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合肥市 2020 年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科） （考试时间:120 分钟满分:150 分） 第 I 卷（满分 60 分） 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若集合 ，则 ＝ A． B． C． D． 2.欧拉公式 把自然对数的底数 ，虚数单位 ，三角函数 联系在一起， 充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数 满足 则 A． 1 B． C． D． 3.若实数 x，y 满足约束条件 则 的最小值是 A． B． C． 7 D．16 4.已知 为奇函数，当 时， （ 是自然对数的底数）则曲线 在 处的切线方程是 A． B． C． D． 5.若 ，则 m＝ A． 4 B． 2 C． D． 6.已知函数 的图象关于点 成中心对称，且与直线 的两个相邻交点间的距离为 ，则下列叙述正确的是 A.函数 的最小正周期为 B.函数 图象的对称中心为 C.函数 的图象可由 的图象向左平移 得到 2 2 3 0 |2 2xA x x x B x− − ≤ ≥＝｛｜ ｝， ＝｛ ） A B = 1 ,32      1 ,12      13, 2  −   [ ]2,3 i cos sine θ θ θ= + e i cos sinθ θ和 z i( i) ie zπ + = z = 2 2 3 2 2 2 4 0 4 0 3 2 3 0 x y x y x y + − ≥  − + ≥  + − ≥ 2z x y−＝ 5− 4− f x（ ） 0x＜ 2xf x e ex− −（ ）＝ e y f x＝（ ） 1x＝ y ex e= − + y ex e= + y ex e= − 1 1(2 ) 2y e x ee e = − − + cos80 3 tan10 1m  ＋ ＝ 2− 4− tan 0 0 2f x x πω ϕ ω ϕ（ ）＝ （ ＋ ）（ ＞ ，＜ ＜ ） 6 π（ ，0） y a＝ 2 π f x（ ） π f x（ ） ( 0)6k k Z ππ ∈＋ ，（ ） f x（ ） tan 2y x＝ 6 πD.函数 的递增区间为 7.《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其 《九章算术注》中利用出相补原理给出了这个问题的一般解法:如图 1，用对角线将长和宽分别为 和 的 矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、 青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图 2 所示的矩形，该矩形长为 ，宽为内接正方形的边长 , 由刘构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图 3.设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角形 ABC 的内接 正方形对角线 AE，过点 A 作 于点 F，则下列推理正确的是 ①由图 1 和图 2 面积相等得 ②由 可得 ③由 可得 ④由 可得 A． ①②③④ B． ①②④ C． ②③④ D． ①③ 8.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着 A，B，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该 村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择 A，B，C 三个扶贫项目的意向如下表: 扶贫项目 A B C 贫困户 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁 若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则 不同的选法种数有 A． 24 种 B． 16 种 C． 10 种 D．8 种 f x（ ） , ( )2 3 2 6 k k k Z π π π π − + ∈   b a a b＋ d AF BC⊥ abd a b+＝ AE AF≥ 2 2 2 2 a b a b+ +≥ AD AE≥ 2 2 2 1 12 a b a b + ≥ + AD AF≥ 2 2 2a b ab+ ≥9.几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示已知半球的半径为 ，则当此几何体体 积最小时，它的表面积等于 A． B． C． D． 10.已知抛物线 C: 的焦点为 F，过点 D（3，0）的直线交抛物线 C 于点 A，B，若 则 A． B． C． D． 11.若关于 的不等式 有且只有两个整数解，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 12.在三棱锥 中，二面角 的大小均等于 ， ，设三棱锥 外接球的球心为 O，直线 与平面 ABC 交于点 Q，则 A． B． 2 C． 3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、 第（23）题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.把答案填在答题 卡上的相应位置. 13.已知向量 满足 则 _________. 14.三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者，在某次三人制足 球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加。甲、乙丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一 个人。若由甲开始发球（记为第一次传球），则第 4 次传球后，球仍回到甲的概率等于_________. 