书书书
数学"文史类#试题答案 第 !!!!! 页"共"页#
高中!"#$级第二次诊断性考试
数学!文史类"参考答案
一!选择题"!"分#
#!命题意图$本小题考查不等式的解法%集合补集和交集的基本运算等基础知识&
考查运算求解能力%集合思想!
解析$选 择 $%由 题 意 得 "% '#"## &#(%$% '#"#$#$'(%所 以 "%$%
'#"#$#$'(!
'!命题意图$本小题考查复数的几何意义%复数的乘法和除法运算等基础知识&考
查运算求解能力%推理论证能力%数形结合思想!
解析$选择 (%由题意知复数%%&#)'*%则 %
#)*%&#)'*
#)* %"&#)'*#!"#&*#
'
% #
' ) +
'*!
+!命题意图$本小题考查空间点%线%面的位置关系及其相关公理%定理及其推论
的理解和认识&考查空间想象能力%推理论证能力%考查数形结合思想%化归与
转化思想!
解析$选择 ,%!中%空间四边形的四条线段不共 面%故!错 误!"中%由 公 理 知
道%过不在同一条直线上的三点%有且只有一个平面%故"正确!#中%由定理知
道%空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行%那么这两个角相等
或互补%故#错误!$中%空间中%垂直于同一直线的两条直线可相交%可平行%
可异面%故$错误!
-!命题意图$本小题考查等差数列的性质%前&项和公式的应用等基础知识&考查
运算求解能力%应用意识!
解析$选择 .%因为''&(为等差数列%所以'-)'/%'!)'0%'!)+%解得'0%+%
所以(1%1"'#)'1#
' %12''0
' %1'0%'/!
0!命题意图$本小题主要考查函数奇偶性的应用%考查求导和切线的斜率的求法%
意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力%运算求解能力!
解析$选择 (%3)"##是 奇 函 数%4'&+%"%'%+%4)"##%+#+%4)*"##%
1#'%4)*"##%1!4曲线+%)"##在#%#处的切线的斜率为1!
!!命题意图$本小题考查三角函数的恒等变换%三角函数的图象与性质等基础知
识&考查运算求解能力%推理论证能力%数形结合思想%应用意识!
解析$选择 (%因为)"##%'567'#)"7*8#)567##' &'%#)567'#)#)7*8'#
槡&'% '7*8'#) %" #- %由 )"##单 调 递 增%则 ',%& %
' $'#) %
- $',%) %
'
",&%#%解得,%&+%
9 $#$,%) %
9 ",&%#!
/!命题意图$本小题考查等比数列的通项与性质等基础知识&考查运算求解能力%
逻辑推理能力%应用意识!
解析$选择 $%由题意 有'#'! %'''0 %'"%因 为 数 列''& (为 正 项 的 递 增 等 比 数
列%由 '#)'!%#'%
'#'!%'"' % 解得'#%'%'!%#"%设该等比数列的公比为-%则-0%0%所
以''"'"&''"#1
''"#"&''""1
%-#"%'0!
9!命题意图$本小题考 查 线 性 规 划%两 点 间 距 离 公 式 等 基 础
知识&考查运算求解能力%数形集合思想%应用意识!
解析$选 择 ,%由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 是 由 " "'%"#%
$""%##%."'%'#三点所围成的三角形及其内部%如图中阴
影部分%而#')+' 可 理 解 为 可 行 域 内 的 点 到 原 点 距 离 的
平方%显然原点到 "$ 所在的直线#)'+&'%"的距离是
可行域内的点到原点距离的最小值%此时#')+'%/0'% /"!/$" #"$
'
% -
0 !
1!命题意图$本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识&考查运算求解能
力%逻辑推理能力和数学应用意识!
解析$选择 (%由题意可得& 的取值为成绩大于等于1"的人数%1 的取值为成
绩大于等于!"且小于1"的人数%故 1%'-%&%#'%所以 1&&%'-&#'%#'!
