辽宁省葫芦岛市协作校2020届高三4月质量检测（一模）数学（文）试题 Word版含答案.doc

2020 年高三质量检测数学（文科）参考答案第 页 (共 6 页） 1 2020 年高三质量检测 数学（文科）试题参考答案答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. 1.～12. CBADC ADABC CB 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．60 14． 2 15. 16. 289 16  三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 12 分） 解: （Ⅰ）由 ca b AB AC +=− − sinsin sinsin 则 ca b ab ac +=− − …………………………………………2 分 ∴ abcba =−+ 222 …………………………………………………………3 分 所以 2 1 22cos 222 ==−+= ab ab ab cbaC ………………………………………………………5 分 而 ),0( C 故 3 =C ……………………………………………………………6 分 （Ⅱ）由 且 3=c ∴ ababba =−−+ 92)( 2 ………………………7 分 ∴ 22 )2(339)( baabba +=−+ ……………………………………………………………8 分 2020 年高三质量检测数学（文科）参考答案第 页 (共 6 页） 2 ∴ 2( ) 36ab+ 所以 6ab+……………………………9 分 当且仅当 =ab时等号成立，此时 A=B 则sin sinAB= ，不符合题意∴ 6ab+……………10 分 又 3=+ cba ……………………………………………………………11 分 所以 ba + 的取值范围是(3,6) …………………………………………………12 分 18.（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为 ,mn 因为前 2 组的频率之和为 0.4 0.5 ，因为前 3 组的频率之和为 0.7 0.5 ，所以85 90m ，……..2 分 由 0.4 0.06 ( 85) 0.5m+  − = ，得 86.67m = ． ………..3 分 77.5 5 0.01 82.5 5 0.07 87.5 5 0.06 92.5 5 0.04 97.5 5 0.02 87.25n =   +   +   +   +   = ，……..5 分 所以，这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为86.67 ，87.25 ………..6 分 （Ⅱ）因为样本中 90 分及以上的频率为 0.04+0.02 5=0.3（ ） ， ………………..8 分 所以该校高一年级 1000 名学生中，根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到 “优秀”等次的人数为0.3 1000=300 人． …………………..12 分 75 80 0.01 85 10090 95 分数 0.02 0.04 0.03 0.06 0.07 0.05 2020 年高三质量检测数学（文科）参考答案第 页 (共 6 页） 3 19．（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）∵三棱柱 中，侧棱垂直于底面，∴ ．………………1 分 ∵ ， ， 平面 ， …………………………………2 分 ∴ 平面 ． ……………………………………………………………………3 分 ∵ 平面 ，∴平面 平面 ．…………………………………………………4 分 （Ⅱ）取 的中点 ，连接 ， ． ∵ 是 的中点，∴ ， ． ∵ 是 的中点，∴ ， ，…………………………………………………5 分 ∴四边形 是平行四边形，∴ …………………………………………………6 分 ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．………………………………8 分 （Ⅲ）∵ ， ， ，…………………………………………………10 分 1 1 1ABC A B C− 1BB AB⊥ AB BC⊥ 1BB BC B= 1,BB BC  11B BCC AB ⊥ AB  ABE ABE ⊥ AB G EG FG F BC FG AC∥ 1 2FG AC= E 11AC 1FG EC∥ 1FG EC= 1FGEC 1C F EG∥ 1CF ABE EG  1CF∥ ABE 1 2AA AC== 1BC = AB BC⊥2020 年高三质量检测数学（文科）参考答案第 页 (共 6 页） 4 ∴ ，∴ ．……………………………12 分 20．