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延边州 2020 年高三教学质量检测 理科数学参考答案及评分标准 一、选择填空题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D B A C D A B D C C 答对得 5 分，答错得 0 分 二、填空题 13. 84； 14. 4 ；15.  ,2 ；16. ②③ 答对得 5 分，答错得 0 分。15 题用不等式表示；区间表示；集合表示的正确得 5 分。16 题 只选一个正确选项给 3 分，多选或有错选得 0 分。 三、解答题 17.解（1）在 ABC 中，由正弦定理可得 CBABBBA sin2 3sincossincossinsin  ，-------------------1 分   CBABAB sin2 3sincoscossinsin  ，   CCBCBAB sin2 3sinsinsin2 3sinsin  ， ，-------------------2 分 在锐角 ABC 中， 0sin C ， 2 3sin  B ， 2 1cos  B ，-------------------3 分 由已知得 2,3  ca 所以由余弦定理 7cos2222  Baccab 7b ，-------------------6 分 （2）由   2 1cossinsincoscoscos  BCACACA ， 4 3sinsin  CA ，--7 分 由正弦定理得 C c B b A a sinsinsin  B b CA ac 2 2 sinsinsin  ， 4 3 4 3 2bac  ， acb  2 .------------------9 分 122 b ， 12ac ， ------------------10 分 332 3122 1sin2 1   BacS ABC . ------------------12 分方法不唯一，只要过程正确，结果准确，给满分。若结果有误，可按采分点给相应的步骤 分。 18（1）证明：取 BC 的中点G ，连接 DG ， FG ， BGDE  ，且 BGDE// 四边形 BGDE 是平行四边形， BEDG// ，------------------1 分 D ，E 分别是 AC ，AB 的中点， BCDE // ， 090ABC ， BEDE  ， PEDE  ， EBEPE  ，又 PE ， PBEBE 平面 PBEDE 平面 ， PBEBC 平面 ，------------------3 分 PBEPB 平面 ， PBBC  ， PBFG // ， FGBC  ， BEBC  ， BEDG// ， DGBC  .------------------5 分 GDGFG  ，又 FG ， DFGDG 平面 ， DFGBC  ， DFGDF 平面 ， DFBC  .------------------6 分 （2）由（1）知 PBEDE 平面 ，以 E 为坐标原点， ED 为 x 轴， EB 为 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzE - ，  120PEB ， 30 PEH . ------------------7 分 在 ABC 中， 90ABC ， 62AC ， 22BC ， 4 AB ， 2PE ， 2ED ， 点 P 到 z 轴的距离为1，  3,1,0 P ，  0,0,2D ，  020 ，，B ，  0222 ，，C ，  3,3,0 PB ，  0,0,22BC ，  3,1,2 PD ， ------------------8 分 设平面 PBC 的法向量为  zyxn ,, ， 由      022 033 xBCn zyPBn ，得      0 3 x yz ， 令 1y ，得  3,1,0n . ------------------10 分 设直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 . 所以  3,1,2 PD ，则 6 6 62 2,cossin    PDn PDnPDn ------------------11 分即直线 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值为 6 6 .------------------12 分 方法不唯一，只要过程正确，结果准确，给满分。若结果有误，可按采分点给相应的步骤 分。 19、解：（1）由产蛋量在  105,85 的频率为 0.66 ，可得产蛋量在  105,85 的麻鸭数量为 33066.0500  （只）.------------------1 分 产蛋量在 58,57 的麻鸭数量为 30500100.006  （只） 产蛋量在 59,58 的麻鸭数量为 120500100.024  （只） 产蛋量在 512,511 的麻鸭数量为 40500100.008  （只）   042.010500120330 a ，   02.0105004030330500 b -----4 分 （2）   10040120100110210100120903080500 1             100120100401101001001001002109010012080-10030500 1 222222  -------------------------------6 分 因为        1359.010100X10100102100X1021002 1120110  PPXP 所以10000只麻鸭中估计产蛋量在 120~110 的麻鸭数量为 1359100000.1359  （只） -----------------------------8 分 （1）填表如下： 良种 次种 总计 旱养培育 100 160 260 水养培育 60 180 240 总计 160 340 500 ------------------------------9 分 所以   879.7393.10340160240260 16060180100500 2 2  K ，------------------------------11 分 所以有99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关.