福建省漳州市2020届高三第二次高考适应性测试（居家分散测试）数学（理）试题.pdf

居家分散测试，试卷不得外传 漳州市 2020 届高三毕业班第二次高考适应性测试理科数学试题第 1 页（共 6 页） 漳州市 2020 届高中毕业班第二次高考适应性测试 理科数学试题 学校 班级 姓名 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分。共 5 页 150 分，请考生把答 案填写在答题纸上。 第Ⅰ卷 (选择题：60 分) 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知复数 1z i ,则 z 在复平面上对应的点为 A.  0,1 B.  1,0 C.  0,1 D.  1,0 2.已知集合  1 2 log 1 2 1A x x    ,则 R A等于 A. 11,,42             B. 11,,42          C. 11 42   ， D. 11[]42 ， 3.下图是某地区从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图． 1 2 3 10 13 16 25 21 18 34 36 30 24 23 25 19 20 23 19 23 19 12 19 15 12 7 11 14 13 6 6 5 1 0 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 1 月 21 日 1 月 22 日 1 月 23 日 1 月 24 日 1 月 25 日 1 月 26 日 1 月 27 日 1 月 28 日 1 月 29 日 1 月 30 日 1 月 31 日 2 月 1 日 2 月 2 日 2 月 3 日 2 月 4 日 2 月 5 日 2 月 6 日 2 月 7 日 2 月 8 日 2 月 9 日 2 月 10 日 2 月 11 日 2 月 12 日 2 月 13 日 2 月 14 日 2 月 15 日 2 月 16 日 2 月 17 日 2 月 18 日 2 月 19 日 2 月 20 日 2 月 21 日 2 月 22 日 2 月 23 日 2 月 24 日 某省新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图 确诊人数 若该地区从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数 列{}na ， 的前 n 项和为 nS ，则下列说法中正确的是 A. 数列 是递增数列 B. 数列{}nS 是递增数列 C. 数列 的最大项是 11a D. 数列{}nS 的最大项是 11S 居家分散测试，试卷不得外传 漳州市 2020 届高三毕业班第二次高考适应性测试理科数学试题第 2 页（共 6 页） 4.中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了 用统计概率得到圆周率 π 的近似值的方法．古代数学家用 体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽 象成如图 2 所示的图形，其中圆的半径为 cm2 ，正方形 的边长为 cm1 ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴 影部分的概率是 p ，则圆周率 的近似值为 A． 1 4(1) p B． 1 1 p C． 1 14p D． 4 1 p 5.已知点 1,2 在双曲线 22 221yx ab的渐近线上,则该双曲线的离心率为 A. 3 2 B. 5 C. 5 2 D. 6 2 6.在 ABC 中, 2AB  , 30ABC, AD 是 BC 边上的高,则 AD AC 等于 A. 0 B. 1 2 C. 2 D. 1 7.已知函数    11 1 x x x e xgx e     ,则下列说法错误的是 A.  gx的定义域是 R B. 是偶函数 C. 在 0, 单调递减 D. 的最小值为 1 8. 已知 ABC△ 的内角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc， 60A  ， 3bc ，角 A 的平分线交 BC 于点 D ，且 7BD ，则cos ADB 的值为 A. 21 7 B. 21 7 C. 27 7 D. 21 7 9.若正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面边长为 2 ，外接球的表面积为 40π，四边形 ABCD 和 11BCC B 的外接圆的圆心分别为 ,MN，则直线 MN 与 1CD 所成的角的余弦值是 A． 7 9 B． 1 3 C． 3 1 D． 7 9 居家分散测试，试卷不得外传 漳州市 2020 届高三毕业班第二次高考适应性测试理科数学试题第 3 页（共 6 页） 10.已知函数   32lnf xx xx a    有三个零点,则实数 a 的取值范围是 A. 0a  B. 1a  C. 0a  D. 1a  11.如图，已知 ABC 的三个顶点均在抛物线 2 4xy 上, AB 经过 抛物线的焦点 F ,点 D 为 AC 中点.若点 D 的纵坐标等于线段 AC 的长度减去 1 ,则当 AFC 最大时,线段 AB 的长度为 A . 12 B. 14 C. 10 D . 16 12.已知函数 ( ) sin()f xx （ 0  ， [0,]2 π  ）的图象经过点 1(0, )2 ，若关于 x 的 方程 ( )1fx 在 π[,π]6 上恰有一个实数解，则 的取值范围是 A. 4 10[ ,)33 B. 4[ ,8]3 C. 10[ , 20]3 D. 4[ ,20]3 第 II 卷（非选择题: 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若 1sin 2  ,则cos2  ______. 