理科数学答案.pdf

机密★启用前 华大新高考联盟 2020 届高三 4 月教学质量测评 理科数学 本试题卷共 4 页,23 题(含选考题) . 全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的 指定位置. 2．选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在 试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区 域均无效. 4．选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑. 答案写在答 题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5．考试结束后,请将答题卡上交. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1．已知复数 z ＝1＋ ,则 A ．0 B ．1 C ． D ．2 2．设集合 A ＝{x | x ＞3} ,B ＝{x | l og3(x －a ) ＞0} ,则 a ＝3 是 B ⊆A 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．设等差数列 的前 n 项和为 S n ,已知 a3＝5,a7＋a9＝30,则 S10＝ A ．85 B ．97 C ．100 D ．175 4．魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术, 为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所 谓割圆术, 就是以圆内接正多边形的面积,来无限逼近圆面积．刘徽形容他的割圆术说: “割之 弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣．”某学生在一圆盘内画 一内接正十二边形, 将 100 粒豆子随机撒入圆盘内,发现只有 4 粒豆子不在正十二边形内．据 此实验估计圆周率的近似值为 A ．10 B ．16 C ．22 D ．25 5．已知 x ＝lg2,y ＝ln3,z ＝log23,则 A ．x ＜z ＜y B ．z ＜y ＜x C ．x ＜y ＜z D ．z ＜x ＜y 6．执行如图所示程序框图, 设输出数据构成集合 A , 从集合 A 中任取一个元素 m ,则事件 “函数 f (x ) ＝x2＋mx 在[0, ＋∞ )上是增函数”的概率为 1 i z z⋅ = 2 { }naA ． B ． C ． D ． 7．设 f (x ) ,g (x )分别为定义在[－π,π] 上的奇函数和偶函数,且 f (x ) ＋g (x ) ＝2excosx (e 为 自然对数的底数) ,则函数 y ＝f (x ) －g (x )的图象大致为 8．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒,计划改建十个实验室,每个实验室的改建费用分 为装修费和设 备费,每个实验室的装修费都一样,设备费从第一到第十实验室依次构成等比 数列, 已知第五实验室比第二实验室的改建费用高 42 万元,第七实验室比第四实验室的改建 费用高 168 万元, 并要求每个实验室改建费用不能超过 1700 万元．则该研究所改建这十个 实验室投入的总费用最多需要 A ．3233 万元 B ．4706 万元 C ．4709 万元 D ．4808 万元 9．设点 F 为抛物线 y2＝16x 的焦点,A ,B ,C 三点在抛物线上, 且四边形 ABCF 为平行四 边形, 若对角线| BF | ＝5(点 B 在第一象限) ,则对角线 AC 所在的直线方程为 A ．8x －2y －11＝0 B ．4x －y －8＝0 C ．4x －2y －3＝0 D ．2x －y －3＝0 10．设函数 f(x) ＝2|sinx| ＋sinx ＋2cos2,给出下列四个结论: ①f (2) ＞0; ②f (x )在 上单调递增; ③f (x )的值域为[－1＋2cos2,3＋2cos2] ; ④f (x )在[0,2π] 上的所 有零点之和为 4π．则正确结论的序号为 A ．①② B ．③④ C ．①②④ D ．①③④ 11．设点 F1,F2 分别为双曲线 C : (a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,点 A ,B 分别在 双曲线 C 的左、右支上,若 ,且 ,则双曲线 C 的 离心率为 A ． B ． C ． D ． 1 4 1 2 3 4 3 5 5( 3 , )2 ππ− − 2 2 2 2 1x y a b − = 2 1 1 2 26 ,F B F A AF AB AF= = ⋅     2 2AF BF>  17 7 13 5 85 5 65 512．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 M , N ,P 分 别 在 A A 1,A1D1, D1C1 上, M 为 A A1 的 中点, ,过点 A 作平面 α ,使得 BC1⊥α ,若 α ∩ 平面 A1B1C1D1＝m ,α ∩平 面 MNP＝n ,则直线 m 与直 线 n 所成的角的正切值为 A ． B ． C ． D ． 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13．在 的展开式中,常数项为______(用数字作答) ． 14．