高三数学答案 第 1 页（共 5 页）
高三数学参考答案
一、单项选择题： C B C C，A A D D
二、多项选择题： BD, ABC, AC, BC
三、填空题：
13.
6
π ； 14. 2 ； 15. 9π 16.16， 1；
三、解答题：
17.（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）因为 2cos 3 4cos 2AA−= ，所以 28cos 2cos 1 0AA− −= ，---------------2 分
解得 1cos 2A = 或 1cos 4A =－ （舍），所以 π
3A = . ---------------4 分
（Ⅱ）因为 ABC∆ 的面积为 3 ，所以 1 sin 2 32 bc A = ，得 4bc = . ---------------5 分
已知由 6sin (sin sin )Aa B C=⋅+，由正弦定理可得 6 ()aabc=⋅+，
所以 6bc+ ＝ . ---------------7 分
由余弦定理得 2 22 22 cos ( ) 3 24a b c bc A b c bc=+− + − =＝ ---------------8 分
得 26a = ， ---------------9 分
所以， ABC∆ 的周长为 26 6abc++= +. ---------------10 分
18.（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）由 1 41nnSa+ = + 得 14 1( 2, )nnS a n nN−= +≥∈ ---------------1 分
两式相减得 11 1 14 ( 2), 2 2( 2 )n nn n n n na aa n a a a a+− + −= − ≥∴ − = − ---------------3 分
11
11 1
2 2( 2 ) 2 ( 2)22
nn n nn
n nn nn
ba a aa nb aa aa
+−
−− −
−−= = = ≥−−
， ---------------5 分
∴数列{}nb 为公比为 2 的等比数列. ---------------6 分
（Ⅱ）由 2 12 1 2 14 1, 4, 2S aa a a b= + = +∴ = ∴ = ， 122 2,nn
nb −=⋅= ---------------7 分
100 2 , 6| 2 100 |
2 100, 6
n
n
n n
nc
n
−≤=−= −>
---------------8 分
1 2 6 7 8 9 10
10 600 (2 2 ... 2 ) 2 2 2 2 400T∴ = − + ++ + + + + − ---------------10 分
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6
7 8 9 10
8 9 10
2(1 2 )200 2 2 2 212
200 2 2 2 2 1994
−= − ++++−
= ++ + + =
---------------12 分
19.（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：在 PC 上取点 H ，且满足 : 2:3PH PC = ， --------------1 分
连接 ,GH HD ，则 GH BCC ，且 2 23GH BC= = ， ---------------2 分
因为 AD BCC ，所以 AD GH ，且 AD GH=
所以 ADHG 是平行四边形， ---------------3 分
所以 AG HD ， ---------------4 分
又因为 HD ⊂ 平面 PCD ，AG ⊄平面 PCD 所以 AG 平面 PCD ； ---------------5 分
（Ⅱ）过点 A 做与 DC 平行的射线 l ，易证两两垂直，
所以以 l 为 x 轴，以 AD 为 y 轴， AP 为 z 轴，
建立空间直角坐标系 O xyz− ， ---------------6 分
则有 4 22(0,0, 2), (2, 2,0), ( , , ), (0,1,1),3 33PCG E− ---------------7 分
设平面 AEFG 的法向量为 (, ,)xyz=n ，则
4220333
0
xyz
yz
−+=
+=
，令 1z = ，解得
1
1
1
x
y
z
= −
= −
=
所以 ( 1, 1,1)=−−n 是平面 AEFG 的一个法向量 ---------------8 分
因为点 F 在 PC 上，所以 (1 ) (2 ,2 ,2 2 )AF AC APλ λ λλ λ= +− = −
因为 AF ⊂ 平面 AEFG ，所以 2 2 22 0AF λλ λ⋅=−− +− =
n ，
解得 1
3
λ = ，所以 224(,,)333AF =
或如下证法：因为 AG 平面 PCD 且平面 AGFE 平面 PCD EF= ，所以 AG EF ，
所以 EF HD ，因为 E 为 PD 中点，所以 F 为 PH 中点，所以 1
3PF PC= ，
所以 224(,,)333F ， 224(,,)333AF =
--------------10 分
设平面 PAB 的法向量为 1 1 11(, ,)xyz=n ，则
H
A D
B
C
E F
G
P
y
x
z
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1
11
0
20
z
xy
=
−=
，令 1 1x = ，解得
1
1
1
1
2
0
x
y
z
=
=
=
---------------11 分
所以 1 (1, 2, 0)=n 是平面 PAB 的一个法向量， 1
30cos , 10AF< >=
n ，
所以 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值为 30
10
. ------------------------12 分