#"!命题意图$本小题考查多面体与球的切)接问题%以及球的表面积等基础知识&
考查空间想象能力%推理论证能力%运算能力%考查数形结合思想%化归与转化
思想!
解析$选择 .%3"$%".%+%$.%'%则 "0% +'&#槡 ' 槡%' '%$0'.0%又
$0'"0%.0'"0%4可以将三棱锥 0&"$. 可补成一个长方体%则经过 "%
$%.%0 的球为长方体的外接球%设球的半径为2%故"'2#'%"0')$0').0'
%9)#)#%#"%所以2'% 0
' %所以所求的表面积为(%-%2'%#"%!
##!命题意图$本小题考查函数的定义域与值域等基础知识%考查学生分析问题%
解决问题的能力%运算求解能力%转化与化归思想%换元思想%分类讨论和应用
意识!
解析$选择 ,%因为)"##% #
' "'##'&+!'# )-%令'# %3"#(3(-#%则)"3#%
#
'3'&+3)-"#(3(-#%函 数 的 对 称 轴 方 程 为3%+%所 以 )"3#:*8 %)"+#%
& #
' %)"3#:;/+2'!%&#!/>19!
所以+ 关于# 的回归方程为=+%/>/+#&#!/>19! /分………………………
"'#在题中的!组发芽的粒数不大于+"的组数有-组%设为"#%"'%"+%"-%则
列出选 出 ' 组 的 所 有 可 能 如 下$""#%"' #%""#%"+ #%""#%"- #%""'%"+ #%
""'%"-#%""+%"-#共!种情况! #"分…………………………………………
在这 两 组 数 据 中 至 少 有 一 组 满 足 - 发芽数
沙藏时间 ( #
' .的 情 况 有$""#%"' #%
""#%"+#%""#%"-#%""'%"+#%""'%"-#共0种情况%故所求概率是 6% 0
! !
#'分…………………………………………………………………………
#1!命题意图$本小题考查线面的位置关系%异面直线所成的角%三棱锥的体积等
基础知识%考查空间想象能力%推理论证能力%运算求解能力%数形结合思想%
化归与转化思想!
解析$"##作 0#0 的中点 > %连接 4>%7>!
又4 为"#0# 的中点%
44> 为*"#00# 的中位线%44>."#0!
又 7 为 8. 的中点%
47> 为梯形0#0.8 的中位线%47>..0!
在平面 "#0. 中%"#0%.0%0%
在平面 4>7 中%4>%7>%>%
4平面 "#0..平面 4>7%
又47/平面 4>7%447.平面 "#0.! -分…………………………………
"'#?.#&7.@ %?@&.#7. % #
+ 2(*.#7. 2.@% #
+ 2 #
' 2(*.#8. 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.@数学"文史类#试题答案 第 "!!!! 页"共"页#
% #
! 2 #
' 2.#82..#2.@% #
#'2#2'2#% #
! !
故所求三棱锥.#&7.@ 的体积为 #
! ! 9分……………………………………
"+#连接 $#.%8$#%因为在长方体 "$.0&"#$#.#0# 中%"#0.$#.%
且 "#0%$#.%又点 8 在直线.7 上%
所以直线 "#0 与直线.7 所成角即为$#. 与.8 所成的角%
即是)$#.8"或其补角#! 1分…………………………………………………
在*$#.8 中%$#. 槡%''%8. 槡% 0%8$# 槡% 0!
由余弦 定 理 得 567)$#.8 %.8')$#.'&$#8'
'.8!$#. % "槡0#')"槡' '#'&"槡0#'
'!槡0! 槡' '
% 槡#"
0 %故所求直线 "#0 与直线.7 所成角的余弦值为 槡#"
0 ! #'分………
'"!命题意图$本小题考查抛物线方程%直线与抛物线%平面向量的数量积等基础
知识%考查学 生 的 数 形 结 合 思 想%分 析 问 题%解 决 问 题 的 能 力%推 理 与 运 算
能力!
