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宣化第一中学 2020 年高考押题卷（一）
理科数学
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
1．已知集合 821 xxA ， NxxyxB ),1ln( ，则 BA ( )
A． 31 xx B． 31 xx C． 3,2 D． 3,2,1
2.已知复数 21, zz 在复平面内对应点关于实轴对称， iz 31 （i 为虚数单位），则
2
1
z
z =（ ）
A．
4 3
5 5 i
B．
4 3
5 5 i
C．
4 3
5 5 i
D．
4 3
5 5 i
3．若 2log,2,10sin 3
3.0 cba ，则 cba ,, 三个数的大小关系是（ ）
A． a c b B．b c a
C．b a c D． c a b
4.某工厂为 A,B 两个车间招聘了甲、乙等 4 位技术员，若随机安排他们，每个车间两人，
则其中甲、乙两人恰好在同一车间的概率是（ ）
A．
6
1 B．
3
1 C．
2
1 D．
5
1
5、在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列，若
ABC 外接圆的半径为 1，则 b=( )
A．
2
3 B．2 C． 3 D． 2
6、如果函数
xy
2cos2 在区间
12,8
上单调递减，那么 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7、若函数 y f x 的大致图象如图所示，则 f x 的解析式可以是文科数学 第 页 共 4 页2
A． e ex x
xf x B． e ex x
xf x
C． e ex x
f x x
D． e ex x
f x x
8、执行右边的程序框图，如果输入的
x = 0
，
y=1
，
n=1
，则输出
x,y 的值满足
( )
A.
y = 2x
B.
y = 3x
C.
y = 4x
D.
y = 5x
9、在等差数列
{an}
中，
a1>0
， 0aa 20202019 ， 0aa 20202019 ，
则使
Sn>0
成立的最大自然数 n 是
( )A. 4039 B. 4038 C.2020 D.2019
10、已知 AB 为圆 O：(x − 1)2 + y2 = 1 的直径，点 P 为直线 x − y + 1 = 0 上任意一点，则PA
⋅
PB
的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
11、如图，过抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点 F 的直线l 交抛物线于点 ,A B ，交其准
线于点C ，若 4BC BF ，且 6AF ，则 p 为
A． 9
4 B． 9
2 C．9 D．18
12、已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点，∠ABC = 60°，
AC = 2，P 为球 O 的球面上的动点，记三棱锥 P 一 ABC 的体积为V1，三棱锥 O 一 ABC 的
体积为V2，若V1
V2
的最大值为 3，则球 O 的表面积为( )
9
16. A 9
64. B 2
3. C
6.D
二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、曲线 xxy ln 在点（1，f（1））处的切线方程为文科数学 第 页 共 4 页3
14、已知
M = {(x,y)||x|
≤
2
，
|y|
≤
2}
，点 P 的坐标为
(x,y)
，则当
P
∈
M
时，满足
(x
−
2)
2
+
(y
−
2)
2
≤
4
的概率为______．
15、曲线 M 的焦点是 21, FF ，若双曲线 M 上存在点 P，使 21FPF 是有一个内角为
3
2 的
等腰三角形，则 M 的离心率是______.
16、设数列 na 满足
3
2
1 a ，且对任意的 *n N ，满足 2 2n
n na a ， 4 5 2n
n na a ,
则 2017a _________
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、如图，在正三棱柱
ABC
−
A1B1C1
中，E 是
BB1
的中点．
(1)
求证：截面
AEC1
⊥侧面
AC1
；
(2)
若
AA1 = A1B1 = 1
，求
B1
到平面
AEC1
的距离．
18、已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b
：
的左顶点为 ( 2 0)M ， ，离心率为
2
2 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 (1 0)N ， 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，当 MA MB
取得最大值时，求 MAB△
的面积．
19、如图，某广场为一半径为 80 米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域 内建两个
圆形花坛，该扇形的圆心角为变量 ，其中半径较大的花坛 P 内切于扇形，
半径较小的花坛 Q 与 P 外切，且与 、 相切．
（1）求半径较大的花坛 P 的半径（用 表示）；
（2）求半径较小的花坛的半径 Q 的最大值．文科数学 第 页 共 4 页4
20、已知函数
f(x) =
x+1
lnx ,g(x) =
e
x
x
−
1
．
(1)
当 x>1 时，不等式
f(x) > m
成立，求整数 m 的最大值；
(
参考数据：
ln2
≈
0.693
，
ln3
≈
1.099)
(2)
证明：当 x>1 时，
f(x) < g(x)
．
.21、2019 年 12 月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始
传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在
人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的
人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接
触一个患者后被感染的概率为
P(0 < p < 1)
，某位患者在隔离之前，每天有 a 位密切接触
者，其中被感染的人数为
X(0
≤
X
≤
a)
，假设每位密切接触者不再接触其他患者．
(
Ⅰ
)
求一天内被感染人数为 X 的概率
P(X)
与 a、p 的关系式和 X 的数学期望；
(
Ⅱ
)
该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天的潜伏期内患者无任何症状，为病
毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有 2 位密切接触者，从某一名患者
被感染，按第 1 天算起，第 n 天新增患者的数学期望记为
En(n
≥
2)
．
(i)
求数列
{En}
的通项公式，并证明数列
{En}
为等比数列；
(
ⅱ
)
若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率
p
′
= ln(1 + p)
−
2
3 p.当 p 取最大值时，计算此时
p
′所对应的
E6
′值和此时 p 对应的
E6
值，根据计算结果说明
戴口罩的必要性．
(
取
a = 10)
(
结果保留整数，参考数据：
ln5
≈
1.6
，
ln3
≈
1.1
，
ln2
≈
0.7)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分.作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．
22、在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 cos 3sin
sin 3 cos
x
y
（ 为参数），以
坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐
标方程为 cos 26
.
（1）求曲线 C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）直线l 与 y 轴交点为 P ，经过点 P 的直线与曲线C 交于 A ，B 两点，求
PBPA
11
的最大值。
23、设函数
f(x) = |ax|(x
2
− 4) − |x − 2|(x + 1)
．
(1)
当
a = 1
时，求不等式
f(x) < 0
的解集；
(2)
若
∃x ∈ (2, + ∞)
，使得不等式
f(x) < 0
成立，求
a
的取值范围．
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