文科数学答案 第 1 页（共 6 页）
2020 年丹东市高三总复习质量测试（一）
文科数学答案与评分参考
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4．B 5．B 6．D
7．C 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A
二、填空题
13．－7 14．x；22
15．12 16．54π
题目详解
1．解：
A∪B＝(－1，1)∪(0，2)＝(－1，2)，选 A．
2．解：
a＋λb＝(1，2)＋(－2λ，3λ)＝(1－2λ，2＋3λ)，因为(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，
即(1－2λ)×1＋(2＋3λ)×1＝0，实数 λ＝－3，选 C．
3．解：
(1＋i)(1－ai)＝1＋a＋(1－a)i，由于 a∈R，1＋a＋(1－a)i＞0，所以 1＋a＋(1－a)i∈R，
1－a＝0，a＝1，此时(1＋i)(1－ai)＝2＞0，选 A．
4．解：
从字母 a，b，c，d，e 中任取两个不同字母，所有可能的情形有 10 种：
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)．
其中取到字母 a 的情形有 4 种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)．
于是取到字母 a 的概率为 P＝ 4
10＝2
5，选 B
5．解：
“女子善织，日增等尺”，说明，逐日所织尺数组成一个等差数列{an}，在这个等差数
列{an}中，已知 S7＝28，a2＋a5＋a8＝15，求 a6．
设公差为 d，由 7a1＋7(7－1)
2 d＝28，(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝15，解得 a1＝d＝1，
所以 a6＝a1＋5d＝6，选 B．
【或者】因为 S7＝28，a2＋a5＋a8＝15，所以 a4＝4，a5＝3，所以 a6＝2a5－a4＝6．
6．解：
由散点图可知，与成负相关，所以 r1＜0，r2＜0，因此 AB 错误．
点 P 较偏离整体，剔除点 P 后，相关性能强些，所以| r2|比| r1|更接近 1．
因此－1＜r2＜r1＜0，选 D．
7．解：
双曲线 C 的一条渐近线为 bx－ay＝0，圆(x－a)2＋y2＝b2
4 的圆心为(a，0)，半径b
2．
因为渐近线与圆相切，所以|ba－a0|
b2＋a2＝b
2，因为 b2＋a2＝c2，所以 c＝2a，于是 C 的离心文科数学答案 第 2 页（共 6 页）
率为 e＝c
a＝2，选 C．
8．解：
在同一个坐标系内画函数 y＝2x，y＝－x，y＝log2x，y＝ x的图象，可知 a＜0＜b＜1＜
c，选 A．
9．解：
若 m⊥l，n⊥l，则 m 与 n 可能平行，还可能相交，还可能异面，A 不是 m∥n 的一个充
分条件．
若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 可能平行，还可能相交，还可能异面，B 也不是 m∥n 的一
个充分条件．
若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m 与 n 可能平行，还可能异面，C 也不是 m∥n 的一个充分
条件．
若 m∥α，m⊂β，α∩β＝n，根据直线与平面平行的性质定理，可以得到 m∥n，D 是 m
∥n 的一个充分条件．
综上，选 D．
10．解：
y＝|1－2cos2ωx|＝|cos2ωx|，因为 ω＞0，由 4＝ π
2ω得 2ω＝π
4．
sinω(x＋1)cosω(x＋1)＝1
2sin2ω(x＋1)＝1
2sinπ
4(x＋1)
当 x∈[0，1]时，π
4(x＋1)∈[π
4，π
2]；当 x∈[1，2]时，π
4(x＋1)∈[π
2，3π
4 ]．
所以函数 y＝1
2sinπ
4(x＋1)在区间[0，2]上先单调递增，后单调递减函数，选 C．
11．解：
因为函数 f (x)是定义域为(－1，1)的单调递减函数，若 f (x)图象关于点(0，1)对称，
所以不等式 f (x－1)＋f (x)＜2 等价于 x－1＋x＞0，得 x＞1
2，
又 x∈(－1，1)，x－1∈(－1，1)，所以 x 的取值范围是(1
2，1)，选 D．
【另解】设 g (x)＝f (x)－1，则 g (x)是定义域为(－1，1)的奇函数，且单调递减．不等式
f (x－1)＋f (x)＜2 等价于 g (x－1)＋g(x)＜0．
由 x－1＋x＞0，x∈(－1，1)，x－1∈(－1，1)，得 x 的取值范围是(1
2，1)，选 D．
12．解：
由 an＋1＝Sn＋1 得 Sn＋1＝2Sn＋1，变形为Sn＋1＋1
Sn＋1 ＝2，所以数列{Sn＋1}是公比为 2 的等
比数列．
因为 S2＝3，所以 S8＋1＝(S2＋1)28-2＝28＝256，所以 S8＝255，选 A．
13．解：
画出线性约束条件所表示的区域，即可行域：