20（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）因为 12FF 是 1PF 和 2PF 的等差中项，所以 2ac= ，得 224ac= . --------1 分
又 3( 1, )2P − 在椭圆上，所以 22
13144cc
+=，所以 1c = ， --------------------2 分
2 4a = ， 2 223bac=−=， ------------------3 分
可得椭圆的标准方程为
22
143
xy+=. --------------------4 分
（Ⅱ）因为 3( 1, )2P − ，由（Ⅰ）计算可知 (2,0), (0,1)AH --------------------5 分
当直线 MN 与 x轴垂直时，不合题意. --------------------6 分
当直线 MN 与 x轴不垂直时，设直线 MN 的方程为 1y kx= +
联立直线与椭圆的方程 22
1
143
y kx
xy
= + +=
，可得 22(4 3) 8 8 0k x kx+ + −=
设 11 2 2( , ), ( , )Mx y Nx y ，由韦达定理可得
12 2
12 2
8
43
8
43
kxx k
xx k
− += + − = +
--------①， ---------7 分
由 6HMA PHNSS∆∆= ，可得 6AH MH NH PH= ，又 2AH PH= ，
所以 3MH NH= ，得 123xx= − ， --------------------9 分
带入①，可得
2 2
2
2 2
82 43
83 43
kx k
x k
−−= + −−= +
所以
2
22 2
16 83 (43)43
k
kk
×=++
，解得 6
2k = ± --------------------11 分
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所以直线 MN 的方程为 6 12yx=±+ --------------------12 分
21.（本小题满分 12 分）
当 1m = 时， ( 1)(1 )( ) 2ln xxfx x x
−+= − ，
2
2
( 1)() xfx x
−−′ = . --------------------2 分
所以 () 0,()f x fx′ ≤ 在 (0, )+∞ 上单调递减， --------------------3 分
又 (1) 0, ( )f fx= ∴ 有且只有一个零点. ---------------------4 分
（Ⅱ） (1) 0f = ，
2
2
21() mx xfx x
− +−′ = . ---------------------5 分
（1）当 0m ≤ 时，在[1, )+∞ 上 () 0fx′ ≥ 恒成立， ()fx∴ 在 [1, )+∞ 上单调递增，
( ) (1) 0fx f∴≥=，不符合题意. ---------------------6 分
（2）当 0m > 时，设 2() 2 1g x mx x=−+−，
当 44 0m∆= − ≤ 即 1m ≥ 时， 2() 2 1 0g x mx x=− + −≤ 恒成立，
所以在[1, )+∞ 上 () 0fx′ ≤ 恒成立，
()fx∴ 在[1, )+∞ 上单调递减， ( ) (1) 0fx f∴≤=，符合题意， 1m∴≥. -----------8 分
当 44 0m∆= − > 即 01m=，不符合题意. -------------11 分
综上， m 的取值范围为[1, )+∞ . ---------------------12 分
22.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）当 1
2p = 时，一次检验就取得“实验成功”的概率为
22 33 3
33
11 1 1(1 ) 3 ( )42 2 2Cp p Cp− + =××+ = ； ------------------------2 分
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经过两次检验才取得“实验成功”的概率为
1 22
3
11 1 3[ (1 ) ] (3 )2 4 4 32Cp p p− = ×× ×= ； ------------------------4 分
在一次实验方案中“实验成功”的概率为 0
1 3 19
2 32 32p =+=. ------------------------5 分
（Ⅱ）设一次实验方案需要用到的经费为 X 元，则 X 的可能值为 900,1500. ----6 分
12
3( 900) 1 (1 )PX Cp p==−−； 12
3( 1500) (1 )PX Cp p= = − . ----------------7 分
所以 12 12 2
33( ) 900 [1 (1 ) ] 1500 (1 ) 900 1800 (1 )EX Cpp Cpp pp= ×− − + − = + − ，--------8 分
设 2( ) (1 )fp p p= − ，则 2( ) (1 ) 2 ( 1) (3 1)( 1)f p p pp p p′ =− + −= − −，
当 1(0, )3p∈ 时， () 0fp′ > ，所以 ()fp在 1(0, )3
上单增；
当 1( ,1)3p∈ 时， () 0fp′ < ，所以 ()fp在 1( ,1)3
上单减.
所以 ()fp的最大值为 14()3 27f = ， ------------------------10 分
因此实施一次此方案最高费用为 4 3500900 1800 27 3
+ ×= 元 ------------------------11 分
所以动物实验阶段估计最高试验费用为 43500 1750 2050100 5000 10 1003 33
+ ××=+=－ 万
元，因为 2050 7003
< ，所以该阶段经费使用不会超出预算. ------------------------12 分
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