x y
x y
x
，则 z x y 的最小值为______.
14.利用随机模拟方法计算 4y 和 2y x= 所围成图形的面积.首先利用计算机产生两组 0~1 区间的均
匀随机数， 1a RAND ， RANDb 1 ，然后进行平移和伸缩变换， 11 4,5.04 bbaa ，若共产
生了 N 个样本点 ( , )a b ，其中落在所围成图形内的样本点数为 1N ，则所围成图形的面积可估计为
__________.（结果用 N ， 1N 表示）
15．已知双曲线 C ：
2 2
2 2 1x y
a b
0, 0a b 的左右焦点分别为 1F ， 2F ，P 为双曲线 C 上一点，Q
为双曲线 C 渐近线上一点， P ，Q 均位于第一象限，且 22QP PF
， 1 2 0QF QF
，则双曲线
C 的离心率为__________．
16.点 P 为棱长是 3 的正方体 的内切球 O 球面上的动点，点 P 满足
则动点 P 的轨迹的长度为__________．
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 4 页 共 6 页
17．（本题满分 12 分）
为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了 A,B,C 三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分
别随机抽取了 1 个学生的 5 次考试成绩，其统计表如下：
A 类
第 x 次 1 2 3 4 5
分数 y（小于等于 150） 145 83 95 72 110
180,10
5
1
2
5
1
2
5
1
i
i
i
i
i
i yyxxxx ；
B 类
第 x 次 1 2 3 4 5
分数 y（小于等于 150） 85 93 90 76 101
60,10
5
1
2
5
1
2
5
1
i
i
i
i
i
i yyxxxx
C 类
第 x 次 1 2 3 4 5
分数 y（小于等于 150） 85 92 101 100 112
63,10
5
1
2
5
1
2
5
1
i
i
i
i
i
i yyxxxx
（1）经 计 算 已 知 A,B 的 相 关 系 数 r 分 别 为 ,25.0,45.0 21 rr 请 计 算 出 C 学 生 的
5,4,3,2,1, iyx ii 的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保
留三位有效数字， r 越大认为成绩越稳定）。
（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归方程为 axy ˆ2.6ˆ ，利用线性回归
方程预测该生第九次的成绩。
参考公式：（1）样本 ( )(, 1,2, , )i ix y i n 的相关系数 1
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
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（2）对于一组数据 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y ， ，( , )n nx y ，其回归方程 y b x a
的斜率和截距的最小
二乘估计分别为 1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
， a y b x
.
18．（本题满分 12 分）
已知等比数列 na 的公比 1q ，且 1 3 5 42a a a ， 3 9a 是 1 5,a a 的等差中项，数列 nb 的通项
公式
1
2
1 1
n
n
n n
b
a a
， *n N .
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）求数列 nb 的前 n 项和 nS .
19．如图，四边形 PCBM 是直角梯形， 90PCB ， //PM BC ， 1PM ， 2BC ，又 1AC ，
120ACB ， AB PC ，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°.
（1）求证： PC AC ；
（2）求点 B 到平面 ACM 的距离.第 6 页 共 6 页
20.（本题满分 12 分）
已知抛物线 2 2y x ，过点 (1,1)P 分别作斜率为 1k ， 2k 的抛物线的动弦 AB 、
CD ，设 M 、 N 分别为线段 AB 、CD 的中点．
（Ⅰ）若 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程；
（Ⅱ）若 1 2 1k k ，求证直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标．
21.（本题满分 12 分）
已知函数 ( ) xf x e x ．
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）若 1 2( ) ( )f x f x ， 1 2x x ，求证： 1 2 2x xe e ．
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用 2B 铅
笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．(本小题满分 10 分)选修 4 4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 cos
3 3sin
x
y
（ 为参数），以坐标原点O 为
极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2cos .
（1）求曲线 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 3C 的极坐标方程为 （ 0 ， R ），点 A 是曲线 3C 与 1C 的交点，点 B 是
曲线 3C 与 2C 的交点， A 、 B 均异于原点O ，且| | 2 2AB ，求实数 的值.
23．(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
已知函数 2 3f x x a x ， 2 3g x x ．
1 解不等式 6g x ；
2 若对任意的 2x R ，均存在 1x R ，使得 1 2g x f x 成立，求实数 a 的取值范围．
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