作直线 l0：3x－y＝0，平移 l0，可知当 x＝－2，y＝1 时，
直线 z＝3x－y 在 y 轴上截距最大，从而 z 取的最小值－7．
14．解： 文科数学答案 第 3 页（共 6 页）
因为 y′＝ 1
1＋x，y′|x=0＝1，所以曲线 y＝ln(1＋x)在 x＝0 处切线方程为 y＝x，故 f (x)＝x．
采用复利的方式计算利息，本金为 a 的理财品种经过 n 年后，本息和为 a(1＋0.033)n．
由 a(1＋0.033)n≥2a，得 nln(1＋0.033)≥ln2，有 n≥ ln2
ln(1＋0.033)，由题设的近似等式
70
100×0.033≈21.212．所以 n≥21.212，至少需经 22 年．
15．解：
设 C 的准线与 x 轴相交于点 E，过 A 作 C 的准线的垂线，
垂足为 A1．因为 A，F，B 三点共线，由题设 F 为 AB 的中点，
所以|AF|＝|AA1|＝2|EF|＝12．
16．解：
由题设边形 ABCD 是直角梯形，其中 AB＝5，BC＝5，CD＝3，CA＝1， CA 在直线 y
＝1 上，将四边形 ABCD 绕直线 y＝1 旋转一周，所得到几何体是底面半径为 3，母线为 5
的圆柱内去掉一个底面半径为 3 母线为 5 的圆锥余下部分，其的表面积为 π32＋2π×3×5＋
π×3×5＝54π．
17．解：
（1）因为侧棱 DD1⊥底面 ABCD，所以 DD1⊥AC．
因为 AB＝1，AC＝ 3，BC＝2，所以 CD2＋AC2＝AD2，所以 AC⊥CD．
因为 DD1∩CD＝D，所以 AC⊥平面 DD1C1C．
因为 C1D⊂平面 DD1C1C，所以 AC⊥C1D．
………………（6 分）
（2）直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，因为 BB1＝BC，所以四
边形是正方形，面积为 4．
在平面内 ABCD，过 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，在直角三角形
ABC 中，斜边 BC 上的高为 AE＝ 3
2 ．
因为平面 ABCD⊥平面 BB1C1C，所以 AE⊥平面 BB1C1C．
于是四棱锥 A-BB1C1C 的体积为1
3×4× 3
2 ＝2 3
3 ．
………………（12 分）
18．解：
（1）由题设，首选物理再选科目确定的 20 位学生中选考生物的有 14 人，首选历史再
选科目确定的 15 位学生中选考生物的有 6 人．
因此该学校高一年级再选科目确定的学生中，选考生物的学生人数估计值为
14＋6
20＋15×20＋15
50 ×600＝240（人）．
………………（6 分）
（2）由题设可得 2×2 列联表如下：
选生物 不选生物 合计
首选物理 14 6 20
首选历史 6 9 15
合计 20 15 35
A B
B1
C1 D1
A1
C D
E 文科数学答案 第 4 页（共 6 页）
所以 K2＝35×(14×9－6×6)2
20×15×20×15 ＝63
20＝3.15．
因为 3.15＜3.841，所以没有 95%以上的把握认为“再选科目确定的学生中，是否选考
生物与首选科目的选择有关”．
………………（12 分）
19．解法 1：
（1）△ABC 同时满足条件①③④，理由如下：
因为 cosB＝－2
3＜－1
2＜0，所以 B 为钝角，且 B＞2π
3 ，因为 A＝π
3，与 A＋B＋C＞π，矛
盾，△ABC 不能同时满足条件①②，所以△ABC 同时满足条件③④．
因为 a＞b，所以 A＞B，所以△ABC 不能同时满足条件②③④．
因此△ABC 只能同时满足条件①③④．
………………（6 分）
（2）由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，得 c2－3c－40＝0，解得 c＝－5 或 c＝8，c＝
－5 舍去，取 c＝8．
于是△ABC 的面积 S＝1
2bcsinA＝6 3．
………………（12 分）
解法 2：
（1）同解法 1．
（2）因为 A＝π
3，a＝7，b＝3，由正弦定理 a
sinA＝ b
sinB得 sinB＝3 3
14 ．
因为 a＞b，所以 cosB＝13
14．
所以 sinC＝sin(B＋π
3)＝sinBcosπ
3＋cosBsinπ
3＝3 3
14 ×1
2＋13
14× 3
2 ＝4 3
7 ．
于是△ABC 的面积 S＝1
2absinC＝6 3．
………………（12 分）
20．解法 1：
（1）因为焦距为 4，c＝2，两焦点为 F1(－2，0)，F2(－2，0)．
根据椭圆定义 2a＝ (2＋2)2＋ 22＋ (2－2)2＋ 22＝4 2，a＝2 2，所以 b2＝a2－c2
＝4，从而 C 的方程为x2
8＋y2
4＝1．
………………（4 分）
（2）由题设，直线 l 不垂直于 y 轴，可设 l：x＝ky＋2，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由
x＝ky＋2，
x2
8＋y2
4＝1.
