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太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）
数学试题（理）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C A D B D C A D C D
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13.
22
14 12
xy 14． 1
2 15． 3
3
16． 835
三、解答题（共 70 分）
（一）必考题
17. （本小题满分 12 分）
解(Ⅰ) 222 (sin sin ) ( )sinBAR a c C ，
∴ 222 2 (sin sin ) 2 ( )sinR R B A R a c C ，
即 2 2 2b a c ac ， .......................................................3 分
∴
2 2 2 1cos 22
a c bB ac
， ........................................................5 分
0 πB， 2π
3B . ......................................................................6 分
(Ⅱ) 7, 2bc，由正弦定理
sin sin
bc
BC 得 21sin 7C ， ..................8 分
由bc ，故C 为锐角， 27cos 7C ， ..................9 分
∴ 2π 3 2 7 1 21 21sin sin( ) sin 3 2 7 2 7 14A B C C
. ..................12 分
18. （本小题满分 12 分）
解(Ⅰ)∵ AE 平面 BCE ， BE 平面 BCE ， BC 平面 BCE ，
∴ ,AE BE AE BC， ...................................2 分
又∵ BC AB ，∴ AE AB A，∴ BC 平面 ABE ，...................................4 分 第 2 页 共 6 页
又 BC 平面 ABCD，∴平面 ABCD 平面 ABE . ..................................................6 分
(Ⅱ)如图所示，建立空间直角坐标系 A xyz ，
∵ 1, 2,AE AB AE BE ,
3BE， 31(0,2,0), ( , ,0)22BE , ................................8 分
假设线段 AD 上存在一点 F 满足题意，设 (0,0, )Fh， ( 0)h ，
易知平面 ABF 的一个法向量为 (1,0,0)m ，................................9 分
设平面 BEF 的一个法向量为 ( , , )n x y z ，而 33( , ,0), (0, 2, )22BE BF h ，
则 0,
0,
n BE
n BF
，即
33022
20
xy
y hz
，所以可取 2( 3,1, )n h ，.................................10 分
由
2
23cos , 2 44
mnmn
mn
h
，可得 2h .
存在点 F 当 2AF 时，二面角 A BF E所成角为 045 . .................................12 分
19. （本小题满分 12 分）
解(Ⅰ)该混合样本阴性的概率是 22 2 8()39 ， .............................................2 分
根据对立事件原理，阳性的概率为 811 99 . .............................................4 分
(Ⅱ) 方案一：逐个检验，检验次数为 4. .............................................5 分
方案二：由（Ⅰ）知，每组 2 个样本检验时，若阴性则检验次数为 1，概率为 8
9
；
若阳性则检验次数为 3，概率为 1
9 . 设方案二的检验次数记为 ，则 的可能取值为 2,4,6
其分布列如下，
可求得方案二的期望为 64 16 1 198 22( ) 2 4 681 81 81 81 9E . ......................................9 分
2 4 6
p 64
81 16
81 1
81
z
y
E
A
D
B
C
F
x 第 3 页 共 6 页
CA
F1 F2
B
y
x
方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为 ， 的可能取值为 1,5.
其分布列如下，
可求得方案三的期望为 64 17 149( ) 1 581 81 81E . .............................................11 分
比较可得 ( ) ( ) 4EE，故选择方案三最“优”. ............................................12 分
20. （本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
22
221xy
ab
，其中 221ba ，
由已知当 2时，不妨设 2BF m，则 2 2AF m ，
1AB BF ， 1 3BF m ，
由椭圆定义得 24am，从而 122AF AF m ， .............................................2 分
故此时点 A 在 y 轴上，不妨设 A(0, )b ，从而由已知条件可得 3( , )22
bB ，...................4 分
代入椭圆方程，解得 2 3a ，所以 =2，
故所求椭圆方程为
22
132
xy . .............................................6 分
（Ⅱ）直线 BC 过定点 (2, 0)H ，证明如下，
设直线 AB 方程为 1x my，代入椭圆 222 3 6xy中，
222( 1) 3 6my y ，即 22(2 3) 4 4 0m y my ，
设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，
则 12 2
4
23
myy m
， 12 2
4
23yy m
， 12
12
yym yy
，
由题设知 1(3, )Cy，直线 BC 斜率 21
2 3BC
yyk x
= 21
2 2
yy
my
21
12
1
2
yy
yy
y
1y ，
BC 直线方程为 11( 3)y y y x ，化简得： 1( 2)y y x，故直线 BC 过(2,0) .