解析$"##因为*647 是周长为#'的等边三角形%
所以"64"%"67"%"47"%-%
由抛物线的定义可得 64'A%设准线A与+ 轴交于点0%
则 64.07%从而)647%)470%!"A%
在 ?@*407 中%"07"%"47"567)470%-2 #
' %'%即5%'%
所以抛物线. 的标准方程为#'%-+! 0分……………………………………
"'#由"##知抛物线. 的标准方程为#'%-+!
又由题意可知%直线A# 的斜率存在且不为"%
因为5%'%所以点"5%"#即为"'%"#%
设直线A# 的方程为+%,"#&'#%
将+%,"#&'#代入#'%-+%消去+ 可得#'&-,#)9,%"%
则%%,'&',#"%解得,("或,#'! 9分……………………………………
设 8"##%+##%@"#'%+'#%则##)#'%-,%###'%9,%且+#%#'
#
- %+'%#'
'
- %
所以 12278! 1227@%"##%+#&##!"#'%+'&##%###')+#+'&"+#)+'#)#
%###')#'
##'
'
#! &#'
#)#'
'
- )#% ###'" #-
'
&"##)#'#'
- ) +
'###')#
%#',)#("%
解得,(& #
#'%所以直线A# 的斜率的取值范围为 &B%& #" ##' ! #'分………
'#!命题意图$本小题考查函数的图像的对称性%切线方程%利用导数证明不等式
等基础知识&考查学生分析问题%解决问题的能力%推理与运算求解能力%转化
与化归思想%数形结合思想和应用意识/
解析$"##由 #&+&#%"%
'#&+&'%"' %解得 #%#%
+%"' !
A' 必过A# 与A的交点""#%"#! #分……………………………………………
在A# 上取点 $""%&'#%易 得 点 $""%&'#关 于A对 称 的 点 为$*"&#%&##%
A' 即为直线 "$*%所以A' 的方程为 +&"
&#&"% #&#
&#&#%即#&'+&#%"%其斜率
为 #
' ! +分…………………………………………………………………………
又 7*"##%&'#')"''&###
C# %
&'##&''&#" #'
C# %
所以函数7"##在#%#处的切线的斜率为'&#
C %
由题意可得'&#
C % #
' %解得'%#) C
' ! !分……………………………………
"'#法一$因为 7"##%'#')#)#
C# %
所以 7*"##%&'#')"''&###
C# %
&'##&''&#" #'
C# %
!若'% #
' %7*"##%&'#'
C# $"!47"##在 & 上单调递减! 9分………………
"若"('( #
' %则''&#
' ("%当#(''&#
' %或##"时%7*"##("%当''&#
' (
#("时%7*"###"!
47"##在 &B%''&#" #' %""%)B#上单调递减%在 ''&#
' %" #" 上单调递增!
#"分…………………………………………………………………………
综上%当"('$ #
' 时%函数 7"##在""%)B#上单调递减%所以 7"##(7""#%
又 7""#%#
所以%当##"时%7"##(#恒成立! #'分………………………………………
法二$要证7"##(#%即证'#')#)#
C# (#%因为C# #"%即证'#')#)#(C# !
3"('$ #
' %4'#')#)#$ #
'#')#)#! /分………………………………
设B"##%C# & #
'#'&#&#%则B*"##%C# &#&#!
设5"##%B*"##%C#&#&#%则5*"##%C#&#%在""%)B#上%5*"##3"恒成立!
4B*"##在""%)B#上单调递增! 1分…………………………………………
又3B*""#%"%4#&""%)B#时%B*"###"%所以B"##在""%)B#上单调递增%
4B"###B""#%"%4C# & #
'#'&#&##"%C# # #
'#')#)#%
所以C# # #
'#')#)#3'#')#)#%
所以'#')#)#(C# 在""%)B#上恒成立!
即当##"时%'#')#)#
C# (#恒成立!
综上%当##"时%7"##(#恒成立! #'分………………………………………
"二#选考题$共#"分!
