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‎2020年石景山区高三统一测试 数学 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1. 设集合，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎2. 在复平面内，复数对应的点分别为.若为线段的中点，则点对应的复数是 A. B. C. D. ‎ ‎3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是 A. B. C. D. ‎ ‎4. 圆的圆心到直线的距离为1，则 A. B. C. D.2‎ ‎5. 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ ）种 A.36 B.64 C.72 D.81‎ ‎6. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.2 B.4 C.5 D.8‎ ‎7. 函数的最小正周期为，则满足 A. 在上单调递增 B.图象关于直线 对称 ‎ C. D.当 时有最小值-1‎ ‎8. 设是等差数列，其前项和为.则“”是“为递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9. 设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得 ，则称函数具有性质，那么下列函数：‎ ‎①； ②； ③；‎ 具有性质 的函数的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎10. 点 分别是棱长为2的正方体中棱 的中点，动点在正方形 （包括边界）内运动.若面 ，则的长度范围是 A. B. C. D. ‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11. 已知向量 ，则= .‎ ‎12. 已知各项为正数的等比数列中，，其前项和为 ，且 ‎ ，则= .‎ ‎13. 能够说明“设是任意非零实数，若“，则”是假命题的一组整数的值依次为 .‎ ‎14. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点 ，若为 的中点，则= .‎ ‎15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是 、 .‎ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎16.（本小题14分）‎ 如图，在正四棱锥 中，.‎ ‎（Ⅰ）求证： 面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎17. （本小题14分）‎ ‎2020年，北京将实行新的高考方案，新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定：否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定.“物理、化学和生物”为其选考方案.‎ 某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选性别考科目人数如下表：‎ 性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定的有16人 ‎16‎ ‎16‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ 选考方案待确定的有12人 ‎8‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 女生 选考方案确定的有20人 ‎6‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎2‎ ‎6‎ 选考方案待确定的有12人 ‎2‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？‎ ‎（Ⅱ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；‎ ‎（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名.‎ 设随机变量 ，求的分布列和期望.‎ ‎18. （本小题14分）‎ 已知锐角，同时满足下列四个条件中的三个：‎ ‎① ② ③ ④‎ ‎（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求的面积.‎ ‎19.（本小题15分）‎ 已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为.直线过点 且不平行于坐标轴，与有两交点 ，线段的中点为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（Ⅲ）延长线段与椭圆交于点 ，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.‎ ‎20.（本小题14分）‎ 已知函数 ，.‎ ‎（Ⅰ）若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，过上一点作的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由.‎ ‎21. （本小题14分）‎ 有限个元素组成的集合 ，记集合中的元素个数为，即 .定义 ，集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质 .‎ ‎（Ⅰ），判断集合是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）设集合，且，若集合具有性质 ，求 的最大值；‎ ‎（Ⅲ）设集合，其中数列为等比数列，且公比为有理数，判断集合是否具有性质并说明理由.‎