江西省九江市2020届第二次高考模试统一考试理科数学（解析版）.pdf

绝密 ★ 启封并使用完毕前 九江市 2020 届第二次高考模拟统一考试 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第Ⅰ卷（选择题 60 分） 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 { | 1}A x x ³= Î -Z ， 2{ | 2}B x x= < ，则 A B =I ( ) A.{ | 1 2}x x£- < B.{ | 1 2}x x- £ < C.{ , , }1 0 1- D.{ }0 1， 2.已知复数 z 满足 ( ) 103 iz - = ，则 z =( ) A. 3 i- - B. 3 i- + C.3 i- D.3 i+ 3.已知等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 1 3 5 2a a+ = ， 4 15 2S = ，则 1a = ( ) A. 1 2 B.1 C. 2 D. 2 4.已知 (2, 2)P 为抛物线 2: 2 ( 0)C y px p= > 上一点，抛物线C 的焦点为 F ，则| |PF = ( ) A. 2 B. 5 2 C. 3 D. 7 2 5.将函数 2cos(2 )6y x p= + 的图像向左平移 6 p 个单位得到函数 ( )f x ，则函数 ( ) sin f xy x x= 的图像大致为( ) B x y O 2p p 1- -p 2- 2- p 1 2 A x y O 2p p 1- -p 2- 1 2 2- p 理科数学试题 x y O 2p p 1- -p 2- 2- p 1 2 C x y O 2p p 1- -p 2- 2- p 1 2 D 第1页 （共4页） 6.已知 0 1a b< < < ，则下列结论正确的是( ) A. log 2 log 2a b< B. log loga bb a> C. b aa b< D. a ba b< 7.若 254 a+ ( Ra Î )能被9 整除，则| |a 的最小值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8.第 41 届世界博览会于 2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日，在中国上海 举行，气势磅礴的中国馆──“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东 方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文 化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高33.3 米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠” 类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9 米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为( ) A. 20° B. 28° C. 38° D.48° 9.已知双曲线 2 2 2 2: 1yxE a b- = ( 0, 0a b> > )的左右焦点分别为 1 2,F F ，以原点 O 为圆心， 1OF 为半径的圆与 双曲线 E 的右支相交于 ,A B 两点，若四边形 2AOBF 为菱形，则双曲线 E 的离心率为( ) A. 3 1+ B. 3 C. 2 D. 2 1+ 10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档 中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁 下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表 示数字 65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档 位各拨一颗下珠，则所拨数字大于 200 的概率为( ) A. 3 8 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周， 它们的中心的运动轨迹长分别为 1 2 3 4, , ,l l l l ，则( ) A. 1 2 3 4l l l l< < < B. 1 2 3 4l l l l< < = C. 1 2 3 4l l l l= = = D. 1 2 3 4l l l l= = < 12.已知函数 ( ) ln 1f x x x= - - ， ( ) lng x x= ， ( ) [ ( )]gF x f x= ， ( ) [ ( )]G x g f x= ，给出以下四个命题: ① ( )y F x= 为偶函数；② ( )y G x= 为偶函数；③ ( )y F x= 的最小值为0；④ ( )y G x= 有两个零点.其中真 命题的是( ) A.②④ B.①③ C.①③④ D.①④ 第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题， 学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量 ,a b 满足 1=a ， 2=b ， ( )^ -a a b ，则 a 与 b 的夹角为 . 第2页 （共4页）14.设 ,x y 满足约束条件 2 2 0 2 2 0 x y x y y x + -ìï - +í ïî ≤ ≥ ≥ ，则 3 2z x y= - 的最大值是 . 15.如图，在一个底面边长为 2 ,侧棱长为 10 的正四棱锥 P ABCD- 中，大球 1O 内切于该四棱锥， 小球 2O 与大球 1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 2O 的体积为 . 1O P 2O C B A D 16.已知单调数列{ }na 的前n 项和为 nS ，若 2 1n nS S n n++ = + ， 则首项 1a 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分） 在 ABCD 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且 a b c> > .已知sin cos cos sin sin 2 sinA B C B B A- = - ． (Ⅰ)求证: , ,a b c 成等差数列； (Ⅱ)若 5b = ， 5 3sin 14B = ，求 ,a c的值． 18.(本小题满分 12 分） 如图所示的几何体 1 1 1ABC A B C- 中，四边形 1 1ABB A 是矩形，四边形 1 1BCC B 是梯形， 1 1//B C BC ，且 1 1 1 2B C BC= ， AB AC= ，平面 1 1ABB A ^ 平面 ABC. (Ⅰ)求证:平面 1 1AA C ^ 平面 1 1BCC B ； (Ⅱ)若 120CABÐ = ° ，二面角 1 1 1C AC B- - 为120° ，求 1AA AB 的值. A B C 1A 1B 1C 19.(本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 2 2: 1yxC a b+ = ( 0a b> > )的离心率为 2 2 ，左右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F 且 斜率不为0 的直线 l与椭圆C 交于 ,A B 两点， 1 1,AF BF 的中点分别为 ,E F ， OEFD 的周长为2 2 ． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ)设 2ABFD 的重心为 G ，若 2| | 6OG = ，求直线l 的方程． 20.(本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) lnf x x x x ax= + - ( Ra Î ). (Ⅰ)若 3a = ，求 ( )f x 的单调性和极值； (Ⅱ)若函数 1( ) exy f x= + 至少有1个零点，求 a 的取值范围. 第3页 （共4页）21.(本小题满分 12 分） 羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发 球权.每一局中，获胜规则如下:①率先得到 21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现 20:20，需要 领先对方 2分才算该局获胜；③如果双方得分出现 29:29，先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运 动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为 p ；乙发球时，甲得分的概率为 q . (Ⅰ)若 2 3 p q= = ，记“甲以 21:i ( 19i £ , Ni Î )赢一局”的概率为 ( )iP A ，试比较 9( )P A 与 10( )P A 的大小； (Ⅱ)根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右2 2´ 列联表部分数据.若不考虑其它因 素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为 ,p q 的值. ①完成 2 2´ 列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、 发球有关”？ ②已知在某局比赛中，双方战成27 : 27 ，且轮到乙发球，记双方再战 X 回合此局比赛结束，求 X 的分布列与期望. 参考公式: 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d - = + + + + ，其中n a b c d= + + + . 临界值表供参考： 甲得分 乙得分 总计 甲发球 50 100 乙发球 60 90 总计 190 2( )P K k³ 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修 4─4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 E 的参数方程为 1 2cos 2sin x y j j = +ìí =î (j 为参数)，以O 为极点， x轴非负半轴为极 轴建立极坐标系，直线 1l , 2l 的极坐标方程分别为 0q q= ， 0 2q q p= + ( 0 (0, )q Î p )， 1l 交曲线 E 于点 ,A B ， 2l 交曲线 E 于点 ,C D . 23.[选修 4─5：不等式选讲](本小题满分 10 分） 已知函数 1 2( ) 2 1 x xf x x + - -= - 的最大值为 m ． (Ⅰ)求 m 的值； (Ⅱ)若 , ,a b c 为正数，且 a b c m+ + = ，求证: 1bc ac ab a b c+ + ³ . (Ⅰ)求曲线 E 的普通方程及极坐标方程； (Ⅱ)求 2 2BC AD+ 的值. 第4页 （共4页）