''!命题意图$本小题考查坐标变换%极径与极角&直线%圆的极坐标方程%圆的参
数方程%直线的极坐标方程与普通方程%点到直线的距离等!考查数学运算能
力%包括运算原理的理解与应用)运算方法的选择与优化)运算结果的检验与
改进等!也兼考了数学抽象素养)逻辑推理)数学运算)直观想象等核心素养!
解析$"##因为曲线. 的参数方程为 #%'567!%
+%7*8' !
"!为参数#%
因为 ##%#%
+#%'' +
则曲线.# 的参数方程 ##%'567!%
+#%'7*8' !
'分………………………
所以.# 的普通方程为#'
#)+'
#%-!所以曲线.# 为圆心在原点%半径为'的圆!
+分………………………………………………………………………………
所以.# 的极坐标方程为&'%-%即&%'! -分…………………………………
"'#!点 4 的极角为 %
' %代入直线A的极坐标方程&567$)&7*8$&0%"得点 4
极径为&%0%且"47"%0%所以*4/7 为等腰三角形%又直线A的普通方程为
#)+&0%"%又点7 的极角为锐角%所以)74/% %
- %所以)7/4%+%
9 %所以
点 7 的极角为 %
' &+%
9 % %
9 ! /分………………………………………………
"解法#$直线A的普通方程为#)+&0%"!
曲线.# 上的点 8 到直线A的距离
C%"'567!)'7*8!&0"
槡'
%
槡' '7*8 !) %" #- &0
槡'
!
当7*8 !) %" #- %#%即!%',%) %
- ",&%#时%
C 取到最小值为" 槡' '&0"
槡'
% 槡0 '
' &'!
当7*8 !) %" #- %&#%即!%',%&+%
- ",&%#时%
C 取到最大值为" 槡&''&0"
槡'
% 槡0 '
' )'!
所以*487 面积的最大值为 #
' 202 槡0 '
'" #)' % 槡'0'
- )0&
所以*487 面积的最小值为 #
' 202 槡0 '
'" #&' % 槡'0'
- &0&
故*487 面积的取值范围 槡'0'
- &0% 槡'0'
-* +)0 ! #"分……………………
解法'$直线A的普通方程为#)+&0%"!
因为圆.# 的半径为'%且圆心到直线A的距离C%"")"&0"
槡'
% 槡0 '
' %
因为 槡0 '
' #'%所以圆.# 与直线A相离!
所以圆.# 上的点 8 到直线A的距离最大值为C)2% 槡0 '
' )'%
最小值为C&2% 槡0 '
' &'!
所以*487 面积的最大值为 #
' 202 槡0 '
'" #)' % 槡'0'
- )0&
所以*487 面积的最小值为 #
' 202 槡0 '
'" #&' % 槡'0'
- &0&
故*487 面积的取值范围 槡'0'
- &0% 槡'0'
-* +)0 ! #"分……………………
'+!命题意图$本 小 题 考 查 了 绝 对 值 不 等 式%绝 对 值 三 角 不 等 式 "'"&":" $
"'D:"$"'")":"和函数最值问题%考查运算求解能力%推 理 论 证 能 力%化 归
与转化思想!
解析$"##)"##%
&+#%#(&#
&#)'%&#$#$ #
'
+#%##
4
5
6
#
'
%
由)"##$#)'得 #(&#
&+#$#' )'
或 &#$#$ #
'
&#)'$#
4
5
6 )'
或 ## #
'
+#$#
4
5
6 )'
&
解得"$#$#!故所求解集为*"%#+! 0分………………………………………
"'#9"##%"#)'"#1")"#)'"'#&'"3""#)'"#1#&"#)'"'#&'#"%"'&'"%
即9"##&*"'&'"%)B#!
由"##知)"##%
&+#%#(&#
&#)'%&#$#$ #
'
+#%##
4
5
6
#
'
%
所以)"##:*8%)" ##
' % +
' %即)"##& +
' %)B* #!
4 +
' 3"'&'"%4 #
' $'$ /
' ! #"
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
分……………………………………………
微信/支付宝扫码支付