河北省武邑中学2020届高三年级下学期第二次质检考试数学（理）试题（PDF版）.pdf

高三下学期第二次质检考试理科数学 第 1 页 共 12 页 河北武邑中学 2019—2020 学年高三年级下学期第二次质检 考试数学试题（理科）答案 1.已知集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{y|y＝2x+3}，则 A∪B＝（ ） A．[3，4） B．（﹣1，+∞） C．（3，4） D．（3，+∞） 解：∵集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{y|y＝2x+3}＝{y|y＞3}， ∴A∪B＝{x|x＞﹣1}＝（﹣1，+∞）．故选：B． 2．已知复数 z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若 是实数，则实数 b 的值为（ ） A．6 B．﹣6 C．0 D． 解：∵ ＝ ＝ ＝ 是实数， 则 6﹣b＝0，∴实数 b 的值为 6， 故选：A． 3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资 源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响， 在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个 等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ） A. B. C. D. 解： 根据四个列联表中的等高条形图可知， 图中 D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选 D． 4．设 1tan 2   ， 4cos(π ) ( (0,π))5      ，则 tan(2 )  的值为（ ） A． 7 24  B． 5 24  C． 5 24 D． 7 24高三下学期第二次质检考试理科数学 第 2 页 共 12 页 解： 1tan 2   ， 2 2tan 4tan 2 1 tan 3    ， 4cos(π ) cos5       ， ( (0,π)  ， 4cos 5   ， 3sin 5   ， 3tan 4   ， 4 3 tan 2 tan 73 4tan(2 ) 4 31 tan 2 tan 241 3 4            选 D 5.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传 统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和. 已知该数列前 10 项是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式 为（ ）A. 2 2 n n B. 2 1 2 n  C. 21 2 n   D. 2 2 n 解：由题意 1 0a  ，排除 D， 3 4a  ，排除 A，C．同时 B 也满足 5 12a  ， 7 24a  ， 9 40a  ， 选：B． 6．如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为 4 的正方形，其 侧视图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 解：结合题意，绘制图像，如图所示 平面 DEF 的面积为 ，故该几何体的体积 ，选 B. 7.已知函数 f（x）的图象如图所示，则函数 f（x）的解析式可能是（ ） A．f（x）＝（4x+4﹣x）|x| B．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x| C．f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x| D．f（x）＝（4x+4﹣x） |x| 解：函数 f（x）的图象如图所示，函数是偶函数，x＝1 时，函数值为 0．高三下学期第二次质检考试理科数学 第 3 页 共 12 页 f（x）＝（4x+4﹣x）|x|是偶函数，但是 f（1）≠0， f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x|是奇函数，不满足题意． f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x|是偶函数，f（1）＝0 满足题意； f（x）＝（4x+4﹣x） |x|是偶函数，f（1）＝0，x∈（0，1）时，f（x）＞0，不满足题意． 则函数 f（x）的解析式可能是 f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x|．选：C． 8.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”。中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、 角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一 五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧， 可排成的不同音序有（ ） A.20 种 B.24 种 C.32 种 D.48 种 解：先排角、商、徽，可分三种情况： 9.