2020届昆一中高三联考卷第八期联考
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
D
A
A
D
C
B
C
A
B
1. 解析：依题意，则，选C.
2. 解析：，易知图中阴影部分对应的集合为，，选B.
3. 解析：函数为非奇非偶函数，排除B，C选项；当时，，所以选A.
4. 解析：由已知：与共线，可得，所以在方向上的投影为：，
选D.
5. 解析：不超过的素数有，随机选取两个不同的数基本事件为， ，，，，，，，，，，，，，，其和等于的事件有和，所以概率为，选A．
6. 解析：因为， 所以，选A．
7. 解析：由正弦定理得：，
所以，即：，所以，选D．
8. 解析：；；；；，此时输出，结合选项，选C.
9．解析：设，的中点为，则平面，连结，
则是直线与平面所成角，在△中，
，选B．
10. 解析：因为，由已知得：，所以，所以，所以，解得，选C．
11. 解析：，可推出为周期为2的函数，所以，选A.
12. 解析：有题意可知，，所以，令,则，所以,所以，所以，选
二、填空题
13. 解析：因为，由导数的几何意义知，故曲线在点处的切线方程为.
14. 解析：直线过定点，
不等式组表示的区域如图：
可知的取值范围是：.
15. 解析：由得，所以，所以．
16. 解析：由题意可得，△△,所以,所以为三棱锥的外接球
的直径，设，则，所以，所以三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥的外接球体积的最小值为
三、解答题：
（一）必考题：
17. 解析：（1）时，
时，由 …①
可得 …②
①-②，，
因为适合，所以的通项公式为. ………6分
（2）， …③
，…④
③-④得
，. ………12分
18. 解：（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即，
则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品记为，3件为非优等品记为，
现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，
选中的2件均为优等品的事件为，，，所求概率为． ………6分
（2）解：对（）两边取自然对数得，
令，得，且，根据所给统计量及最小二乘估计公式有，
，
，得，故，
所求关于的回归方程为． ………12分
19.（1）证明：连接并延长交于，
由已知得平面，且，
所以，因为，
所以平面，所以，
因为四边形是平行四边形，且，
所以四边形是菱形，
所以，因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面. ………5分
（2）解：由已知得平面，所以侧棱与底面所成的角正切值为，
因为，所以，，
因为在底面上的射影是的重心，
所以等边三角形的边长为，
同理中，；
因为在底面上的射影是的重心，所以，且，
因为，所以平面，
所以，因为∥，所以，
故中，；
因为，所以为直角三角形，
设点到平面的距离为，由得
，所以，
即点到平面的距离为. ………12分
20. 解：(1)由条件可知，即点到的距离等于点到点的距离，
所以点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，
其方程为：.………5分
（2）设线段的垂直平分线与交于点，分别过点作，垂足为，
再过点作，垂足为，
因为， 所以∽，所以，
设，(不妨设)，由抛物线定义得， ，
所以，
而，
所以.………12分
21. 解：（1）当时，，，
若，因为，所以在上单调递增，又，
且，结合零点存在性定理可知在上有且仅有一个零点；
若，则且，所以；
若，因为，所以；
综上，在有且仅有一个零点. ……… 5分
（2）当时，,,且，故，
构造函数，，则 ，
若，则，故在上单调递增，
若，则，故在上单调递减，
故，即对任意恒成立，当且仅当时取得等号，
当时，，故对任意恒成立. ……… 12分
（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。
22. 解: （1） 将圆和圆的极坐标方程和两边乘， 由直角坐标和极坐标的互化公式：，，可得圆和圆的直角坐标方程分别为：：，两式相减可得圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程为. ………5分
（2）依题意可得两点的极坐标分别为,,所以,从而，当时等号成立，所以的最大值为. ………10分
23. 证明: （1）依题意可得，
因为，
所以， ………5分
（2）要证:,只需证: ,只需证: ,两边平方后化简整理即是: ,由题设知， 成立，所以，不等式成立. ………10分
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