在等腰直角△ABC 中, AB＝2, ∠BAC＝90° , A D 为斜边 BC 的高, 将△ABC 沿 A D 折叠, 使二面角 B-A D-C 为 60° ,则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为________． 15．在△ABC 中,AB ＝5,AC ＝4,BC ＝3,已知 MN 为△ABC 内切圆的一条直径, 点 P 在△ABC 的外接圆上,则 P M→��N→的最大值为___________． 16．用符号[x ] 表示不超过 x 的最大整数,例如: [0．6] ＝0; [2．3] ＝2; [5] ＝5．设函数 f (x ) ＝ax2－2ln2(2x )＋(2－ax2)ln (2x )有三个零点 x1,x2,x3(x1＜x2＜x3) , 且[x1] ＋[x2] ＋[x3] ＝ 3, 则 a 的取值范围是_____________。 三、解答题:共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~ 21 题为必考题,每 个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17．(12 分) 在△ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,且 , △ABC 的面 积为 ． (1)求角 B ; (2)设 λ ,b ,| a－c| 成等比数列,求 λ 的最小值． 18．(12 分) 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ACC1A 1 为菱形, ∠A 1AC ＝60° ,AC ＝2, 侧面 CBB1C1 为正方形,平面 ACC1A1⊥平面 ABC ．点 N 为线段 AC 的中点,点 M 在 线段 AB 上,且 ＝2． (1)证明:平面 BB 1C 1C ⊥平面 ACC 1A 1; (2)求直线 BB 1 与平面 B 1MN 所成角的正弦值． 1 1 1 1 2A N C P ND PD = = 3 2 7 6 2 7 2 7 2 2 6 2 1( )2x x − 2 22 3 sin ( )b ac B a c+ = + 2 3 AM MB19．(12 分) 设以△ABC 的边 AB 为长轴且过点 C 的椭圆 Γ 的方程为 椭圆 Γ 的 离心率 e ＝ , △ABC 面积的最大值为 ,AC 和 BC 所在的直线分别与直线 l::x ＝4 相 交于点 M ,N ． (1)求椭圆 Γ 的方程; (2)设△ABC 与△CMN 的外接圆的面积分别为 S1,S2,求 的最小值． 20．(12 分) 2020 年寒假期间新冠肺炎肆虐,全国人民众志成城抗击疫情．某市要求全体市民在家隔离, 同时决定全市所有学校推迟开学．某 区 教 育 局 为 了 让 学 生“停 课 不 停 学” , 要 求 学 校 各 科 老 师 每 天 在 网 上 授 课, 每 天 共 280 分钟,请学生自主学习．区教 育局为了了解高三学生网上学习情况, 上课几天后在全区高三学生中采取 随机抽样的方法 抽取了 100 名学生进行问卷调查, 为了方便表述把学习时间在(0,120] 分钟的学生称为 A 类,把学习时间在(120,200] 分钟的学生称为 B 类,把学习时间在(200,280] 分钟的学生称为 C 类,随机调查的 100 名学生学习时间的人数频率分布直方图如图所示: 以频率估计概率回答下列问题: (1)求 100 名学生中 A ,B ,C 三类学生分别有多少人? (2)在 A ,B ,C 三类学生中,按分层抽样的方法从上述 100 个学生中抽取 10 人, 并在这 10 人 中任意邀请 3 人电话访谈,求邀请的 3 人中是 C 类的学生人数的分布列和数学期望; (3) 某 校 高 三 (1) 班 有 50 名 学 生 , 某 天 语 文 和 数 学 老 师 计 划 分 别 在 19:00—19:40 和 20:00—20:40 在线上与学生交流, 由于受校园网络平台的限制, 每次只能 30 个人同时在线学 习交流．假设这两个时间段高三(1)班都有 30 名学生相互独立地随机登录参加学习交流．设 ξ 表示参加语文或数学学习交流的人数, 当 ξ 为多少时,其概率最大． 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2 2 3 2 1 S S21．(12 分) 已知函数 f (x ) ＝4ax －sinx ＋2axcosx , (a ∈R ) ． (1)若 a ＝ ,当 x ∈(0,π)时,证明:f (x ) ＜ ; (2)若当 x ∈[0, ＋∞ )时,f (x ) ≥ 0,求 a 的取值范围． (二)选考题:共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计 分. 22．[ 选修 4—4:坐标系与参数方程] (10 分) 在直角坐标系 x Oy 中,曲线 C 1 的参数方程为 (θ 为参数) ,以坐标原 点 O 为 极 点 ,x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ,点 P 在曲线 C 1 上,点 Q 在曲线 C 2 上． (1)求曲线 C 1 的一般方程和曲线 C 2 的直角坐标方程; (2)求| PQ| 的最大值． 23．[ 选修 4—5:不等式选讲] (10 分) 设 a ,b ,c 都是正数,且 a ＋b ＋c ＝1． (1)求 的最小值; (2)证明:a 4＋b 4＋c 4≥ abc ． 1 4 2 π 21 cos3 212 sin3 x y θ θ  =  = + 2 8= 5 3cos2 ρ α− 1 1 a b c ++