荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联盟 2020 届高三 4 月联考
理科数学
一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.已知 i 是虚数单位，若复数 则
A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i
2.已知集合 B={x|y=lg(3-x)},则
A.A∩B=(-∞,1) B.A∪B=(0,3)
3.已知等差数列 其前 n 项和为 则
4.已知 则“ab>1”是“a+b>2”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.2019 冠状病毒病(CoronaVirusDisease2019(COVID-19))是由新型冠状病毒(2019-nCoV)引发的疾病，目前全
球感染者以百万计.我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下,已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势
依然严峻，湖北省中小学依然延期开学,所有学生按照停课不停学的要求，居家学习.小李同学在居家学习期间,从
网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午 4:00~5:00 之间送货到小区门口的快递柜中，小李同
学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午 4:30~5:00,则小李父亲收到试卷无需等待的概率为
6.已知 表示不超过 x 的最大整数(如[1.2]=1,[-0.5]=-1)，执行如图所示的程序框图输出的结果为
A.49850 B.49950 C.50000 D.50050
32 ,1
iz i
= − z =
1{ | 1},A x x
= >
. ( )RC A C B∩ = ∅ .( ) [1, )RD C A B∪ = +∞
{ },na ,nS 1 5 93 ,a a a m+ + = 6 7
9
2a a
S
− =
. 5
mA . 9
mB 1.5C 1.9D
, ,a b R+∈
1. 8A 1. 4B 3. 4C 7.8D
[ ]x7.在二项式( 7 的展开式中有理项的项数为
A.1 B.2 C.3 D.4
8.函数 的图像大致为
9.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)是偶函数,且图像关于点(1,0)对称.若当 x∈[0,1)时, 则函数
在区间[-2019,2020]上的零点个数为
A.1009 B.2019 C.2020 D.4039
10.已知函数 的值域为[ 则实数 a 的取值范围是
11.已知双曲线 的右焦点为 F，直线 4x-3y=0 与双曲线的右支交于点 M，若
|OM|=|OF|，则该双曲线的离心率为
B.2
12.已知正方体 的棱长为 1,P 是空间中任意一点,下列正确命题的个数是
①若 P 为棱 中点,则异面直线 AP 与 CD 所成角的正切值为
②若 P 在线段 上运动，则 的最小值为
③若 P 在半圆弧 上运动，当三棱锥 P-ABC 体积最大时，三棱锥 P-ABC 外接球的表面积为 2π;
④若过点 P 的平面 α 与正方体每条棱所成角相等，则 C 截此正方体所得截面面积的最大值为
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
1
2 1 )2x x
+
2( ) sinf x x x x= +
( ) sin ,2f x x
π=
| |( ) ( ) xg x f x e−= −
2( ) sin cos , [0, ]f x x x x a= + ∈ 51, ],4
. (0, ]6A
π
.(0, ]3B
π
.[ , ]6 2C
π π
.[ , ]3 2D
π π
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
. 3A . 5C . 6D
1 1 1 1ABCD A B C D−
1CC 5 ;2
1A B 1AP PD+ 6 2
2
+
CD
3 3 .4二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知 ，则向量 在向量 方向上的投影为____
14.一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。然而，在 1983 年底到 1984 年初，在荆州城西
门外约 1.5 公里的张家山 247 号墓出土的《算数书》，比现有传本《九章算术》还早二百年。某高校数学系博士
研究生 5 人，现每人可以从《算数书》、《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《缀术》等五部著作(每
部著作有多本)中任意选择一部进行课题研究，则恰有两部没有任何人选择的情况有______种.(请用数字作答)
15.已知曲线 的焦点为 F，点 P 在曲线Γ上运动,定点 A(0,-2),则 最小值为_____
16.定义:若数列 满足 则称该数列为“切线-零点数列”.已知函 有两
个零点 1,2,数列 为“切线-零点数列”,设数列 满足 数列 的前 n 项和
为 则 ______
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答
(一)必考题:共 60 分。
17.(本题 12 分)
已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边是 a,b,c,且满足(a-b)sinA=csinC-bsinB.
(1)求角 C;
(2)若 c=2,求 CD 的最大值.
18.(本题 12 分)
在平行四边形 EABC 中, ，D 是 EA 的中点(如图 1).将△ECD 沿 CD 折起到
图 2 中△PCD 的位置，得到四棱锥 P-ABCD.
（1）求证：CD⊥平面 PDA；
(1, 2), (0, 3)a b= = − b a
2: 8x yΓ = | |
| |
PF
PA
{ }nt 1
( ) ,( )
n
n n
n
f tt t f t+ ′= − 2( )f x x px q= + +
{ }nx { }na 1
22, ln , 2,1
n
n n
n
a xa xx
−= = >− { }na
,nS 2020S =
1 ,2AD AB=
4, 2 2, 45oEA EC E= = ∠ =（2）若 PD 与平面 ABCD 所成的角为 60°，且△PDA 为锐角三角形，求平面 PAD 和平面 PBC 所成锐二面
角的余弦值。
19.(本题 12 分)
某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂
能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在学期末，校学生会为了调研学生对本校食堂 A 部和 B 部的用餐满
意度，从在 A 部和 B 部都用过餐的学生中随机抽取了 200 人，每人分别对其评分，满分为 100 分.随后整理评分
数据，将分数分成 6 组:第 1 组[40,50),第 2 组[50,60),第 3 组[60,70),第 4 组[70,80),第 5 组[80,90),第 6 组[90,100]，
得到 A 部分数的频率分布直方图和 B 部分数的频数分布表.
（1）求 A 部得分的中位数（精确到小数点后一位）；
（2）A 部为进一步改善经营，从打分在 80 分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽取 8 人进行座谈，再
从这 8 人中随机抽取 3 人参与“端午节包粽子”实践活动，在第 3 组抽到 1 人的情况下，第 4 组抽到 2 人的概率；
（3）如果根据调研结果评选学生放心餐厅，应该评选 A 部还是 B 部（将频率视为概率）。20.(本题 12 分)
已知椭圆 的左焦点为. 点 M(-4,0),过 M 的直线与椭圆 交于 A,B 两点，线段 AB 中点为 C，
设椭圆 E 在 A,B 两点处的切线相交于点 P，O 为坐标原点.
(1)证明:O、C、P 三点共线;
(2)已知 是抛物线 的弦，所在直线过该抛物线的准线与 y 轴的交点， 是弦 在
两端点处的切线的交点,小明同学猜想: 在定直线上.你认为小明猜想合理吗?若合理，请写出 所在直线方程;
若不合理，请说明理由.
21.(本题 12 分)
设函数
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)设 g(x)=f(x)+e-x.若; 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围.
(二)选考题:共 10 分。请考生在 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本题 10 分)
在平面直角坐标系 xOy,以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方
程是 直线 l 的参数方程为 (t 为参数).
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;
(2)设点 P 的直角坐标为 直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求
2 2
: 14 3
x yE + = F E
A B′ ′ 2 2 ( 0)x py p= > P′ A B′ ′
P′ P′
2( ) 2 ln( 1).f x x x a x= + − +
1( ) 1g x x
> +
2 cos2 1,ρ θ = 3
3
x t
y t
= −
=
( 3,0),− 1 1 .| | | |PA PB
+23.[选修 4-5:不等式选讲](本题 10 分)
已知函数 f(x)=|x-1|+2|x-2|(x∈R),记 f(x)的最小值 m.
(1)解不等式 f(x)≤5;
(2)若 a+2b+3c=m,求 的最小值.2 2 2a b c+ +
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