------------------------------12 分 20 解：（1）因为 1a  ，所以 2 1 1( ) 1f x x x     ，-------1 分 (1) 1f   ，-------2 分 (1) 2f  -------3 分所以切线方程为 1y x  ．-------4 分 （2）不等式 2( ) exxf x x  ，对任意的 1 ,2x      恒成立， 即 e lnxa x x  对任意的 1 ,2x      恒成立．-------5 分 令 ( ) e lnxv x x x  ，则 ( ) e ln 1xv x x    ，-------6 分 令 ( ) e ln 1xx x    ，则 1( ) exx x    ， 易知 ( )x  在 1 ,2     上单调递增，-------7 分 因为 1 21 e 2 02         ， (1) e 1 0    ，且 ( )x  的图象在 1 ,12      上连续， 所以存在唯一的 0 1 ,12x     ，使得 0( ) 0x  ，即 0 0 1e 0x x   ，则 0 0lnx x  ．-------9 分 当 0 1 ,2x x    时， ( )x 单调递减；当 0( , )x x  时， ( )x 单调递增．则 ( )x 在 0x x 处取得最小值， 且最小值为 0 0 0 0 0 0 0 1 1( ) e ln 1 1 2 1xx x x xx x           1 0  ， 所以 ( ) 0v x  ，即 ( )v x 在 1 ,2     上单调递增，-------11 分 所以 1 2 1 1e ln2 2a   ．-------12 分 方法不唯一，只要过程正确，结果准确，给满分。若结果有误，可按采分点给相应的步骤 分。 21.解:（1）求得圆 1)2(: 22  yxD 与 x 轴交点是  0,3 ，  0,1 所以 3c 或 2c ，从而 舍去）或 (412 22  aa 故椭圆方程是 1312 22  yx -------------------4 分（2）设 ),(),,( 2211 yxNyxM 直线方程与椭圆方程联立得 036)4( 22  myym . 所以. 4 1236,4 3,4 6 2 2 21221221     m mxxmyym myy 既而得 由 02121  yyxxONOM 得 得 2 11m . -------------------8 分 （3）因为 ),(),,( 22111 yxNyxM  所以直线 1MN 的方程为 12 1 12 1 xx xx yy yy    令 0y 得到 4)(32)( 21 2121 1 21 121    yy yyymyxyy xxyxP 所以 1 61 9)1( 132)4( 132 4 12 )4( 36 2 14)(2 1 2 1 2 2 22 2 222 2 21 2 2121      mmm m mm myyyyyyFPS ABC 当且仅当 2m 时，取等号，所以最大值为1-------------------12 分 方法不唯一，只要过程正确，结果准确，给满分。若结果有误，可按采分点给相应的步骤 分。 22、解：（1）曲线 1C 的普通方程为   11 22  yx ，极坐标方程为  cos2 -------2 分 曲线 2C 的普通方程为 043  yx ，极坐标方程为 04sincos3   -------5 分 （2）射线l 分别交 1C ， 2C 于 A ， B 两点， 则  cos21 OA ，   sincos3 4 2  OB ，------------------6 分    4 3 32sin2 1 2 2 32sin2 12cos2 3 2 2 3cossin22 11cos22 3 2 cossincos3 4 sincos3cos2 sincos3 4 cos2 2 2 2 1                        OB OA ------------------8 分 12   时， 4 32 max  OB OA . ------------------10 分 方法不唯一，只要过程正确，结果准确，给满分。若结果有误，可按采分点给相应的步骤 分。 23.解：（1）∵ ( ) | 2 3| | 1|.f x x x    33 2 2 3( ) 4 12 3 2 1 x x f x x x x x               -------------------2 分 3 3 11( ) 4 2 2 3 2 43 2 4 4 4 xx xf x xx x                      或 或 -------------------4 分 2 1 1x x x     或0 或 综上，不等式 ( ) 4f x  的解集为： , 2 (0, )   -------------------5 分 （2）由（1）知， 3 ,12x      时， ( ) 4f x x  3 2x   时， min 5( ( )) 2f x  -------------------分若存在 0 3 ,12x      使不等式  01a f x| +| 成立 5 3 7| 1| 2 2 2a a a     或 -------------------9 分 ∴实数 a 的取值范围为 7 3( , ) ,2 2       -------------------10 分 方法不唯一，只要过程正确，结果准确，给满分。若结果有误，可按采分点给相应的步骤 分。