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武昌区 2020 届高三年级四月调研测试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A = {x | x2 − 2x − 3 < 0} ， B = {x |log2x>0} ，则 A B =
A．{x |1 < x < 2} B．{x | 0 < x < 2} C．{x | 1 < x < 3} D．{x | 0 < x < 1}
2． i 为虚数单位，复数 z = 1 − 2i
(1 + i)2 的虚部为
A． 1 B． − 1 C． 1 i D． − 1 i
2 2 2 2
3．设等差数列{a n} 的前n 项和为Sn ，且a ≠ 0 ，若a5=3a3，则
A． 5 B． 9 C． 5 D． 5
9 5 3 27
4．已知函数 f ( x) 是定义域为R 的奇函数，当 x > 0 时， f ( x) = 2x + 2x − a ，则 f (−1) =
A. 3 B. − 3 C. − 2 D. − 1
2x + y − 2 ≥ 0,
5． 已知实数 x ， y 满足 3x − y − 3 ≤ 0, 则 z = x − 3y 的最小值为
x − 2 y + 4 ≥ 0,
A． − 7 B． − 6 C．1 D．6
6．已知(3x + a)( 1 − 1)5 的展开式中常数项为 14，则实数a 的值为
x
A． − 1 B．1 C． 4 D． − 4
5 5
5
9
S
S
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3
7．若tan α = 3 tan
2π
7 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知a = ln 3 ， b =
A． c < b < a
3 ln 2 ， c = log3 2 ，则
B． c < a < b C． a < b < c D． a < c < b
9 ． 已知直三棱柱 ABC − A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的表面上， 若 AB = AC = 1 ，
AA1 = 2 , ∠BAC = ，则球O 的体积为
A． 32π
3 B． 3π C． 4π
3
D． 24π
3
10．如图所示，在由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角
形中，设 DF = 3FA ，则
A．
B．
C．
D．
11．已知双曲线C : (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ， P 为双曲线C
的右支上一点，点 M 和 N 分别是∆PF1F2 的重心和内心，且 MN 与 x 轴平行，若
| PF1 |= 4a ，则双曲线的离心率为
A． 3 B．2 C． D．
2
12．已知一个正方形的四个顶点都在函数 f ( x) = x3 − 9 x + 1的图像上，则此正方形的面积
2
为
A．5 或17 B．5 或 10 C．5 或 17 D．10 或 17
2
3cos( )4
2sin( )7
πα
πα
−
=
−
2
3
π
36 24
63 63AD AB AC= +
36 12
63 63AD AB AC= +
48 24
63 63AD AB AC= +
48 12
63 63AD AB AC= +
2 2
2 2 1x y
a b
− =
3
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二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．数列{a n} 的前n 项和为 Sn ， a1= 1 ， an + an+1=4 × 3n−1 ，则 S2020 = .
14．有人收集了七月份的日平均气温t （摄氏度）与某冷饮店日销售额 y （百元）的有关
数据，为分析其关系，该店做了五次统计，所得数据如下：
由资料可知， y 关于t 的线性回归方程是 yˆ = 1.2t + aˆ ，给出下列说法：
① aˆ = −32.4 ；
②日销售额 y （百元）与日平均气温t （摄氏度）成正相关；
③当日平均气温为 33 摄氏度时，日销售额一定为 7 百元.
其中正确说法的序号是 .
15．已知 F 是抛物线 y =1
8 x2 的焦点，P 为抛物线上的动点，且 A 的坐标为(3,−2) ，则
的最小值是 .
16．已知ω > 0 ，函数 f ( x) = sin(ωx − ) 的图像在区间( , π) 上有且仅有一条对称轴，则
实数ω 的取值范围是 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（本题 12 分）
在∆ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，且 ．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 b = 6 ，且 AC 边上的中线长为 4，求∆ABC 的面积．
18．（本题 12 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 P − ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 梯 形 ， AD // BC ，
AB = AD = DC = BC = 2 ， PB ⊥ AC .
（1）证明：平面 PAB ⊥ 平面 ABCD ；
（2）若 PA = 4 ， PB = 2
角 B − PC − D 的余弦值.
，求二面
| |
| |
PF
PA
4
π
2
π
sin sin
sin
A B a c
C a b
− −= +
1
2
3
日平均气温t （摄氏度） 31 32 33 34 35
日销售额 y （百元） 5 6 7 8 10高三理科数学 第 4 页（共 5 页）
19．（本题 12 分）
已知椭圆 C： 经过点 P (2,1) ，离心率为 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 P 作两条互相垂直的弦 PA，PB 分别与椭圆 C 交于点 A，B，求点 P 到直线
AB 距离的最大值．
20．（本题 12 分）
某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为
单位（一套住宅为一户）．
阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯
月用水范围（吨) (0 ，12] (12 ，16] (16, +∞)
为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 10 户居民的月用水量（单
位：吨），得到统计表如下：
居民用水户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用水量（吨) 7 8 8 9 10 11 13 14 15 20
（1）若用水量不超过 12 吨时，按 4 元/ 吨计算水费；若用水量超过 12 吨且不超过 16
吨时，超过 12 吨部分按 5 元 / 吨计算水费；若用水量超过 16 吨时，超过 16 吨部分按 7 元
/ 吨计算水费．试计算：若某居民用水 17 吨，则应交水费多少元？
（2）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期
望；
（3）用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取 10
户，若抽到k 户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值．
21．（本题 12 分）
已知函数 f ( x) = (e − x) ln x （ e 为自然对数的底数）．
（1）求函数 f (x) 的零点，以及曲线 y = f (x) 在其零点处的切线方程；
（2）若方程 f (x) = m (m ≠ 0) 有两个实数根 x1 ， x2 ，求证：| x1 −x2|< e − 1 − .
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
2
e
e 1
m
−
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1 2 1 2
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题 10 分）
x = 2 cosθ
在直角坐标系 xOy 中，已知曲线C1 的参数方程为 y = 3 + 2sinθ (θ 是参数），以O 为
极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin(θ + ) = 2 2.
（1）求曲线C1 和曲线C2 的普通方程；
（2）曲线 C 2 与 x 轴交点为 P ，与曲线 C 交于 A ， B 两点，求 的值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分）
（1）解不等式| x − 2 | + | x + 3 |≥ 9 ；
（2）若| a |< 1 ， | b |< 1 ，求证：| ab + 1 |>| a + b |.
4
π
1 1
| | | |PA PB
+
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