另解：（Ⅱ）设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，代入椭圆方程'
1 5
p 64
81 17
81 第 4 页 共 6 页
得 22
112 3 6xy , ①
22
222 3 6xy , ②
②两边同乘以 2 , 得 2 2 2 2 2
222 3 6xy , ③
①-③, 得 2
1 2 1 2 1 2 1 22( )( ) 3( )( ) 6(1 )x x x x y y y y , ④
由 22AF F B , 得 121xx ， 120yy ,
将 ， 代入④化简得： 123(1 )xx ,
从而 1 2x ， 2 12x ，即 2(2 ) 3 2x ，又 12yy,
于是CH HB ， ,,C H B 三点共线，因此无论 如何变化，直线 BC 过定点 (2, 0)H .
21.（本小题满分 12 分）
解（Ⅰ） '( ) sin cos sin cosf x x x x x x x , .....................................1 分
当 (0, )2x 时， cos 0, ' ( ) 0x f x ， ( ) (0) 1f x f， ()fx无零点; ............2 分
当 3( , )22x 时， cos 0 , ' ( ) 0x f x ，而 ( ) 022f ， 33( ) 022f ，
()fx有唯一零点; .....................................3 分
当 35( , )22x 时， cos 0x ， ' ( ) 0fx，而 55( ) 022f ， ()fx有唯一零点 ;
.......................................................................................................................... 4分
综上， ()fx在 5(0, )2
有两个零点. .....................................5 分
（Ⅱ）证明①
22
sin cos ( )'( ) x x x f xgx xx
, .....................................6 分
由（Ⅰ）知 ()gx在(0, )2
无极值点；
在 3( , )22x 有极小值点，即为 1x ，在 35( , )22
有极大值点即为 2x ，
而 ( ) 022f ， ( ) 1 0f ， 33( ) 022f ， (2 ) 1 0f ，
可知 1 ( , )2x ， 2
3( , 2 )2x ，
同理在 5( , 3 )2
有极小值点 3x ，，在 (2 1) ,2
n n
有极值点 nx . 第 5 页 共 6 页
由 sin cos 0n n nx x x，得 cos sinn
n
n
x xx ， 1tan n
n
x x ,
12xx ，
12
11
xx ， 1 1 2tan( ) tan tanx x x ,
而 1
3( , 2 )2x ， 2
3( , 2 )2x ，故有 12xx ,
12
1 2 1 2
12
cos cos( ) ( ) sin sinxxg x g x x xxx 12sin( ) sinxx
sinyx 在 3( , 2 )2
是增函数， 12sin( ) sin 0xx ,
即 12( ) ( ) 0g x g x； ...................................8 分
② 同理， 21
43,(2 1)2k
kxk
， 2
41,22k
kxk
，
2 1 2
41 22 kk
k xx
，由 sinyx 在 41,22
k
递增得
2 1 2 2 1 2( ) ( ) sin( ) sin 0k k k kg x g x x x ， ...................................10 分
当 n 为偶数时，不妨设 2nk ，从 1()gx 开始相邻两项配对，每组和均为负值，
即 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) 0kkg x g x g x g x g x g x ） ，结论成立；
当 n 为奇数时，设 21nk， 21
41, 2 12k
kxk
（ ） ， 2 1 2 1( ) sin 0kkg x x ，
从 1()fx 开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即
1 2 3 4 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0k k kg x g x g x g x g x g x g x ，结论也成立.
综上，对一切 Nn ， 1 2 3 0ng x g x g x g x 成立. .........................12 分
（二）选考题
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22.（本小题满分 10 分）
解（Ⅰ）设点 ,M x y ， (3cos , 3sin )P ，且点 6,0Q ，由 2PM MQ ，
得
4 cos ,
sin ,
x
y
...................................2 分 第 6 页 共 6 页
整理得 2 241xy , 即 228 15 0x y x ， ......................3 分
化为极坐标方程为 2 8 cos 15 0 . ...................................5 分
（Ⅱ）设直线l ： y kx 的极坐标方程为 . 设 1,A ， 2,B ，
因为 4OA AB ，所以54OA OB ，即 1254 ， ...................................6 分
又 2 8cos 15 0 ， 则
12
12
12
8,
15,
54,
cos
解得 93cos 16 ， .............8 分
所以 22
2
1 13tan 1cos 243k ， 9
27
3k . ...................................10 分
【选修 4-5：不等式选讲】
23.（本小题满分 10 分）
解解：（Ⅰ）函数 ( ) 2 2 2 1f x g x x a x
= 2 2 2x a x 2 (2 2)x a x 21a ， ...................................3 分
解得 1a 或 3a ； ...................................5 分
（Ⅱ）不等式 ( ) 1f x g x，即 2 1 1x a x ，
由题意， 1[ ,1]2x 时， 2 1 1x a x 成立，
∴ 2x a x．∴
3
a xa， ...................................7 分
不等式 ( ) 1f x g x的解集包含 1[ ,1]2
，即 1
32
a 且 1a ，...................................9 分
解得 31 2a，所以实数 a 的取值范围是 3(1, )2
． ..................................10 分
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