大连市第二十四中学高三年级四月份模拟考试
数学理科试卷
第 I 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ,集合 ,则 M∪N=()
A.{x|x≥-2} B. {x|x>-1} C. {x|x0,若 f(1)=4, 则 f(2019)+f(2020)= ( )
B.2
D.4
10.若 的展开式中含有常数项,且 n 的最小值为 a,则 =()
A.36π
D.25π
11.在锐角△ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2 则 的取值范
围是( )
12.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,0),动点 M 满足以 MA 为直径的圆与 y 轴相切.过 A 作直线 x+(m-1)y+
2m-5=0 的垂线,垂足为 B,则|MA| + | MB |的最小值为()
第 II 卷
sin(2 )4y x
π= −
4
π
. 8A
π
. 4B
π 3. 8C
π
. 2D
π
1 1( , )8 2x∈ 2[log ]x
2. 3A 1. 2B 1. 3C 1. 4D
3. 4A 5. 2C
*1(3 ) ( )nx n N
x x
+ ∈ 2 2
a
a
a x dx
−
−∫
81. 2B
π 25. 2C
π
cos costan ,sin sin
A CA A C
+= + sin sin
b c
B C
+
+
. (2 2, )A +∞ . (2 2,4)B 4 3. ( ,2 2)3C 4 3. ( , )3D +∞
. 2 2A − . 2 2B + . 5 2 1C − + . 3 2D −二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分｡把答案填在答题卡相应题号后的横线上｡
13.若 则 ____
14.已知 O 是△ABC 的外心, ,则 最小值为_____.
15. 已知双曲线 )的右顶点为 A,且以 A 为圆心,双曲线虚轴长为直径的圆与双曲
线的一条渐近线相交于 B,C 两点,若 则双曲线 C 的离心率的取值范围是___
16.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽粒,俗称"粽子",古称"角黍”,是端午节大家都会品
尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣､爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为
1 的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为____;若该六
面体内有一球,则该球体积的最大值为____(本题第一空 2 分,第二空 3 分.)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡第 17~21 题为必考题,每个
试题考生都必须作答｡第 22､23 为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分｡
17. (本小题满分 12 分)
如图,在梯形 ABCD 中,AB//CD, AD=DC= BC=1,∠ABC= 60° ,四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE⊥平面
ABCD,CF=1.
(I)证明:BC⊥平面 ACFE;
(I)设点 M 在线段 EF 上运动,平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角为 θ,求 cos θ 的取值范围.
18. (本小题满分 12 分)已知数列 的前 n 项和为 且满足 .
3sin( ) ,6 3x
π+ = sin( 2 )6 x
π − =
45 , 2 ,( , )C OC mOA nOB m n R°= = + ∈ ∠ 2 2
1 4
m n
+
2 2
2 2: 1( 0, 0x yC a ba b
− = > >
2[ , ]3 3BAC
π π∠ ∈
{ }na ,nS 2 *2 ( )nS n n n= − ∈ N(1)求数列 的通项公式;
(2)设 数列 的前 n 项和 求
19. (本小题满分 12 分)
近期,某市公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广一期,由于推广期
内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的
人次,x 表示活动推出的天数,y 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表下所示:
根据以上数据,绘制了散点图.
( I )根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx 与 y=c·dx( c,d 均为大于零的常数),哪一个适宜作为扫码支付的人次
y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);
( II) 根据(1)的判断结果及表 1 中的数据,建立 y 与 x 的回归方程,并预测活动推出第 8 天使用扫码支付的人次;
(III)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如下表:
该市公交三公司车队为缓解周边居民出行压力,以 80 万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆
车每个月的运营成本约为 0.66 万元.已知该线路公交车票价为 2 元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付
的乘客享受 8 折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有 的概率享受 7 折
优惠,有 的概率享受 8 折优惠,有 的概率享受 9 折优惠.预计该车队每辆车每个月有 1 万人次乘车,根据所给数
{ }na
( )( )
( )*
2
2 , ( 2 1)
2 , ( 2 )1 1
na
n
n n
n k
b kn ka a +
= −
= ∈ = − −
N { }nb ,nT 2 .nT
1
6
1
3
1
2据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要 n
年才能开始盈利,求 n 的值.
参考数据:
其中其中 ，
参考公式:对于一组数据 其回归直线 斜率和截距的最小二乘估计公
式分别为:
20. (本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系中,若 且
( I )求动点 M(x,y)的轨迹 C 的方程;
(II)设(I)中曲线 C 的左､右顶点分别为 A､B,过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于两点 P,Q (不与 A, B 重合) .若直
线 PB 与直线 x=4 相交于点 N,试判断点 A, Q,N 是否共线,并说明理由.
21. (本小题满分 12 分)
已知函数 x0,对∀x,y∈(-∞,a],都有不等式 恒成立,求 a 的取值范围.
1C cos
1 sin
x
y
α
α
=
= +
1C
2.C
1 2,C C
5( ) | | | |4f x y y a≤ + + −
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