得(k2＋2)y2＋4ky－4＝0．
因为△＝32(1＋k2)＞0，所以 y1＋y2＝－ 4k
k2＋2，y1y2＝ －4
k2＋2． 文科数学答案 第 5 页（共 6 页）
因为|PQ|＝4 2，于是|S1－S2|＝1
2×| PQ|×|y1＋y2|＝8 2|k|
k2＋2 ．
当 k＝0 时，|S1－S2|＝0．
当 k≠0 时，8 2|k|
k2＋2＝ 8 2
|k|＋ 2
|k|
≤8 2
2 2＝4，当 k＝± 2时等号成立，|S1－S2|的最大值为 4．
综上，|S1－S2|的最大值为 4．
………………（12 分）
解法 2：
（1）因为 C 过点 A( 2， 3)，所以4
a2＋ 2
b2＝1，又 a2－b2＝4，故 a2＝8， b2＝4，从而
C 的方程为x2
8＋y2
4＝1．
………………（4 分）
（2）当直线 l 垂直于 x 轴时，S1＝S2，于是|S1－S2|＝0．
………………（6 分）
当直线 l 不垂直于 x 轴时，设 l：y＝k(x－2)(k≠0)，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由
y＝k(x－2)，
x2
8＋y2
4＝1.
得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－8＝0．
因为△＝32(1＋k2)＞0，所以 x1＋x2＝－ 8k2
2k2＋1，x1x2＝8k2－8
2k2＋1．
因为|PQ|＝4 2，于是|S1－S2|＝1
2×| PQ|×|y1＋y2|
＝2 2×| k(x1＋x2)－4k|＝2 2×| 8k3
2k2＋1－4k|＝8 2|k|
2k2＋1．
因为8 2|k|
2k2＋1＝ 8 2
2|k|＋ 1
|k|
≤8 2
2 2＝4，当 k＝± 2
2 时等号成立，|S1－S2|的最大值为 4．
综上，|S1－S2|的最大值为 4．
………………（12 分）
21．解：
（1）f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝x－a
x ．
若 a＝2，当 0＜x＜2，则 f ′(x)＜0，若 x＞2，则 f ′(x)＞0；所以 f (x)在(0，2)单调递减，
在(2，＋∞)上单调递增．
所以 f (x)≥f (2)＝－2－2ln2＞－4．
………………（4 分）
（2）因为 a＞1，所以当 0＜x＜a 时，则 f ′(x)＜0，当 x＞a 时，则 f ′(x)＞0；所以 f (x)
在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
所以 f (x)有最小值 f (a)＝a[1－lna－a]，因为 a＞1，所以 f(a)＜0．
因为 0＜e－a＜1＜a，f (e－a)＝e－a＞0，所以 f (x)在(0，a)有一个零点．
由（1）可知 x＞2lnx，从而 ex＞x2，于是 e2a＞4a2＞a，故 f (e2a)＝e2a－3a2＞a2＞0．所文科数学答案 第 6 页（共 6 页）
以 f (x)在(a，＋∞)有一个零点．
因此当 a＞1 时，f (x)有两个不同的零点当．
………………（12 分）
【或者】由（1）可知 x＞2lnx，从而 lnx＜ x，取正数 b 满足 b＞－ 5＋1
2 a，则
f (b)＞a b＋bx－a2＞0．所以 f (x)在(a，＋∞)有一个零点．
因此当 a＞1 时，f (x)有两个不同的零点．
………………（12 分）
22．解：
（1）C1 的参数方程为
x＝ 3cosα，
y＝sinα． (α 为参数)．
C2 极坐标方程可以化为 ρcosx＋ρsinθ－4＝0，于是 C2 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0．
………………（5 分）
（2）由（1），可设点 P 的直角坐标为( 3cosα，sinα)．
因为 C2 是直线，所以|PQ|的最小值，即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值．
d(α)＝| 3cosα＋sinα－4|
2 ＝ 2|sin(α＋π
3)－2|≥ 2．
当且仅当 α＝2kπ＋π
6(k∈Z)时时等号成立．
所以|PQ|的最小值为 2．
………………（10 分）
23．解：
（1）因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，所以
2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，于是 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
………………（5 分）
（2）[(a－1)＋(b－2)＋(c－3)]2
＝(a－1)2＋(b－2)2＋(c－3)2＋2[(a－1)(b－2)＋(b－2)(c－3)＋(c－3)(a－1)]
由（1）可知(a－1)(b－2)＋(b－2)(c－3)＋(c－3)(a－1)≤(a－1)2＋(b－2)2＋(c－3)2，所
以[(a－1)＋(b－2)＋(c－3)]2≤3[(a－1)2＋(b－2)2＋(c－3)2]．
由已知得(a－1)2＋(b－2)2＋(c－3)2≥25
3 ．
当且仅当 a＝－2
3，b＝1
3，c＝4
3时等号成立．
因此(a－1)2＋(b－2)2＋(c－3)2 的最小值为25
3 ．
………………（10 分）
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