已知函数 与 轴交于点 ，距离 轴最近的最大 值点 ，若 ，且 ，恒有 ，则实数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 解：由题意得， ， ， ， ，由五点作图法知 ，解得 ， ，令 ， . 解得 ， . ， ，选:C.高三下学期第二次质检考试理科数学 第 4 页 共 12 页 10.如图， 为 的外心， 为钝角， 是边 的中点，则 的值为（ ） A. 4 B. C. D. 11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，圆 与双曲线在第一 象限内的交点为 M，若 ．则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B．3 C． D． 解：根据题意可画出以上图像，过 点作 垂线并交 于点 ， 因为 ， 在双曲线上， 所以根据双曲线性质可知， ，即 ， ， 因为圆 的半径为 ， 是圆 的半径，所以 ， 因为 ， ， ， ， 所以 ，三角形 是直角三角形， 因为 ，所以 ， ，即 点纵坐标为 ， 将 点纵坐标带入圆的方程中可得 ，解得 ， ， 将 点坐标带入双曲线中可得 ，高三下学期第二次质检考试理科数学 第 5 页 共 12 页 化简得 ， ， ， ，选 D. 12. 已知定义在 上的函数 ，若函数 恰有 2 个零点，则实数 的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 解：由题意函数 恰有 2 个零点，即是方程 有两不等实根，即是两函数 与 有两不同交点，作出函数图象如下图， 易得当 时，有两交点，即函数 恰有 2 个零点．选 B 13.若 ,x y 满足约束条件 2 2 0 3 3 0 0 x y x y x          ，则 z x y  的最小值 为_____. 答案为：-2． 解：先作可行域，则直线 z x y  过点 (0,2)A 时取最小值 2 ， 14. 已知 *n N ，满足 ... 则  2 n x x y  的展开式中 5 2x y 的系 数为______. 解：由题意 ... 即 ，所以 5n  ． ∴  52x x y  的展开式中 5 2x y 的系数为 2 2 5 3 30C C  ．答案为：30． 15.四边形 中， ,当边 最短时，四边形 的面积为_____． 解：当 边最短时，就是 时，连接 ，应用余弦定理可以求得 ，并且可以求得高三下学期第二次质检考试理科数学 第 6 页 共 12 页 ，从而求得 ，从而求得 ，利用平方关系求得 ，从 而求得 ， ，所以四边形的面积 。 答案为 . 16.点 P 为棱长是3的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的内切球O 球面上的动点，点 P 满足 1BP AC ， 则动点 P 的轨迹的长度为 17.已知等比数列 na 的公比 1q  ，且 1 3 5 42a a a   ， 3 9a  是 1 5,a a 的等差中项，数列 nb 的 通项公式 1 2 1 1 n n n n b a a      ， *n N . （1）求数列 na 的通项公式； （2）求数列 nb 的前 n 项和 nS .高三下学期第二次质检考试理科数学 第 7 页 共 12 页 解：（1）由 3 9a  是 1a ， 5a 的等差中项得 1 5 32 18a a a   ， 所以 1 3 5a a a  33 18 42a   ，解得 3 8a  ， 由 1 5 34a a  ，得 2 2 8 8 34qq   ，解得 2 4q  或 2 1 4q  ，因为 1q  ，所以 2q = 所以， 2n na  （2）由（1）可得 1 2 2 1 2 1 n n n n b      ， *n N 所以 1 2 2 1 2 1 n n n n b       1 1 1 2 ( 2 1 2 1) ( 2 1 2 1)( 2 1 2 1) n n n n n n n             1 1 2 ( 2 1 2 1) 2 1 2 1 n n n n n         1 12 ( 2 1 2 1) 2 1 2 12 n n n n n n         ， 所以 +... ... 18．（本题满分 12 分）如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1ABC B BC△ 与△ 是全等的等边三角形， （1）求证： 1BC AB ； （2）若 4 1cos 1  BAB ，求二面角 ABBC  1 的余弦值． 