参考答案：
一、选择题：
1——5： BAACA 6——10：DCBAD 11——12： CC
二、填空题：
13、 12
5
i+− 14、140x 15、 35
5 16、298
三、解答题：
17、（ 1）解：由题有，
( )
2
132 sin cos cos22
sin cos 3 cos
1 cos 2 1sin 2 322
3sin 2 32
f x x x x
x x x
xx
x
= +
= +
+= +
= + +
4 分
故函数 ( )fx的最小正周期T = 6 分
（2）当 ,44x −
时， ( )max
31 2fx =+ ( )min
31
2fx −= 12 分
18、（1）证明：∵CF AE∥ CF 面 ADE
∴CF∥面 2 分
同理： BC∥面
又CF BC C= CF 面 BCF BC 面
故面 BCF∥面 ADE 4 分
且 BF 面 BCF
故 BF∥面 6 分
（2）解：由题可知， ,,AB AD AE 两两互相垂直，故可以以 AB 为 x 轴， AD 为 y 轴，
AE 为 z 轴建立空间直角坐标系，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,2 , 0,1,0 , 1,0,0 , 1,2,0 , 1,2,1E D B C F
若设平面 EDB 的法向量为u ，则由 0
0
u ED
u EB
= =
可得： ( )= 2,2,1u 8 分
同理：若设平面 FDB 的法向量为 v ，则由 0
0
v FD
v FB
= =
可得： ( )= 1,1, 2v − 10 分
所以 6cos , 9uv = 11 分 即二面角 E BD F−−的余弦值为 6
9 12 分
19、（ 1）由表可得，患者有发热症状与确诊的 2╳2 列联表如下：
发热 不发热 合计
确诊 350 110 460
未确诊 300 240 540
合计 650 350 1000
（这里可以酌情考虑给分，3 分，主要是把发热归为一类）
由公式可得： ( )2
2 1000 350 240 300 110= 460 540 650 350K −
10404000
226044=
46.02 10.828 4 分
故在犯错率不超过 0.001 的情况下,有把握认为新冠肺炎密切接触者有发热
症状与最终确诊患病有关。 5 分
（2）由题可知，随机变量 可以取值：11,12,13,14 6 分
其分布列为：
11 12 13 14
P 1
2 1 1 1
2 4 8= 1 3 1 3=2 4 8 64 1 3 7 21
2 4 8 64 =
一个一分 11 分
其数学期望为： ( ) 781= 12.2064E 12 分
20、（1）由题意可知， ( )fx的定义域为( )0 +，
且 ( ) ln 2f x a x x =− 1 分
令 ( ) ( )ln 2 0g x a x x x= −
则函数 ( )fx在定义域内有两个不同的极值点等价于 ( )gx在区间( )0 +， 内至少
有两个不同的零点
由 ( ) 2axgx x
− = 可知，
当 0a 时， ( ) 0gx 恒成立，即函数 ( )gx在 上单调，不符合题意，舍
去。 3 分 当 0a 时，由 ( ) 0gx 得，0 2
ax ，即函数 ( )gx在区间 0 2
a
， 上单调递增；
由 ( ) 0gx 得，
2
ax ，即函数 在区间 ,2
a+
上单调递减；
故要满足题意，必有 ln 022
aag a a= −
解得： 2ae 6 分
（2）证明：由（1）可知， 11
22
ln 2
ln 2
a x x
a x x
=
=
故要证： ( ) ( ) 22
1 2 1 22f x f x x x+ − +
只需证明： ( )2
1 1 22
ax x x+ 9 分
即证：
22
2 21
1
2
1
ln
xxx x
x
− 不妨设 120 xx，即证
2
22
11
ln 1xx
xx
−
构造函数： ( ) ( )2ln 1 1h t t t t= − + 其中 2
1
xt x=
由 ( )
212 0tht t
− =， 所以函数 ( )ht 在区间( )1 +， 内单调递减， 所以
( ) ( )10h t h= 得证 11 分
即证： 12 分
或者（2）证明：由（1）可知，
故要证：
只需证明： 9 分
而由（1）可知 10 2
ax
故上式 ( ) ( ) 22
1 2 1 1 2 1 1 2 12
a x x x x x x x x x+ + = + 成立 11 分
即证： 12 分
21、已知 ( )1,2A 为抛物线 ( )2 20y px p=上的一点， ,EF为抛物线上异于点 A 的两点，且直线 AE 的斜率与直线 AF 的斜率互为相反数。
（1）求直线 EF 的斜率；
（2）设直线l 过点 ( ),0Mm 并交抛物线于 ,PQ两点，且 ( )0PM MQ=，直线 xm=−
与 x 轴交于点 N ，试探究 NM 与 NP NQ− 的夹角是否为定值，若是则求出定值。
解析：（1）设 ( ) ( )1 1 2 2, , ,E x y F x y
因为点 ( )1,2A 为抛物线 ( )2 20y px p=上的一点，所以 2 4yx= 1 分
同时，有 2
114yx= 2
224yx=
1
11
2 4
12AE
yk xy
−==−+ 2
22
2 4
12AF
yk xy
−==−+ 3 分
因为直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数
即
12
44
22yy=−++ 即 12 4yy+ = − 4 分
故 21
2 1 2 1
4 1EF
yyk x x y y
−= = = −−+ 5 分
（2）设直线l 的方程为 :l x ty m=+ ( ) ( ) ( )3 3 4 4, , , , ,0P x y Q x y N m−
代入 2 4yx= 得 2 4 4 0y ty m− − =
所以 3 4 3 44 , 4y y t y y m+ = = − 6 分
因为 ( ) ( )3 3 4 4, , ,PM m x y MQ x m y= − − = − ，且
所以 3
34
4
, yyy y− = = − 7 分
由题可知，
( ) ( )
( )( )
3 3 4 4
3 4 3 4
2 2
3 4
34
,,
,
=,44
NP NQ x m y x m y
x m x m y y
y ym m y y
− = + − +
= + − + −
+ − + −
又
( )
2222
3 3 344
4
2
3 3 4 3
4
2
3 4 3
4
3 3 4
4
=4 4 4 4
44
4
4
4 04
y y yyym m m my
y y y ymmy
y y my mmy
y y y m
y
+ − + + + +
= + + +
+= + −
+==
所以 ( )340,NP NQ y y− = −
又 ( )= 2 ,0NM m 所以 ( ) 0NM NP NQ − =
所以 ( )NM NP NQ⊥− 即 NM 与 NP NQ− 的夹角为
2
12 分
22、（1）解：由曲线C 的普通方程为：( )2 214xy− + =
得曲线C 的极坐标方程为： 2 2cos 3 0 − − = 5 分
（2）解：由直线 ( )0y kx k=可得其极坐标方程： =02 R
， ， ，
代入曲线 的极坐标方程得： 2 2cos 3 0 − − = 6 分
可得： 12==OA OB，
故 ( ) ( )2
1 2 1 2= + = 2cos 4 3OA OB + − = − −
24cos 12 2cos2 14= + = + 8 分
故 ( )2 3,4OA OB+ 10 分
23、（1）由题可知，푓(푥) = |2푥 + 1| + |2푥 − 푎| 1+a 2 分
故 13a+ 解之得： 42aa − 或 5 分
（2）由题可知，函数 ( )gx的值域包含 ( )fx的值域，
即
2
1+ 1 4
aa − 7 分
解得： 2 2 3 0aa − 或 10 分
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