开学验收测试（理科数学）学科试卷（第1 页 共 5 页）
2019—2020 学年高三年级下学期
开学验收测试（理科数学）学科试卷
考试时间：120 分钟 试卷满分:150 分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）
填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)
一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．设集合 {0,1}M = ， {| 01}Nxx= ，则 MN=U （ ）
A．[0,1] B． (0,1] C．[0,1) D． ( ,1 ]−
2．命题 :pxR ， 2 20xx−的否定为（ ）．
A． xR ， 2 20xx− B． ， 2 20xx−
C． xR ， D． ，
3．若复数 34sincos 55zi=−+−
是纯虚数，则 tan() − 的值为( )
A． 3
4 B． 4
3 C． 3
4− D． 4
3−
4．已知变量푥，푦满足
20
230
0
xy
xy
x
−
−+
，则 4log (24)zxy=++ 的最大值为（ ）
A． 2 B． 3
2 C． 2
3 D．1
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5．设 0a ， 0b ， l g 2 是 l g 4 a 与 l g 2 b 的等差中项，则 21
ab+ 的最小值为（ ）
A． 22 B． 3 C． 4 D． 9
6．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是： 1 18x = ， 2 19x = ， 3 20x = ， 4 21x = ， 5 22x = ，
现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的 S 值及其统计意义分别是( )
A． 2S = ，即 5 个数据的方差为 2 B． ，即 5 个数据的标准差为 2
C． 10S = ，即 5 个数据的方差为 10 D． ，即 5 个数据的标准差为 10
7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，
这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随
机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论
基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设 A 为圆 O 上一个定点，在圆周上随机取一点 B，连接 AB，
所得弦长 AB 大于圆 O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ）
A． 1
5 B． 1
4 C． 1
3 D． 1
2
8．椭圆
22
1169
xy+=的两个焦点为 1F ， 2F ，过 的直线交椭圆于 A、B 两点，若 6AB = ，
则 11AF BF+ 的值为 ( )
A．10 B．8 C．16 D．12
9．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位： cm ），可知此几何体的体积是（ ）
A． 324cm B． 364 cm3
C． 3(6 2 5 2 2)cm++ D． 3(248 582)cm++
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10．已知函数 ( ) s i nf x x = ，将 ()fx的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 1
2
，纵坐标扩大为原来的 3 倍，
再把图象上所有的点向上平移 1 个单位长度，得到函数 ()y g x= 的图象，则函数 ()gx 的周期可以为（ ）
A．
2
B． C． 3
2
D． 2
11．过曲线
22
1 22:1(0,0)xyCabab−= 的左焦点 1F 作曲线 222
2 :C x y a +=的切线，设切点为 ,M 延长
1FM 交曲线 2
3 :2(0)Cypxp =于点 ,N 其中 13,CC有一个共同的焦点，若푀퐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 푀푁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ,则曲线 1C 的离
心率为（ ）．
A． 51
2
+ B． 5 C． 21
2
+ D． 2
12．函数 ( )fx满足 1()(),[,) 2
xefxfxx x=++ ， (1)fe=− ，若存在 2 ,1a − ，使得
31(2)32faae m−−−− 成立，则 m 的取值（ ）
A． 2 ,13
B． 2 ,3
+
C． )1, + D． 12,23
第Ⅱ卷（非选择题)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。
13（1）．( )
5
5 111x x
+−
的展开式中的 x 项的系数等于____________ .
13（2）．在直角三角形 ABC 中，
2C = ，|퐴퐶⃗⃗⃗⃗⃗ | = 3，对于平面 ABC 内的任一点 M ，平面 内总有一
点 D 使得3푀퐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 푀퐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2푀퐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则퐶퐷⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 퐶퐴⃗⃗⃗⃗⃗ =_________.
13（3）．四棱锥 SABCD− 中，底面 A B C D 为矩形， 4=AD ， 2AB = ，且 8SASD+=，当该四棱锥的
体积最大时，其外接球的表面积为_________.
13（4）已知函数 2( ) cos 2
xf x x = ，数列 na 中， ( )*( )(1)naf nf nnN=++ ，
则数列 的前 100 项之和 100S = ____．
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三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 14-18 题为
必做题,每个考生都必须作答.第 19（1）/19（2）题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
14．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， ( )sin 2cos( )cos 02B C B C+ + + = ，
（1）求证： BC= ；
（2）若 3c o s 5A = ， 的外接圆面积为 25
4
，求 的周长．
15．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，从产品中随机抽取了 80 个进行测量，根据所测
量的数据画出频率分布直方图如下：
如果：尺寸数据在 )6 3 . 0 ,6 4 . 5 内的零件为合格品，频率作为概率.
(1)从产品中随机抽取 4 件，合格品的个数为 ，求 的分布列与期望：
(2)为了提高产品合格率，现提出 ， 两种不同的改进方案进行试验，
若按 方案进行试验后，随机抽取 15 件产品，不合格个数的期望是 2 ：
若按 方案试验后，抽取 25 件产品，不合格个数的期望是 ，你会选
择哪个改进方案?
16．如图，四边形 A B C D 是边长为 2 的菱形，且 60ABC =，BM ⊥ 平面 ，퐵푀 ∥ 퐷푁， 2BMDN= ，
点 E 是线段 MN 上任意一点．
(1)证明：平面 EAC ⊥ 平面 B M N D ；
(2)若 AEC 的最大值是 2
3
，求三棱锥 MNAC− 的体积．
17．已知椭圆方程为
22
221(0)xy abab+= ，其右焦点 F 与抛物线 2 43yx= 的焦点重合，过 且垂直
于抛物线对称轴的直线与椭圆交于 M 、 N 两点，与抛物线交于 、 D 两点． ||43||
CD
MN =
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l 与(1)中椭圆相交于 , 两点, 直线OA l OB、 、 的斜率分别为 12k k k、 、 (其中 0k )，且
成等比数列；设 OAB△ 的面积为 S , 以OA、OB 为直径的圆的面积分别为 1S , 2S , 求 12SS
S
+
的取值范围. 开学验收测试（理科数学）学科试卷（第5 页 共 5 页）
18．设函数 ( ) l n ( 1 )f x a x =+， ( ) 1 xg x e =−，其中 R ， 2 . 7 1 8e = …为自然对数的底数．
（1）当 0x 时， ( ) ( )f x g x 恒成立，求 a 的取值范围；
（2）求证： 1010952000
10001791e (参考数据： l n1 . 1 0 . 0 9 5 )
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22,23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
19（1）．选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
c os
1 sin
x
y
=
=+
（其中 为参数）.以 O 为极点， x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）设直线 l 的极坐标方程是 s in ( ) 2 3
+=，射线 OM ：
6
= 与曲线 的交点为 P ，与直线 的交
点为 Q ，求线段 PQ 的长.
19（2）．选修 4-5：不等式选讲
已知函数 1()||||fxxmx m=++− ，其中 0m .
（1）当 1m = 时，解不等式 ()4fx ；
（2）若 aR 且 0a ，证明： 1( ) ( ) 4f a f a− + .
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