6 24π ( )18 3 3 π+ 21π (18 4 2)π+ 2 4y x＝ 13FA FB−  ＝ FA FB   ＝ 9− 11− 12− 2 3 x 2 2 ln 4ax a x x− − −＞ a ( ]2 ln3,2 ln 2− − ( ),2 ln 2−∞ − ( ],2 ln3−∞ − ( ),2 ln3−∞ − P ABC− P AB C P AC B P BC A− − − − − −、 和 3 π : : 3: 4:5AB AC BC＝ P ABC− PO PO OQ = 1 4 a b和 2 2, 1,a a b a b− −=｜ ｜＝ ＝ a b =15.已知双曲线 C: 的右焦点为点 F，点 B 是虚轴的一个端点，点 P 为双曲线 C 左 支上一个动点，若△BPF 周长的最小值等于实轴长的 4 倍，则双曲线 C 的渐近线方程为_____________ 16.已知△ABC 三个内角 A，B，C 所对的边分别为 ，若 成等比数列， 成等差数列，则:（1）C＝__________ （2） 三、解答题:本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 的前 n 项和为 ， ，数列 满足 （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求数列 的前 2n 项和 . 18.（本小题满分 12 分） 如图（1），在矩形 ABCD 中，E，F 在边 CD 上， 沿 将△CBE 和△DAF 折 起，使 垂直，如图（2） （1）试判断图（2）中直线 CD 与 AB 的位置关系，并说明理由； （2）求平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角的余弦值 19.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的方程为 ,斜率为 的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 P 在直线 的左上方. （1）若以 AB 为直径的圆恰好经过椭圆 C 的右焦点 ，求此时直线 的方程； （2）求证:△PAB 的内切圆的圆心在定直线 上. 20.（本小题满分 12 分） 2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − ＝（ ＞ ＞ ） , ,a b c sin ,sin ,sinA B C ,sin B A sinA sinC−（ ）, tan tan A B = na｛ ｝ nS 2 71, 14a S＝ ＝ nb｛ ｝ 2 2 1 2 3 2 n n nb b b b + …  ＝ n na b｛ ｝和｛ ｝ nc｛ ｝ cosn n nc b a π＝ （ ） nc｛ ｝ 2nT BC CE EF FD＝ ＝ ＝ ,BE AF CBE DAF ABEF平面 和平面 都与平面 2 2 14 3 x y+ = 1 2 3(1, )2 l 2F l 1x＝某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择:方案 A 是报废原有生产线，重建一条新的 生产线；方案 B 是对原有生产线进行技术改造,由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生 变化.该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表: 市场销售状态 畅销 平销 滞销 市场销售状态概率 方案 A 700 400预期平均 年利润（单 位:万元） 方案 B 600 300 （1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问:该企业应选择哪种方案？ （2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品）的年产量为 （万件），通过核算，实行方案 A 时新 产品的年度总成本 （万元）为 ，实行方案 B 时新产品的年度总成本 （万 元）为 .已知 .若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、 平销和滞销时，新产品的单价 （元）分别为 60， ，且生产的新产品当年都能卖出去试问: 当 取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 （ 是自然对数的底数） （1）求 的单调递减区间 （2）记 ，试讨论 在 上的零点个数.（参考数据 ） 请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分，作 答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 .以坐标原点 O 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . 0 1p（ ＜ ＜） 2p 1 3p− p 400− 100− x 1y 3 2 1 1 8 10 1603y x x x−＝ ＋ ＋ 2y 3 2 2 1 3 20 1003y x x x−＝ ＋ ＋ 0.2, 20p x ≤＝ t 360 ,604 x x− − x sinxf x e x（ ）＝ e f x（ ） , 0 3g x f x ax a−（ ）＝（ ） 若 ＜ ＜ g x（ ） (0, )π 2 4.8e π ≈ xOy 3cos 4sin (12 9cos sin5 5 x y ϕ ϕ ϕϕ ϕ = − = + 为参数） x l 33in πρ θ（ ＋ ）＝（1）写出曲线 C 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 C 交于 P，Q 两点，M（2，0），求 的值 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲 已知不等式 的解集为 （1）求 的值； （2）若三个正实数 满足 ，证明: . l l MP MQ＋ 1 3 5x x m− −＋ ＜ 3 ,2 n（ ） n , ,a b c a b c m＋ ＋ ＝ 2 2 2 2 2 2 2b c c a a b a b c ≥＋ ＋ ＋＋ ＋