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南京师大附中 2020 年期初数学学科调研测试试卷
数学 II（附加题）
21．【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．
若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
A．[选修 4－2：矩阵与变换] （本小题满分 10 分）
曲线 2 2 1x y 在矩阵 0 ( 0, 0)0
aA a bb
对应的变换下得到曲线
2
2 19
x y ．
（1）求矩阵 A ；
（2）求矩阵 A 的特征向量．
B．[选修 4－4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程：
12 ,2
31 2
x t
y t
( t 为参数)，以原点为极点，
x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为： 2cos 0 ．
（1）将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求圆C 上的点到直线 l 的距离的最小值．
C．[选修 4－5：不等式选讲] （本小题满分 10 分）
已知 a ， b ， c 为正实数，满足 3a b c ，求 1 4 9
a b c
的最小值．
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1． 本试卷共 2 页，均为解答题（第 21~23 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分
钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填
写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。
3． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它
位置作答一律无效。如有作图需要，用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。数学Ⅱ（附加题）第 2页 （共 4 页）
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
五个自然数 1、2、3、4、5 按照一定的顺序排成一列．
（1）求 2 和 4 不相邻的概率；
（2）定义：若两个数的和为 6 且相邻．．，称这两个数为一组“友好数”．随机变量 表示上述五
个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求 的概率分布和数学期望 ( )E ．
23．（本小题满分 10 分）
已知 n N ，数列T ： 1 2, , , na a a 中的每一项均在集合 {1,2, , }M n 中，且任意两项不相等，
又对于任意的整数 , (1 )i j i j n≤ ≤ ，均有 i ji a j a ≤ ．例如 2n 时，数列T 为1,2 或 2,1．
（1）当 3n 时，试求满足条件的数列T 的个数；
（2）当 n N ，求所有满足条件的数列T 的个数．数学Ⅱ（附加题）第 3页 （共 4 页）
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数学 II（附加题）参考答案
21．【选做题】
A．解析：（1） 3 0
0 1A
……………………………5 分
（2） 1
0
和 0
1
………………10 分
B．解：（1）直线l 的普通方程为 3 1 2 3y x . …… 2 分
圆 C 的普通方程为 2 2 2 0x y x . …… 4 分
（2）在圆 C 上任取一点 ( 1 cos ,sin )( [0,2 ))P ， ……6 分
则 P 到直线l 的距离为
2
| 3 3 1 2sin( ) || 3 3cos sin 1 2 3 | 3
21 ( 3)
d
…… 8 分
当
6
时， min
3 3 1
2d ，此时 3 1( 1 , )2 2P . …… 10 分
C．已知 a、b、c 为正实数，满足 3 cba ，求
cba
941 的最小值．
解：因为 a、b、c 为正实数，由柯西不等式可知，
36)321()941(
))9()4()1)(()()()(()941)((
22
222222
ccbbaa
cbacbacbacba
…… 5 分
即 123
3636941
cbacba
…… 8 分
当且仅当
c
c
b
b
a
a
941
即
32
cba ，也即
2
3,1,2
1 cba 时取等号
所以
cba
941 的最小值为 12． ……10 分
【必做题】
22．解：（1）记“2 和 4 不相邻”为事件 A ，则
5
3)( 5
5
2
4
3
3
A
AAAP ……………………3 分
答：2 和 4 不相邻的概率为
5
3 ． ……………………4 分数学Ⅱ（附加题）第 4页 （共 4 页）
（2） 0,1,2的所有可能取值为 ，
5
1)2( 5
5
3
3
2
2
2
2
A
AAAP ，
5
22)1( 5
5
2
3
2
2
2
2
A
AAAP ，
5
222)0( 5
5
2
2
2
2
1
4
2
2
1
4
2
2
1
4
A
AACACACP （先确定 3 的位置）
（或
5
2)1()2(1)0( PPP ）
0 1 2
P
5
2
5
2
5
1
…………………………………………………………………………………………………8 分
所以 2 2 1 4( ) 0 +1 +25 5 5 5E ．……………………………………………………10 分
23．解：（1）若 1 3a ，则 21 3 2 a ≤ ，故 2 2a ，则 3 1a ；
若 2 3a ，则 2 32 3a a ≤ ，则 3 2a ≥ ，故 3 2a ，则 1 1a ；
若 3 3a ，则 1 21, 2a a 或 1 22, 3a a
所以当 3n 时，满足条件的数列T 为3,2,1;1,3,2;1,2,3;2,1,3
故满足条件的 T 的个数为 4 …… 3 分
（2）设满足条件的数列T 的个数为 nb ，显然 1 21, 2b b ， 3 4b ，
不等式 i ji a j a ≤ 中取 1j i ，则有 11i ii a i a ≤ ，即 11i ia a ≤ ，
①当 1a n 时，则 2 1a n ，同理 3 2a n ， ， 1na ，
即满足条件的数列只有 1 个；
②当 ia n (2 )i n≤ ≤ ，则 1 1ia n ，同理 2 2, ,i na n a i ，
即 ia n 以后的各项是唯一确定的， …… 5 分
ia n 之前的满足条件的数列的个数为 1ib ；
所以当 2n≥ 时， 1 2 1 1n n nb b b b ( ) ， ……9 分
当 n≥3 时， 1 2 1 1n nb b b ，
代入 ( ) 式得到 1 1 12n n n nb b b b ，且满足 2 12b b
所以对任意 2n≥ ，都有 12n nb b 成立，又 1 1b ，所以
12n
nb .
综上，满足条件的数列T 的个数为 12n . ……10 分
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