解：（1）取 BC 的中点 O，连接 AO ， 1B O ， 由 于 1ABC B BC△ 与△ 是 等 边 三 角 形 ， 所 以 有 AO BC ， 1BO BC ，且 1AO B O O ，所以 1BC B AO 平面 ， 1 1AB B AO 平面 ，所以 1BC AB ． （2）设 AB a ， 1ABC B BC△ 与△ 是全等的等边三角形， 所以 1 1BB AB BC AC BC a     ， 又 4 1cos 1  BAB ，由余弦定理可得 2 2 2 2 1 1 32 4 2AB a a a a a      ，高三下学期第二次质检考试理科数学 第 8 页 共 12 页 在 1AB C△ 中，有 2 2 2 1 1AB AO B O  ， 所以以OA， OB ， 1OB 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 3( ,0,0)2A a ， (0, ,0)2 aB ， 1 3(0,0, )2B ， 设平面 1ABB 的一个法向量为 ( , , )x y zn ，则 1 3 1 00 2 2 0 3 3 02 2 ax ayAB AB ax az               n n ， 令 1x  ，则 (1, 3,1)n ， 又平面 1BCB 的一个法向量为 (1,0,0)m ， 所以二面角 ABBC  1 的余弦值为 5cos 5    n m n m ． 19.（本题满分 12 分）已知抛物线 2 2y x ，过点 (1,1)P 分别作斜率为 1k ， 2k 的抛物线的动弦 AB 、 CD ，设 M 、 N 分别为线段 AB 、CD 的中点． （Ⅰ）若 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程； （Ⅱ）若 1 2 1k k  ，求证直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标． 解：（Ⅰ）设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 2 1 12y x ①， 2 2 22y x ②． ①－②，得 1 2 1 2 1 2( )( ) 2( )y y y y x x    ． 又因为 (1,1)P 是线段 AB 的中点，所以 1 2 2y y  所以， 2 1 1 2 1 2 1 2= 1y yk x x y y    ． 又直线 AB 过 (1,1)P ，所以直线 AB 的方程为 y x ； （Ⅱ）依题设 ( , )M MM x y ，直线 AB 的方程为 11 ( 1)y k x   ，即 1 11y k x k   ， 亦即 1 2y k x k  ，代入抛物线方程并化简得 2 2 2 1 1 2 2(2 2) 0k x k k x k    ． 所以， 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2k k k kx x k k      于是， 1 2 2 1 1 M k kx k  ， 1 2 1 2 1 22 11 1 1 M M k ky k x k k k kk        ． 同理， 1 2 2 2 1 N k kx k  ， 2 1 Ny k ．高三下学期第二次质检考试理科数学 第 9 页 共 12 页 易知 1 2 0k k  ，所以直线 MN 的斜率 2 1 2 11 M N M N y y k kk x x k k    ． 故直线 MN 的方程为 2 1 1 2 2 1 2 1 1 11 ( )1 k k k ky xk k k k    ， 即 2 1 2 1 11 k ky xk k  ．此时直线过定点 (0,1) ． 故直线 MN 恒过定点 (0,1) ． 20.（本题满分 12 分） 由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3 个人依次进行，每人必须 在 1 分钟内完成，否则派下一个人．3 个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否 则淘汰出局．根据以往 100 次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图． 解：（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，求 a、b 的值，并分别求出甲、乙在 1 分钟内 解开密码锁的频率； （2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并 且丙在 1 分钟内解开密码锁的概率为 0.5，各人是否解开密码锁相互独立． ①求该团队能进入下一关的概率； ②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 X 的数学期望达到最小，并说明 理由． 解：（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为 47， ∴0.01×5+0.014×5+b×5+0.034×5+0.04×（47﹣45）＝0.5，解得 b＝0.026； ∴0.04×3+0.032×5+a×5+0.010×10＝0.5，解得 a＝0.024； ∴甲在 1 分钟内解开密码锁的频率是 f 甲＝1﹣0.01×10＝0.9； 乙在 1 分钟内解开密码锁的频率是 f 乙＝1﹣0.035×5﹣0.025×5＝0.7；高三下学期第二次质检考试理科数学 第 10 页 共 12 页 （2）由（1）知，甲在 1 分钟内解开密码锁的频率是 0.9，乙是 0.7，丙是 0.5，且各人是否解开 密码锁相互独立； ①不能进入下一关的概率为（1﹣0.9）（1﹣0.7）（1﹣0.5）， 能进入下一关的概率与三个人被排除的顺序无关， ∴该团队能进入下一关的概率为 