厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查
数学（文科）试题
满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|x(2x−3)>0}，则A∩B=
A．{1} B．{−1,2} C．{−1,2,3} D．{0,1,2,3}
2．设z= ，则z的共轭复数为
A．−1+i B．−1−i C．1+i D．1−i
3．已知双曲线E：x2− =1的一个焦点是(2,0)，则E的渐近线方程为
A．y= x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
4．通过随机询问100名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表：
男
女
总计
喜欢
40
30
70
不喜欢
10
20
30
总计
50
50
100
已知
附表：
则以下结论正确的是
A．有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”
B．有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为喜欢该电视节目与性别有关“ ”
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关”
5．设x， y满足约束条件， 则z=x−y的最大值为
A．−2 B．0 C．1 D．2
6．已知α为第三象限角，cosα−sinα= − ，则cos2α=
A． − B． − C． D．
7．我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童．现有一个长、宽、高分别为5、3、3的长方体，将上底面绕着上、下底面中心连线（对称轴）旋转90度，得到一个刍童（如图），则该刍童的外接球的表面积为
A． B． C． 43π D．50π
8．将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向左平移( > 0)个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为
A． B． C． D．
9．函数f(x)= 的部分图象大致为
10．如图，边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C 两点重合于点A,则线段AB的长为
A． B． C．1 D．
11．若关于x的不等式eax>x3 在区间[,e2] 内有解，则实数 的取值范围是
A． ¥ B． C．¥ D．
12．已知△ABC是边长为2的正三角形，EF为该三角形内切圆的一条弦，且EF=.若点P在△ABC的 三边上运动，则PEPF的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量=（2，1），=（x,4），若⊥，则x的值为______．
14．若曲线y=ax3 + 在点(1,a+3)处的切线与直线x+y+3=0平行，则a的值为_______．
15．已知倾斜角为的直线 经过椭圆E的左焦点，以E的长轴为直径的圆与 交于A，B两点，若弦长AB等于E的焦距，椭圆E的离心率为 ．
16．如图，某景区有景点A，B，C，D．经测量得，BC=6km，∠ABC=120°， sin∠BAC= ，∠ACD=60°，CD= AC，则AD = km，现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A、D的视角∠AMD=120°.为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为 km．（本题第一空2分，第二空3分）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．(12分）
在数列{an}中，a2 =5，且1，an ，an+1 成等差数列．
（1）求证：数列{an −1}是等比数列；
（2）设{an}前n项和为Sn.求使得log2Sn0)的直线l交C于A，B两点，使得|AB|=8，点Q在m上，且满足=1,求△QAB的面积.
19.（12分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为等边三角形，点E，F分别为PA，CD的中点．
（1）求证：EF//平面PBC；
（2）已知平面PAD⊥平面ABCD，过E，F，C三点的平面将四棱锥P−ABCD分成两部分，求这两部分体积的比．
20.（12分）
某批库存零件在外包装上标有从 到N的连续自然数序号，总数N未知，工作人员随机抽取了n个零件，它们的序号从小到大依次为：x1，x2 ，... ，x n．现有两种方法对零件总数N进行估计.
方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似相等，进而可以得到N的估计值．
方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号x1，x2 ，... ，x n相当于从区间[0,N+1]中随机抽取n个整数，这n个整数将区间[0,N+1]分为(n+1)个小区间：(0,x1),(x1,x2), ...,(xn,N+1)．由于这n个数是随机抽取的，所以前n个区间的平均长度与所有(n+1)个区间的平均长度近似相等，进而可以得到N的估计值．
现工作人员随机抽取了31个零件，序号从小到大依次为：83、135、274、380、668、895、955、964、1113、1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791.
（1）请用上述两种方法分别估计这批零件的总数.（结果四舍五入保留整数）
（2）将第（1）问方法二估计的总数N作为这批零件的总数，从中随机抽取100个零件测量其内径y（单位:mm），绘制出频率分布直方图（如右图）.已知标准零件的内径为200mm，将这100个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率.其中内径长度最接近标准的720个零件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整数）.
21．（12分）
已知函数f(x)=ax2−cosx．
（1）当a=1时，求函数f(x)的极值点；
（2）若f(x)在区间(−,)内有且仅有4个零点的充要条件为a∈(N,M)，求证：M−N0，f(0)=1，证明：ab +bc +ac≤
(2)若a=b=l，对于任意的x∈(-∞,-2)，f(x) ≥4恒成立，求c的取值范围．
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