（本题满分 12 分） 解： （Ⅰ）由题知    =+ = 1 2 11 1 22 ba c …………………………………………………………2 分 解得 22 =a ， 12 =b ， …………………………………………………………3 分 所以椭圆C 的方程为 12 2 2 =+ yx …………………………………………………………4 分 （Ⅱ）设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为： 1+= myx 由    =+ += 12 1 2 2 yx myx 得 012)2( 22 =−++ myym ………………………………………5 分 则 2 2 221 + −=+ m myy ， 2 1 221 + −= m yy ， ………………………………………6 分 因为以 AP 为直径的圆与直线 2=x 的另一个交点为Q ,所以 PQAQ ⊥ ，则 ),2( 1yQ …7 分 则 22 12 − −= x yykBQ ，故 BQ 的方程为： )2(22 12 1 −− −=− xx yyyy …………………8 分 令 0=y ，则 22)1(2)2( 12 121 12 21 12 21 +− +−=+− −−=+− −−= yy yymy yy myy yy xyx …………………9 分 而 ， ， 2 21 21 yyymy +−=− …………………10 分 3AB = 1 1 1 1 3( 3 1) 23 3 2 3E ABC ABCV S AA− =  =    =△2020 年高三质量检测数学（文科）参考答案第 页 (共 6 页） 5 所以 2 322 122 12 1 21 =+−=+− ++− = yy yyy x …………………11 分 故直线 BQ 恒过定点，且定点为 )0,2 3( ……………………………………12 分 21.（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）若 ， ，……………………2 分 令 ，得 或 ，则 的单调递增区间为 ， ，……………3 分 令 ，得 ，则 的单调递减区间为 ． ……………………4 分 （Ⅱ）（ⅰ）设 ， ……………………5 分 则 ，令 ，得 ；令 ，得 ，…………………6 分 故 ，从而 ，即 ．……………………7 分 （ⅱ）若 ，则 32323 −=− aa a ，…………………………………………………8 分 所以，当 时，由（ⅰ）知， ，则 ， ……………………9 分 又 ， ……………………10 分 4 3a = 2 4 2(2 1)(2 3)( ) (2 4) ( 0)33 xxf x x xxx −− = + − =  ( ) 0fx  3 2x  10 2x ()fx 1(0, )2 (3 ,)2 + ( ) 0fx  13 22x ()fx 13( , )22 ( ) ln ( 1)g x x x= − − 1( ) ( 0)xg x xx − = ( ) 0gx  01x ( ) 0gx  1x  max( ) (1) 0g x g== ( ) ln ( 1) 0g x x x= − −  ln 1xx− ( ,0)a − 32( , )ax a − + ln 1xx− 2( ) 2( 1) ( 4 3)f x x a x x − + − + 2 322( 1) ( 4 3) ( 1)( 2 3 ) ( 1)( )ax a x x x ax a a x x a −− + − + = − + − = − −2020 年高三质量检测数学（文科）参考答案第 页 (共 6 页） 6 所以，当 ， 时， ，……………………11 分 故对任意 ， 对 恒成立．——————————12 分 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）曲线 的普通方程为 ， 即 222 3 4 3 0x y x y+ − − + = ……………………2 分 又 = cos , sinxy   = ，代入上式 ……………………3 分 得 的极坐标方程为 ． ……………………5 分 （Ⅱ）设 ， ， ……………………6 分 将 代入 ， ……………………7 分 得 ， ……………………8 分 所以 ， ……………………9 分 所以 ． ……………………10 分 23．（本题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）当 时， ……………………2 分 ( ,0)a − 32( , )ax a − + 32( 1)( ) 0aa x x a −− −  ( ,0)a − ( ) 0fx 32( , )ax a − + 1C 22( 3) ( 2) 4xy− + − = 1C 2 2 3 cos 4 sin 3 0    − − + = 1( , )P  2( , )Q  π 6 = 2 2 3 cos 4 sin 3 0    − − + = 2 5 3 0− + = 12 3 = | | | | 3OP OQ= 1m = 1| 1| | 2 2 | 1 31 xxx x −− − +    +2020 年高三质量检测数学（文科）参考答案第 页 (共 6 页） 7 或 或 ， ……………………3 分 解得 ，所以原不等式的解集为 ． ……………………5 分 （Ⅱ） 对任意 恒成立，对实数 有解． ∵ ， ……………………6 分 根据分段函数的单调性可知： 时， 取得最大值 ，……………………7 分 ∵ ， ……………………8 分 ∴ ，即 的最大值为 ， ……………………9 分 所以问题转化为 ，解得 ． ……………………10 分 11 3 1 1 x x −   − −  1 31 x x  − −  22 3x−   − 2[ 2, ]3−− ( ) | 1| | 1| ( ) | 1| | 1|f x t t f x t t+ −  +   + − − xR t 3, ( ) 3 , 3, x m x m f x x m m x m x m x m +  − = − − −   − −  xm=− ()fx ( ) 2f m m−= || 1| | 1|| | ( 1) ( 1) | 2t t t t+ − −  + − − = 2 | 1| | 1| 2tt−  + − −  | 1| | 1|tt+ − − 2 22m  01m