14. 若 6 26 0 1 2 61.....mx a a x a x a x      ,且 1 26 .... 63a a a    ,则实数 m  ______. 15.定义在 R 上的函数 ()fx为奇函数， (1) 1f  ，又 ( ) ( 2)g x f x也是奇函数，则 (2020)f  ___________． 16.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 4 ,点 P 是 1AA 的中点,点 M 在侧面 11AA B B 内, 若 1D M CP ,则 BCM 面积的最小值为______. 居家分散测试，试卷不得外传 漳州市 2020 届高三毕业班第二次高考适应性测试理科数学试题第 4 页（共 6 页） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（ 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 0na  ， 22 nnnSaa， *nN ． （1）求 na ； （2）若 1 n n b S ，数列 nb 的前 项和为 nT ，求 ． 18.（12 分） 在如图所示的六面体中，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，四边形 ABEF 是梯形， //AFBE ，平面 ABCD  平面 ABEF ， 22BEAF， 3EF  ． （1）在图中作出平面 ABCD与平面 DEF 的交线，并写出作图步骤，但不要求证明； （2）求证： AC //平面 ； （3）求平面 ABEF 与平面 ECD所成锐二面角的余弦值． 居家分散测试，试卷不得外传 漳州市 2020 届高三毕业班第二次高考适应性测试理科数学试题第 5 页（共 6 页） 18 32 6 44 做操不做操 不近视 近视 是否近视 是否做操 19．（12 分） 眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环， 调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保 健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体 800 名学生中随机抽取了 100 名学生进 行视力检查，并得到如图的频率分布直方图． （1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5．0 以上的人数； （2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保 健操的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率 不超过 0．005 的前提下认为视力与眼保健操有关系? （3）在（2）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取 8 人，进 一步调查他们良好的护眼习惯，在这 8 人中任取 2 人，记坚持做眼保健操的学 生人数为 X ，求 的分布列和数学期望． 附:： 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      kK 2 0.10 05.0 025.0 010.0 005.0 k 706.2 841.3 024.5 635.6 879.7 0.15 0.35 1.20 1.35 频率 组距 视力5.25.04.84.64.44.24.0居家分散测试，试卷不得外传 漳州市 2020 届高三毕业班第二次高考适应性测试理科数学试题第 6 页（共 6 页） 20.（12 分） 已知椭圆与双曲线 2 2 12 x y有相同的焦点坐标，且点 1(3,) 2 在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）设 A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，动点 M 满足 MBAB ，垂足为 ，连接 AM 交椭圆于点 P （异于 ），则是否存在定点T ，使得以线段 MP 为直径的圆恒过直 线 BP 与 MT 的交点Q ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（12 分） 已知函数 axxaxxf 2)2 1(ln)( 2  ， a R． （1）讨论 )(xf 的单调性； （2）若 )(xf 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数 1x ， 2x ， 使得 3)()( 21  xfxf ，证明： 221  xx ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做 第一个题目计分． 22．[选修 44 ：坐标系与参数方程]（10 分） 已知曲线C 的参数方程为      ,sin ,cos2   y x （ 为参数），P 是曲线C 上的点且对应的参数 为  ， 2 π0   ．直线l 过点 P 且倾斜角为 π ． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程； （2）已知直线 与 x 轴， y 轴分别交于 ,AB，求证： |||| PBPA  为定值． 23．[选修 45 ：不等式选讲]（10 分） 已知 0a  ， 0b  ， 22143abab   . （1）求证： 1ab≤ ； （2）若ba ，求证： 33 1 1 1 13( )a b a b≥ .