P＝1﹣（1﹣0.9）×（1﹣0.7）×（1﹣0.5）＝0.985； ②设甲、乙、丙三个人各自能完成任务的概率分别 p1，p2，p3，且 p1，p2，p3 互不相等， 根据题意知 X 的取值为 1，2，3； 则 P（X＝1）＝p1 P（X＝2）＝（1﹣p1）p2 P（X＝3）＝（1﹣p1）（1﹣p2） EX＝p1+2（1﹣p1）p2+3（1﹣p1）（1﹣p2）＝3﹣2p1﹣p2+p1p2 ∴EX＝3﹣（p1+p2）+p1p2﹣p1， 若交换前两个人的派出顺序，则变为 3﹣（p1+p2）+p1p2﹣p2， 由此可见，当 p1＞p2 时，交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序， EX 可写为 3﹣2p1﹣（1﹣p1）p2，交换后的派出顺序则变为 3﹣2p1﹣（1﹣p1）p3， 当 p2＞p3 时交换后的派出顺序可增大均值； 所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小． 21.（本题满分 12 分）已知函数 ( ) xf x e x  ． （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 1 2( ) ( )f x f x ， 1 2x x ，求证： 1 2 2x xe e  ． 解：（1）函数  f x 定义域为 ,R   1xf x e   ， 令   0f x  得  0,x  ，令   0f x  得  ,0x  ， 故  f x 在 0, 单调递增，在 ,0 单调递减.高三下学期第二次质检考试理科数学 第 11 页 共 12 页 （2）    1 2 ,f x f x 不妨设 2 1x x ，则 2 1 1 2 1 2 2 1 , 1 x x x x e ee x e x x x      ， 要证： 1 2 2,x xe e  即证：  2 1 2 1 2 1 2x x x x x x e ee e     ……（*）， 而     2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x ee e x xe e e         ，令  2 1, 0,t x x t    ， （*）等价于    1 2 1 2 2 0, 0,1 t t t t et t e e te          ， 设      1 2 2, 0,t tg t t e e t      ，      1 1 2 1 1,t t tg t t e e t e        令    1 1,th t t e   ∵  ' 0th t te  在  0,t   恒成立， 则  g t 在  0,t   单调递增，故    0 0g t g   ，故  g t 在  0,t   单调递增， 故    0 0g t g  ，故原命题得证． 22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 cos 3 3sin x y       （ 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2cos  . （1）求曲线 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； （2）已知曲线 3C 的极坐标方程为  （ 0    ， R ），点 A 是曲线 3C 与 1C 的交点，点 B 是 曲线 3C 与 2C 的交点， A 、 B 均异于原点O ，且| | 2 2AB  ，求实数 的值. 解：（1）曲线 1C 的参数方程为 3 cos 3 3sin x y       ,消去参数 ， 可得曲线 1C 的普通方程为：  22 3 3x y   ， 故：曲线 2C 的极坐标方程为 2cos  . 2 2 cos    又 cos sin x y        故： 2C 的直角坐标方程为：  2 21 1x y   ，高三下学期第二次质检考试理科数学 第 12 页 共 12 页 （2）曲线 1C ：  22 3 3x y   化为极坐标方程为 2 3sin  设点  1,A   ，  2 ,B   ，依题设知 1 2 3sin  ， 2 2cos  所以| | | 2 3sin 2cos | 4 sin 6AB          由| | 2 2AB  知 2sin 6 2       因为 5 6 6 6       ，故 6 4     或 3 6 4     所以 23.已知函数   2 3f x x a x    ，   2 3g x x   ．  1 解不等式   6g x  ；  2 若对任意的 2x R ，均存在 1x R ，使得    1 2g x f x 成立，求实数 a 的取值范围． 解：(Ⅰ)由 2 3 6x    ，得 6 2 3 6x     ， ∴ 9 2 3x    ，得不等式的解为（-1，5） (Ⅱ)      2 3 2 3 2 3f x x a x x a x a          （仅当（x-2a）(x+3)  0 成立），   2 3 3g x x    ，（仅当 x=2 时成立）  对任意的 2x R 均存在 1x R ，使得    2 1f x g x 成立，       y y f x y y g x   ， 2 3 3a   ， 解得 0a  或 3a   ，即实数 a 的取值范围为： 0a  或 3a   ．